10-EFT.WP.Core.Tension v1.0 | 附录A 符号与单位对照

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附录A 符号与单位对照

I. 单位基准与量纲约定

1. SI 基本单位与常用导出单位
   • 长度 [m]，质量 [kg]，时间 [s]。
   • 力 N = kg * m / s^2，压强 Pa = N / m^2，表面张力 N / m。
   • 角频率 rad / s（无量纲角度以 rad 标注）。
2. 量纲记法
   记 M,L,T 分别表示质量、长度、时间。示例：T_fil 的量纲为 M L T^{-2}。
3. 冲突名强制
   • T_fil（张力，N）与 T_trans（透射系数，无量纲）不可混用。
   • n（数密度）与 n_eff（有效折射率，无量纲）严格区分。

II. 几何与测度

• gamma(ell) — 路径参数化；[SI] ell 用 m；[dim] L。
• ell — 弧长参数；[SI] m；[dim] L。
• L_gamma = ( ∫ 1 d ell ) — 路径总长；[SI] m；[dim] L。
• d ell — 弧长测度元；[SI] m；[dim] L。
• dA — 面元测度；[SI] m^2；[dim] L^2。
• dV — 体元测度；[SI] m^3；[dim] L^3。
• t_hat — 单位切向；[SI] 1；[dim] 1。
• n_hat — 单位法向；[SI] 1；[dim] 1。
• | d ell / ds | — 由参数 s 至弧长的雅可比；[SI] m；[dim] L。
• kappa1,kappa2 — 主曲率；[SI] 1 / m；[dim] L^{-1}。

III. 张力、应力、应变与材料常数

• T_fil(ell,t) — 线张力（沿 gamma(ell)）；[SI] N；[dim] M L T^{-2}。
• sigma_s(x,t) — 界面/膜面张力；[SI] N / m；[dim] M T^{-2}。
• sigma_ij(x,t) — Cauchy 应力；[SI] Pa；[dim] M L^{-1} T^{-2}。
• epsilon_ij — 小应变张量；[SI] 1；[dim] 1；定义 epsilon_ij = (1/2) * ( ∂_i u_j + ∂_j u_i )。
• E — Young’s modulus；[SI] Pa；[dim] M L^{-1} T^{-2}。
• A — 横截面积；[SI] m^2；[dim] L^2。
• sigma_sv, sigma_sl, sigma_lv — 固-气、固-液、液-气界面能/表面张力；[SI] N / m。
• theta_c — 接触角；[SI] rad；[dim] 1。
• 线性本构（小变形）
  S72-2 : T_fil(ell) = E * A * epsilon(ell)；其中 epsilon = ∂_ell u。

IV. 运动学、载荷与质量参数

• u(x,t) — 位移；[SI] m；[dim] L。
• ∂_t u, ∂_tt u — 速度与加速度；[SI] m / s、m / s^2。
• rho_m — 体密度；[SI] kg / m^3；[dim] M L^{-3}。
• rho_l = rho_m * A — 线密度；[SI] kg / m；[dim] M L^{-1}。
• b(x,t) — 体力密度；[SI] N / m^3；[dim] M L^{-2} T^{-2}。
• q(ell,t) — 线分布载荷（沿 gamma）；[SI] N / m；[dim] M T^{-2}。
• f_ext — 结点/端部外力；[SI] N。
• 动力平衡
  S72-5 : rho_l ∂_tt u = ∂_ell( T_fil ∂_ell u ) + q。

V. 波动、频域与阻抗/透射

1. c — 波速；[SI] m / s；[dim] L T^{-1}；S72-6 : c = sqrt( T0 / rho_l )。
2. omega — 角频率；[SI] rad / s；[dim] T^{-1}。
3. k — 波数；[SI] rad / m；[dim] L^{-1}。
4. Z — 机械阻抗（弦）：Z = rho_l * c；[SI] kg / s；[dim] M T^{-1}。
5. r_amp, t_amp — 振幅反射/透射系数；[SI] 1。
6. R_ref, T_trans — 功率反射/透射系数；[SI] 1；无损处满足 R_ref + T_trans = 1。
7. 两介质界面（无损）
   • S72-9 : r_amp = ( Z2 - Z1 ) / ( Z2 + Z1 )。
   • S72-10 : t_amp = 2 * Z2 / ( Z1 + Z2 )。
   • S72-11 : R_ref = |r_amp|^2 , T_trans = 1 - R_ref。
8. 模态频率（均匀弦, 固定-固定）
   f_n = ( n / ( 2 * L_gamma ) ) * sqrt( T0 / rho_l )；[SI] Hz。

VI. 膜/界面张力与曲率

• Young–Laplace
  S72-3 : Δp = sigma_s * ( kappa1 + kappa2 )；Δp 单位 Pa。
• Young-Dupré（接触角）
  S72-4 : sigma_sv = sigma_sl + sigma_lv * cos(theta_c)。
• 边界环积分
  ∮ sigma_s d s（d s 为边界线元；[SI] m）。

VII. 连接、分叉与网络

• 结点平衡
  S72-7 : node_equilibrium（记法：∑ T_i * t_hat_i + f_ext = 0）；各项单位 N。
• 路径能量
  S72-8 : path_energy = ( ∫ ( T_fil * (∂_ell u)^2 / 2 ) d ell )；[SI] J。
• 接口阻抗
  Z1,Z2 — 连接两侧阻抗；[SI] kg / s。

VIII. 到达时、归一化与校准

1. T_arr — 到达时间；[SI] s；两口径
   • 常量外提：T_arr = ( 1 / c_ref ) * ( ∫ n_eff d ell )。
   • 一般口径：T_arr = ( ∫ ( n_eff / c_ref ) d ell )。
2. n_eff(x,t) — 有效折射率；[SI] 1；与传播通道定义一致。
3. c_ref — 参考速度；[SI] m / s。
4. 无量纲化
   T_star = T_fil / T_ref（T_ref 为参考张力）；c_star = c / c_ref；rho_star = rho_l / rho_ref。
5. 一致性度量
   • ratio_c = ( L_gamma / T_arr ) / sqrt( T_fil / rho_l )；无量纲。
   • delta_form = | ( 1 / c_ref ) * ( ∫ n_eff d ell ) - ( ∫ ( n_eff / c_ref ) d ell ) |；[SI] s。

IX. 识别、不确定度与信息界

• theta — 参数向量（如 T0,rho_l,...）；[SI] 依分量。
• L(theta) — 似然函数；[SI] 1。
• I_F(theta) — Fisher 信息矩阵；[SI] 1；S72-15 : I_F(theta) = E[ (∂_theta log L)^T (∂_theta log L) ]。
• CRLB — Cramér–Rao 下界；[SI] 与 theta 同；S72-16 : cov(theta) ≥ I_F^{-1}(theta)。
• y(t) — 观测时序；[SI] 依传感器；采样率 fs 单位 Hz。
• ENBW_Hz — 等效噪声带宽；[SI] Hz。

X. 边界条件与牵引/算子

• Dirichlet（位移边界）
  u |_{∂Omega_u} = u_bar；u_bar 单位 m。
• Neumann（牵引边界）
  t |_{∂Omega_t} = sigma · n_hat；t 单位 N / m^2（体问题）或 N（线元端部）。
• Robin（混合）
  alpha * u + beta * t = g；alpha,beta 依模型定标。
• 导数/算子
  ∂_i（空间偏导）、∂_t（时间偏导）、∂_ell（弧长偏导）；点积 ·，范数 | · |。

XI. 数值离散与稳定性（第7章口径）

1. Δell — 网格步长；[SI] m。
2. Δt — 时间步长；[SI] s。
3. c_max — 最大相/群速；[SI] m / s。
4. CFL — Courant 数；[SI] 1；稳定性条件
   S72-12 : Δt ≤ CFL * ( Δell / c_max )。
5. 阻尼参数（Rayleigh）
   C = a * M + b * K；a,b ≥ 0；a 单位 s^{-1}，b 单位 s。
6. 能量守恒核查
   • E_total(t) = ( ∫ ( T_fil * (∂_ell u)^2 / 2 ) d ell ) + ( ∫ ( rho_l * (∂_t u)^2 / 2 ) d ell )；[SI] J。
   • ΔE_rel — 相对能量漂移；[SI] 1。

XII. 其他常用符号与常量

• g — 重力加速度；[SI] m / s^2。
• H_z — 赫兹（频率单位）；1 / s。
• R, r — 半径或尺度长度；[SI] m；示例（球）：Δp = 2 * sigma_s / R。
• Z1,Z2 — 连接两侧阻抗；[SI] kg / s。
• f_n — 第 n 阶模态频率；[SI] Hz。

XIII. 无量纲汇总（便于对比与校核）

• T_star = T_fil / T_ref，c_star = c / c_ref，rho_star = rho_l / rho_ref，ratio_c，R_ref，T_trans，r_amp，t_amp，CFL。
• 所有“星号量”均无量纲 [1]。

XIV. 记号与下标规则

• 指标 i,j 为笛卡尔分量；重复指标默认不求和，需显式 ∑。
• 沿线量一律显式测度 d ell；膜/界面用 dA；体积分用 dV。
• 路径相关量以下标/参数 (...,ell,...) 明示，如 T_fil(ell,t)。
• 频域量以 omega 或 f 明示，如 S_xx(f)（与《Core.Sea》一致）。

XV. 方程编号与跨卷锚点

• 本卷最小方程号段：S72-*；公设：P71-*；流程：Mx-7*；实现绑定：I70-*。
• 跨卷锚点：n_eff,c_ref,T_arr,S_xx(f) 与《Core.Density》《Core.Sea》《Core.Threads》一致。

XVI. 快速校核清单（单位与口径）

• T_fil 必为 N，sigma_s 为 N / m，sigma_ij 为 Pa。
• 沿线/面积/体积分分别使用 d ell / dA / dV，并注明域。
• 无损连接需满足 R_ref + T_trans = 1。
• 波速一致性：c = L_gamma / T_arr = sqrt( T_fil / rho_l )（在均匀弦与稳态条件下）。
• 两口径差异记录：delta_form 以 s 计量，入库追踪。