18-EFT.WP.Methods.CrossStats v1.0 | 第2章 公设与最小方程（统计基线）

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第2章 公设与最小方程（统计基线）

一句话目标：确立频率学与贝叶斯的一致化基线，规范抽样、估计与不确定度的最小公设 P302-* 与可复用方程族 S302-*，作为全卷引用锚点。

I. 范围与对象

1. 范围
   • 适用于批量与事件流的描述统计、参数估计、区间/后验、稳健方差、序贯判决与到达时相关的窗口化统计。
   • 在 tau_mono 上计算，在 ts 上发布；凡涉 T_arr 必并行两口径并记录 delta_form。
2. 对象
   数据 D = { (x_i, y_i, t_i, w_i, m_i) }，模型参数 theta，先验 p(theta)，似然 L(theta;D)，统计窗口 Delta_t，契约策略 policy。

II. 名词与变量

• 抽样与权重：pi(i)（纳入概率），w_i = 1 / pi(i)，W_norm = ( ∑ w_i ) / N，n_eff = ( ∑ w_i )^2 / ( ∑ w_i^2 )。
• 估计与不确定度：hat{theta}, SE, CI, U = k * u_c。
• 时基与到达时：tau_mono, ts, offset/skew/J, T_arr 两口径：
  T_arr = ( 1 / c_ref ) * ( ∫ n_eff d ell )，T_arr = ( ∫ ( n_eff / c_ref ) d ell )，差异 delta_form。
• 信息与诊断：I(theta)（Fisher 信息），H（Hessian），s_i（单点 score），ppc（posterior predictive check）。

III. 公设 P302-*

• P302-1（可交换/分层可交换）：同一设计层内样本视为可交换；跨层以权重或层级模型处理。
• P302-2（抽样框一致与权重显式）：任何加权估计必须说明 pi(i) 生成方式与版本，保留 w_i 元数据与归一化因子。
• P302-3（量纲守恒）：跨模态聚合前执行 check_dim(expr)，单位修复失败映射为契约违规。
• P302-4（时基一体化）：统计窗口在 tau_mono 上评估，对外 ts 发布，附 offset/skew/J。
• P302-5（到达时两口径并行）：凡涉及到达时或传播延迟的统计，必须计算两口径并断言 delta_form ≤ tol_Tarr。
• P302-6（先验显式与可解释）：贝叶斯分析须给出 p(theta) 的动机与灵敏度分析。
• P302-7（稳健与诊断）：默认提供稳健方差（sandwich）与后验预测检查；序贯与多重比较消耗统一记账。
• P302-8（缺失机制声明）：缺失以 m_i ∈ {0,1} 标注，缺失机制假设（MCAR/MAR/MNAR）与插补策略需显式记录，禁止隐式填值。

IV. 最小方程 S302-*

• S302-1（加权对数似然与 score）：
  ell(theta) = ∑_i w_i * log p( y_i | x_i; theta )；
  U(theta) = ∂ ell(theta) / ∂ theta = ∑_i w_i * ∂ log p( y_i | x_i; theta ) / ∂ theta；
  hat{theta} 满足 U(hat{theta}) = 0。
• S302-2（Fisher 信息与渐近正态）：
  I(theta) = - E[ ∂^2 ell(theta) / ∂ theta ∂ theta^T ]；
  hat{theta} ~ approx Normal( theta, I(theta)^{-1} )（权重情形以设计或复制法校正）。
• S302-3（sandwich 稳健协方差）：
  H = - ∑_i w_i * ∂^2 log p_i / ∂ theta ∂ theta^T；
  S = ∑_i w_i^2 * s_i * s_i^T，其中 s_i = ∂ log p_i / ∂ theta；
  Var_robust( hat{theta} ) = H^{-1} * S * ( H^{-1} )^T。
• S302-4（GLM 评分方程，统一记号）：
  g( mu_i ) = x_i^T beta，mu_i = E[ Y_i | x_i ]；
  U(beta) = X^T W ( y - mu ) = 0（W 含 w_i 与方差函数与链接导数因子）。
• S302-5（贝叶斯后验与后验预测）：
  p(theta | D) = k * L(theta; D) * p(theta)，k 为归一常数；
  p( y_new | x_new, D ) = ( ∫ p( y_new | x_new, theta ) * p( theta | D ) d theta )。
• S302-6（Delta 方法）：
  Var( g( hat{theta} ) ) ≈ ( ∇g( theta ) )^T Var( hat{theta} ) ( ∇g( theta ) )。
• S302-7（区间与覆盖度）：
  频率学区间：CI_{1-α} = hat{theta} ± z_{1-α/2} * SE( hat{theta} )；
  贝叶斯区间：CI_{1-α} = [ q_{α/2}( p(theta|D) ), q_{1-α/2}( p(theta|D) ) ]。
• S302-8（窗口化统计）：
  hat{mu}_w( t; Delta_t ) = ( ∑_{i: |tau_i - t| ≤ Delta_t/2} w_i y_i ) / ( ∑_{i: |tau_i - t| ≤ Delta_t/2} w_i )。
• S302-9（两样本效应与样本量近似）：
  均值差 delta = mu_A - mu_B，方差近似 Var( delta ) = sigma_A^2 / n_A + sigma_B^2 / n_B；
  等量方差、等样本量时 n_per_arm ≈ ( 2 * ( z_{1-α/2} + z_{power} )^2 * sigma^2 ) / delta^2。
• S302-10（序贯 GLR 统计量与停序）：
  Lambda_t = ( sup_{theta ∈ H1} L_t( theta ) ) / ( sup_{theta ∈ H0} L_t( theta ) )；
  tau = inf { t : log Lambda_t ≥ h_1 or log Lambda_t ≤ - h_0 }。
• S302-11（漂移度量基式）：
  KL( P_ref || P_cur ) = ( ∫ p_ref * log( p_ref / p_cur ) dx )；
  W1( P_ref, P_cur ) = ( ∫ | F_ref(x) - F_cur(x) | dx )；
  psi = ( ∑ bins ( p_cur - p_ref ) * log( p_cur / p_ref ) )（离散近似）。

V. 统计流程 M30-2（基线估计→诊断→发布）

• 就绪
  校核单位与量纲；对齐 tau_mono；加载权重策略并归一 W_norm ≈ 1；定义 H0/H1 与 alpha/power 或先验 p(theta)。
• 估计
  解 U( hat{theta} ) = 0 或生成后验样本；计算 SE、Var_robust 或后验分位；窗口化指标在 Delta_t 上评估。
• 诊断
  分析 H 条件数、score 近零性；稳健与模型方差对比；后验 ppc 与收敛诊断；序贯或多重比较的 alpha 消耗记录。
• 发布
  产出 CI/posterior、决策与日志；并行记录 T_arr 两口径与 delta_form；落盘 manifest.stats.* 并签名冻结。

VI. 契约与断言

• C30-21（权重口径）：| W_norm - 1 | ≤ tol_w_norm；max(w_i) / median(w_i) ≤ cap_w_max。
• C30-22（Hessian 与可识别性）：H 正定且 cond(H) ≤ cap_cond；|| U( hat{theta} ) || ≤ tol_score。
• C30-23（覆盖度/功效）：离线回放覆盖度 |cov - target_cov| ≤ tol_cov；在线 alpha_spent ≤ alpha_budget。
• C30-24（贝叶斯诊断）：Rhat ≤ cap_rhat，ESS/N ≥ min_ess_ratio，ppc_fail_rate ≤ tol_ppc。
• C30-25（到达时差）：delta_form ≤ tol_Tarr；窗口覆盖度 cov_rate ≥ tol_window_cover。

VII. 实现绑定 I30-*

• I30-41 fit_glm(ds, formula, family) -> model：返回 hat{theta}, SE, Var_robust, 诊断与残差；不变量 cond(H) ≤ cap_cond。
• I30-42 fit_bayes(ds, model_spec, priors) -> posterior：返回样本、摘要、ppc 与诊断；不变量 Rhat ≤ cap_rhat。
• I30-43 bootstrap_metric(fn, ds, B) -> {est, CI}：BCa 或百分位法；不变量 B ≥ B_min。
• I30-44 sequential_glrt(stream, H0, H1, h) -> stop_time：返回 tau, 决策与 alpha_spent。
• I30-45 emit_stats_manifest(results, policy) -> manifest.stats：写入契约结果、阈值、TraceID 与签名。

VIII. 交叉引用

• 模式绑定与单位修复：见《Methods.Cleaning v1.0》第3/4章。
• 时间轴与到达时：见《Methods.Cleaning v1.0》第5/6章。
• 漂移监测与告警：见本卷第7章；实验设计：见第8章；因果推断：见第10章。
• 成像质量映射与度量：见《Methods.Imaging v1.0》第14章。

IX. 质量与风控

• SLI/SLO
  估计延迟 latency_ms_p99，覆盖度偏差，稳健与模型方差比，alpha_spent/alpha_budget，Rhat 未达标率。
• 回退
  契约失败触发回退到上一签名 manifest.stats；保留 TraceID 与运行环境摘要。

小结