18-EFT.WP.Methods.CrossStats v1.0 | 附录E 误差与不确定度传播（统计版）

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附录E 误差与不确定度传播（统计版）

一句话目标：以加权、窗口化与到达时一致的统一口径，给出点估计、区间与序贯决策中的误差分解与不确定度传播规则，并映射至 C30-* 契约与 manifest.stats.* 字段。

I. 范围与对象

• 覆盖测量误差、抽样误差、模型误差与漂移引入的统计不确定度，适用于分类/回归/排序/校准/因果与时序面板。
• 计算一律在 tau_mono 上评估，在 ts 上发布，附带 offset/skew/J 与 T_arr 两口径 delta_form（见《Methods.Cleaning v1.0》与本卷第11章）。

II. 名词与变量

• 样本与权重：D = { (x_i, y_i, w_i) }, N, w_i > 0, W = ( ∑ w_i )。
• 参数与估计：theta, hat{theta}, Sigma_theta, SE = sqrt( diag(Sigma_theta) )。
• 协方差与雅可比：Sigma_x, J = ( ∂g / ∂x ) |_{hat{x}}，g(x) 为目标函数或指标映射。
• 标准不确定度与覆盖不确定度：u(x), u_c, U = k * u_c（k 为覆盖因子）。
• 到达时与时间：T_arr, delta_form, tau_mono, ts, Delta_t。
• 单位与量纲：unit(z), dim(z), check_dim(expr)。

III. 公设 P30E-*

• P30E-1（分解与合并）：u_c^2 = u_rand^2 + u_sys^2，其中 u_sys 来自偏置或标定链映射。
• P30E-2（带权口径）：若存在抽样或分层，默认使用权重 w_i 的加权估计与重采样。
• P30E-3（量纲守恒）：任何传播前后均执行 check_dim( y - f(x,theta) )。
• P30E-4（到达时一致）：涉及窗口化或时延估计的传播，必须记录 T_arr 两口径与 delta_form，并断言 delta_form ≤ tol_Tarr。
• P30E-5（相关性显式）：传播时显式使用 Sigma，不得以独立性为隐式假设。
• P30E-6（证据可追溯）：重采样/蒙特卡洛须记录随机种子、样本选择与收敛诊断，并落盘 repro_hash 与 signature。

IV. 最小方程 S30E-*

• S30E-1（线性化传播，标量）
  u_c^2(y) = ( ∂g / ∂x )^2 * u^2(x)，对多输入推广为雅可比形式。
• S30E-2（线性化传播，向量）
  u_c^2(y) = J_x Sigma_x J_x^T，其中 J_x = ∂g / ∂x。
• S30E-3（含参数不确定度）
  u_c^2(y) = J_x Sigma_x J_x^T + J_theta Sigma_theta J_theta^T + 2 * J_x Cov(x,theta) J_theta^T。
• S30E-4（加权均值与方差）
  mean_w = ( ∑ w_i z_i ) / W；var_w = ( ∑ w_i ( z_i - mean_w )^2 ) / W；SE(mean_w) = sqrt( var_w / n_eff )，n_eff = ( W^2 ) / ( ∑ w_i^2 )。
• S30E-5（比值与乘积的 Delta 法）
  u_c^2( a / b ) ≈ ( u^2(a) / b^2 ) + ( a^2 u^2(b) / b^4 ) - ( 2 a Cov(a,b) / b^3 )；
  u_c^2( a * b ) ≈ b^2 u^2(a) + a^2 u^2(b) + 2ab Cov(a,b)。
• S30E-6（全概率误差分解）
  Var(Y) = E[ Var(Y|X) ] + Var( E[Y|X] )，用于窗口/分组合并不确定度。
• S30E-7（覆盖不确定度）
  U = k * u_c；k 依据目标覆盖度与自由度选择（正态或 Student-t）。
• S30E-8（自助法标准误）
  u_c( hat{theta} ) ≈ std( { hat{theta}^{(b)} }_{b=1..B} )；区间可取百分位或 BCa。
• S30E-9（后验不确定度）
  u_c( g(theta) ) ≈ std( { g(theta^{(s)}) }_{s=1..S} )；区间由 q_{alpha/2}, q_{1-alpha/2} 给出。
• S30E-10（时序相关修正）
  Var( mean ) ≈ gamma(0) + 2 * ( ∑_{h=1}^{H} ( 1 - h/T ) gamma(h) ) / T 或使用 Newey-West。
• S30E-11（设计效应）
  DEFF = var_complex / var_SRS；发布 SE_adj = sqrt( DEFF ) * SE_SRS。

V. 传播路径与组合规则（工程口径）

• 发布层：计算覆盖度 U = k * u_c，并将 U, u_c、方法与证据写入 manifest.stats.*。
• 聚合层：跨窗口/分组使用 S30E-6 合并，或用层级模型（见第12章）共享不确定度。
• 映射层：指标 m = g( x, hat{theta} )，用 S30E-2/3/5 合成 u_c(m)。
• 估计层：对 hat{theta} = argmin loss(D; theta)，以 sandwich 或 Fisher 信息得到 Sigma_theta。
• 清洗与对齐层：应用 standardize_names, repair_units, align_timebase；传播 offset/skew/J 对时延敏感指标的影响，记录 T_arr 两口径与 delta_form。
• 源测量层：获取 u(x_src) 与标定地图 map_calib，形成 u_sys 与 u_rand 的初值。

VI. 重采样与贝叶斯蒙特卡洛

1. 重采样（带权）：对每个自助重复 b，从权重归一的经验分布抽样索引或使用 Poisson 自助；产出 { m^{(b)} } 与 u_c = std( m^{(b)} )。
2. 区间：
   • 百分位区间：[ q_{alpha/2}, q_{1-alpha/2} ]。
   • BCa：修正偏度与加速项；发布 B、z0、a。
3. 贝叶斯：从后验样本 { theta^{(s)} } 传播至指标 { g(theta^{(s)}) }；报告收敛诊断与有效样本量 ESS。
4. 序贯/流式：使用滑动窗口自助或块自助；或采用 alpha 花费规划保持覆盖与错误率一致（与第6、8章一致）。

VII. 相关性与协方差处理

• 多源联合：构造块协方差
  Sigma = [ Sigma_x Cov(x,theta) ; Cov(theta,x) Sigma_theta ]，用 S30E-3 传播。
• 多窗口相关：Newey-West、HAC 或块自助修正均值与比值类统计量的方差。
• 多指标联合区间：对向量 m 发布椭球区域
  { ( m - hat{m} )^T Sigma_m^{-1} ( m - hat{m} ) ≤ c_alpha }，并给出 Sigma_m 估计口径。

VIII. 指标、区间与覆盖度发布口径

• 分类/回归/排序指标的 SE 与区间：按 S30E-2/8/9/10 选择线性化、自助或贝叶斯口径，并声明方法。
• 校准与概率输出：ECE/Brier/NLL 的不确定度以分箱自助或再拟合法给出；避免将阈值选择误差遗漏。
• 因果效应：ATE/ATT/CATE 的不确定度优先使用稳健（双稳健）方差或半参数影响函数；报告重叠性诊断与权重极值约束。

IX. 时间窗口与到达时一致化

• 窗口定义：Window_k = [ tau_k, tau_k + Delta_t )；发布 Delta_t, step, n_eff(Window_k)。
• 时延/抖动传播：若指标 m 对到达时敏感，近似 u_c^2(m) += ( ∂m / ∂T_arr )^2 * u^2(T_arr )，并并行记录两口径差 delta_form。
• 度量回放：基于 EWMA 或分位基线时，发布基线不确定度并以 S30E-6 合成总不确定度。

X. 契约与清单映射

1. 契约（示例）：
   • C30-520 覆盖度：target_coverage ≥ 1 - alpha ± tol_cov。
   • C30-521 区间宽度护栏：width ≤ width_max。
   • C30-522 线性化适用性：max| second_order_term | ≤ tol_delta。
   • C30-523 权重归一：| ( ∑ w_i ) / N - 1 | ≤ tol_w。
   • C30-524 到达时一致：delta_form ≤ tol_Tarr。
2. 清单字段：
   • manifest.stats.u.method ∈ {delta, sandwich, bootstrap, bayes, HAC}。
   • manifest.stats.u.values.{uc,U,k}；manifest.stats.u.components.{rand,sys}。
   • manifest.stats.time.{Delta_t, step, offset, skew, J, Tarr_forms, delta_form}。
   • contracts[*].rule, contracts[*].result, contracts[*].evidence_hash。

XI. 实现绑定 I30-E-*

• propagate_uncertainty_delta(est, Sigma_x, jacobians) -> {uc, U}
• sandwich_var(model, ds, weights, hac) -> Sigma_theta
• bootstrap_metric(fn, ds, weights, B, scheme) -> {samples, uc, CI}
• bayes_mc_posterior(model_spec, priors, draws) -> {samples, uc, CI}
• block_bootstrap_ts(stream, block_len, B) -> {uc, CI}
• combine_components(u_rand, u_sys, k) -> {uc, U}
• emit_uncertainty_manifest(results, policy) -> manifest.stats.u
  不变量：Sigma 半正定；k > 0；sum(w_i)/N ≈ 1；窗口不重叠或重叠策略已记载；delta_form ≤ tol_Tarr。

XII. 审计与可追溯

• 记录：抽样/自助策略、随机种子、B/S、收敛诊断、核/带宽、分箱与分位、HAC 阶数、block_len、雅可比与梯度近似方式。
• 追溯：repro_hash = hash_sha256(code ∥ params ∥ data_fingerprint)，并以 signature 签名；落盘 unit/dim 校核结果与失败样本示例 TraceID。

小结