19-EFT.WP.Methods.SynthData v1.0 | 第2章 公设与最小方程（生成基线）

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第2章 公设与最小方程（生成基线）

I. 范围与对象

1. 目标
   • 建立从 p_model(x; theta) 逼近 p_data(x) 的统一生成基线，覆盖距离度量、时间/路径一致、量纲守恒与隐私预算的共同口径。
   • 定义发布闸门所需的必要方程与阈值映射，作为后续各章实现与评估的基础。
2. 输入
   • 参考分布与样本：D_real ~ p_data(x)；模式与约束：SRef, Rules；时间与路径锚定：tau_mono, ts, gamma(ell)。
   • 预算与策略：Privacy = {eps, delta, accounting}；评估指标：Metrics = {W1, KL, JS, MMD, FID, KID, covg}。
3. 输出
   生成基线报告 {divergence, coverage, uncertainty, privacy}；阈值建议 {tol_*}；契约映射 C40-2xx。

II. 名词与变量

• 分布与参数：p_data(x), p_model(x; theta), theta, z ~ p(z)。
• 距离与核：KL, JS, W1, MMD(k), FID(mu,Sigma)。
• 时间与到达时：T_arr, c_ref, n_eff（有效折射率，注意与权重有效样本区分），gamma(ell), d ell。
• 不确定度：u(x)（标准不确定度），U = k * u_c（扩展不确定度），alpha（置信水平）。
• 隐私预算：DP(eps, delta), eps_total, delta_total。
• 覆盖与代表性：covg, supp(·), n_eff_weights = ( (∑ w)^2 ) / ( ∑ w^2 )。

III. 公设 P402-*（生成基线不可协商项）

• P402-1（测度显式）：任一积分或期望必须指明域与测度，如 ( ∫_Omega p(x) dx ) = 1。
• P402-2（距离明示）：保真仅以明确的距离或散度族定义，不以“肉眼可见”或启发式代替。
• P402-3（量纲守恒）：进入模型或指标的物理量必须满足 check_dim(expr)，单位一致后方可计算。
• P402-4（时基一体化）：统计窗口在 tau_mono 上评估，对外以 ts 发布，记录 offset/skew/J。
• P402-5（到达时两口径）：涉及传播/路径时，必须并行计算
  T_arr = ( 1 / c_ref ) * ( ∫ n_eff d ell ) 与 T_arr = ( ∫ ( n_eff / c_ref ) d ell )，并发布 delta_form。
• P402-6（隐私预算显式）：发布合成数据前必须给出 DP(eps, delta) 的会计与累计预算 eps_total, delta_total。
• P402-7（最小发布判据）：pass = fidelity_ok ∧ privacy_ok ∧ contract_ok ∧ manifest_signed。
• P402-8（可重现）：相同 SynthSpec, seed/rng 与版本生成的 D_syn 统计等价。
• P402-9（覆盖下界）：关键分层或枚举的覆盖率 covg 必须达到策略下界。
• P402-10（稳态与背压）：流式生成在执行图 G=(V,E) 上满足稳定性与背压约束（见《Core.Threads v1.0》）。

IV. 最小方程 S402-*（生成基线必要式）

1. S402-1（拟合目标）
   • theta* = argmin_theta D( p_model(·; theta ) || p_data(·) )，其中 D ∈ { KL, JS, W1, MMD }。
   • 约束化形式：min_theta ( D + λ * R(theta) )，其中 R 含规则/物理/几何/参照完整性罚项。
2. S402-2（Wasserstein-1 距离）
   W1(P,Q) = inf_{pi ∈ Π(P,Q)} ( ∫ c(x,y) d pi(x,y) )，常用 c(x,y)=||x-y||_1 or ||x-y||_2。
3. S402-3（MMD）
   MMD^2(P,Q;k) = || μ_P - μ_Q ||_H^2 = E_{x,x'} k(x,x') - 2 E_{x,y} k(x,y) + E_{y,y'} k(y,y')，需声明核 k 与带宽。
4. S402-4（FID/KID）（影像或嵌入域）
   • FID = || mu_r - mu_s ||_2^2 + Tr( Sigma_r + Sigma_s - 2 * ( Sigma_r * Sigma_s )^{1/2} )。
   • KID 使用多次子采样的核偏差无关估计，需声明特征提取口径。
5. S402-5（覆盖率与支撑集）
   离散近似：covg = | supp(D_syn) ∩ supp(D_real) | / | supp(D_real) |；连续域以网格或核近似求测度占比。
6. S402-6（不确定度发布）
   • 扩展不确定度：U = k * u_c，k 由覆盖概率 1 - alpha 确定；若采用自助法，发布分位区间 {q_{alpha/2}, q_{1-alpha/2}}。
   • Delta 方法（简式）：var( g( hat{theta} ) ) ≈ ( ∇g )^T * cov( hat{theta} ) * ( ∇g )。
7. S402-7（隐私会计，简单组合）
   eps_total = ( ∑_{r=1}^R eps_r )，delta_total = ( ∑_{r=1}^R delta_r )；若用高级会计，需附会计器与参数口径。
8. S402-8（到达时两口径差）
   delta_form = | ( 1 / c_ref ) * ( ∫ n_eff d ell ) - ( ∫ ( n_eff / c_ref ) d ell ) |，并断言 delta_form ≤ tol_Tarr。
9. S402-9（时间映射与抖动）
   ts = map_tau_to_ts( tau_mono; offset, skew )；抖动上界 J 写入清单 manifest.synth.timing。
10. S402-10（权重有效样本，若采用再加权）
    n_eff_weights = ( (∑ w_i)^2 ) / ( ∑ w_i^2 )，并要求 W_norm = ( ∑ w_i ) / N ≈ 1。

V. 合成流程 M40-2（生成基线校核）

• 就绪
  确认 SRef/Rules、单位与量纲通过 check_dim；设定 Metrics 与阈值初稿 {tol_W1, tol_MMD, tol_FID, covg_min}。
• 训练/拟合
  解 theta* = argmin_theta D + λR；记录 theta_ref 与 seed/rng。
• 路径/时间一致
  计算 T_arr 两口径与 delta_form；执行 map_tau_to_ts 并测 offset/skew/J。
• 指标与不确定度
  评估 {W1, KL, JS, MMD, FID, KID, covg}；产出不确定度 U or CI。
• 隐私会计
  汇总 eps_total, delta_total；若超预算，回滚或降采样/加噪重训。
• 契约与落盘
  执行 C40-2xx 契约；通过则写入 manifest.synth 并签名，否则出具整改建议与回退点。

VI. 契约与断言 C40-2xx（生成基线）

• C40-201（距离阈值）：W1 ≤ tol_W1 ∧ MMD ≤ tol_MMD（或 FID ≤ tol_FID 适用于影像）。
• C40-202（覆盖下界）：covg ≥ covg_min，以及关键分层 covg_group ≥ covg_min_group。
• C40-203（到达时一致）：delta_form ≤ tol_Tarr。
• C40-204（时基抖动）：J ≤ J_max；|offset| ≤ off_max；|skew| ≤ skew_max。
• C40-205（隐私预算）：eps_total ≤ bud_eps ∧ delta_total ≤ bud_delta；披露会计方法。
• C40-206（量纲守恒）：check_dim(expr)=true；单位表随清单发布。
• C40-207（有效样本）（如使用再加权）：n_eff_weights / N ≥ r_min 且 W_norm ≈ 1。
• C40-208（可重现）：重复运行偏差 |metric' - metric| ≤ tol_repro。

VII. 实现绑定 I40-*（本章锚点）

• I40-201 measure_fidelity(real, syn, metrics) -> report（实现 W1/KL/JS/MMD/FID/KID/covg，附 CI 或 U）
• I40-202 privacy_accounting(steps, mechanism) -> {eps_total, delta_total}
• I40-203 propagate_uncertainty(estimates, method) -> {U or CI}（method ∈ {delta, bootstrap, bayes}）
• I40-204 enforce_timepath_baseline(ds_syn, ref) -> {delta_form, offset, skew, J}
• I40-205 evaluate_weight_effective(w) -> {n_eff_weights, W_norm}
• I40-206 assert_synth_contract(report, rules) -> decision
• 不变量：sum(w)/N ≈ 1；eps_total 不超预算；delta_form ≤ tol_Tarr；unit/dim 校核通过；同 seed 重现等价。

VIII. 交叉引用

• 清洗：单位/量纲（第4章）、时间轴与同步（第5章）、路径与到达时（第6章）、契约与发布（第10章）。
• 成像：指标口径与嵌入域（PSF→指标解释，第5章；质量与审计，第14章）。
• 跨统计：不确定度传播（第4/5章）、多重比较（第6章）、漂移与对齐（第7章）。

IX. 质量度量与风控

• 基线面板字段：metrics.{W1,MMD,FID,KID,KL,JS,covg}, uncertainty.{U,CI}, timing.{offset,skew,J}, arrival.delta_form, privacy.{eps_total,delta_total}。
• 风控策略：当 W1 或 MMD 超阈值，优先执行再加权/映射或重训；当 eps_total 接近预算，转入低保真模式或延迟发布；当 delta_form 超阈值，强制路径/介质参数复核。

小结

• 本章以 P402-* 定义生成基线的不可协商项，并以 S402-* 给出距离、覆盖、到达时、时基、隐私与不确定度的必要方程。
• 通过 M40-2 的校核流程与 C40-2xx 契约，为后续各类生成引擎、条件控制与发布治理提供统一闸门与实现锚点。