19-EFT.WP.Methods.SynthData v1.0 | 附录E 误差与不确定度传播（合成版）

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附录E 误差与不确定度传播（合成版）

I. 适用范围与目标

• 统一定义合成数据从设计→训练→生成→评估→发布各环节的不确定度来源、组合与发布口径，给出 U = k * u_c 的覆盖发布规则，兼容离线批处理与流式增量场景。
• 产出：不确定度账本 err_budget.*、方法标注 method ∈ {analytic, bootstrap, posterior}、窗口与时基字段、契约映射到 contracts.* 与 manifest.synth.*。

II. 名词与变量

• 模型与参数：theta（生成引擎参数），hat_theta（估计值），Sigma_theta = Cov(hat_theta)。
• 样本与权重：D_real, D_syn, n_real, n_syn, w_i, n_eff = ( ( ∑ w_i )^2 ) / ( ∑ w_i^2 )。
• 指标与估计：y = g(x)（指标函数），u(x)（标准不确定度），u_c(y)（合成标准不确定度），U = k * u_c（覆盖不确定度）。
• 机制噪声：sigma_dp（DP 机制标准差或等效量），eps_total, delta_total（隐私预算）。
• 时基与到达时：tau_mono, ts, T_arr, delta_form，offset/skew/J。
• 误差分量：u_model（模型估计），u_sampling（有限采样），u_dp（隐私），u_align（时基/路径），u_eval（评估器/嵌入），u_env（场景/域随机化）。

III. 公设 P40E-*

• P40E-1（测度显式）：一切期望、方差、积分需声明域与测度，嵌入与预处理口径固定且版本化。
• P40E-2（覆盖发布）：所有对外指标同时发布 u_c 与 U = k * u_c，给出 k 与方法来源。
• P40E-3（分量可追溯）：误差账本分解为 {u_model, u_sampling, u_dp, u_align, u_eval, u_env}，不可混记。
• P40E-4（时基一致）：窗口计算在 tau_mono 上，发布在 ts，记录 offset/skew/J 与 T_arr 两口径与 delta_form。
• P40E-5（量纲守恒）：在传播前执行 check_dim( y - f(x) )，任何单位转换显式记录。
• P40E-6（私噪独立）：DP 噪声与数据独立假设优先，若相关需给出相关项或上界。
• P40E-7（再现性）：发布用于重现不确定度评估的 seed/rng 与重采样轮次 B。

IV. 最小方程 S40E-*

• S40E-1（Delta 线性化）：u_c^2( y ) = grad_x g(x)^T * Cov(x) * grad_x g(x)。
• S40E-2（参数传播）：u_model^2( y ) = J_theta * Sigma_theta * J_theta^T，其中 J_theta = ∂g/∂theta |_{hat_theta}。
• S40E-3（有限采样）：u_sampling^2( y ) ≈ Var_hat( y | theta ) / n_eff。
• S40E-4（私噪传播）：若 y = g(x + n_dp) 且 n_dp ~ (0, Sigma_dp)，则 u_dp^2( y ) = J_x * Sigma_dp * J_x^T。
• S40E-5（到达时贡献）：u_align^2( y ) = ( ∂g/∂T_arr )^2 * u^2( T_arr )，其中
  u^2( T_arr ) = u_jitter^2 + ( delta_form^2 ) / 3（等效均匀上界近似）。
• S40E-6（合成合并）：若分量近似独立，u_c^2 = u_model^2 + u_sampling^2 + u_dp^2 + u_align^2 + u_eval^2 + u_env^2；若存在相关，增加 2 * ∑ Cov_i,j。
• S40E-7（自助法）：u(y) = std( { y^(b) }_{b=1..B} )，CI = quantile( { y^(b) }, [alpha/2, 1-alpha/2] )。
• S40E-8（贝叶斯）：U = k * sd( { g(theta^(s)) }_{s=1..S} )，或发布分位区间 q_{alpha/2}, q_{1-alpha/2}。
• S40E-9（权重 SE）：SE( mean_w )^2 = ( ∑ w_i^2 * (x_i - mean_w)^2 ) / ( ( ∑ w_i )^2 )。

V. 传播路径与账本结构

1. 典型链路（声明各环节的 u_*）
   • 设计与标定：hat_theta, Sigma_theta → u_model。
   • 采样与生成：n_syn, w_i → u_sampling（含 n_eff）。
   • 约束与对齐：enforce_constraints, align_timepath → u_align。
   • 隐私与水印：DP 机制与会计 → u_dp 与 {eps_total, delta_total}。
   • 评估与嵌入：FID/KID/MMD/W1/utility_gap → u_eval。
   • 域随机化：场景参数方差 → u_env。
   • 合并：u_c^2 = ∑ u_*^2 (+ 相关项)，发布 U = k * u_c。
2. 账本键建议
   • err_budget.model/sampling/dp/align/eval/env = {method, value, details}。
   • details 至少含 B|S, kernel|backbone|layer, seed/rng, window, unit/dim。

VI. 合成特有场景的要点与式子

• 嵌入型指标（如 FID）
  近似：u_eval^2( FID ) ≈ grad_{mu,Sigma} FID^T * Cov( mu,Sigma ) * grad_{mu,Sigma} FID；Cov( mu,Sigma ) 由样本协方差的渐进近似或自助法给出。
• 距离核参数敏感性（如 MMD_RBF）
  u_eval^2 ≈ ( ∂MMD/∂h )^2 * u^2(h ) + Delta-法的样本项，其中 h 为核带宽。
• 私噪合成（计数/直方图约束）
  高斯机制：若发布 c = true_count + n, n ~ N(0, sigma_dp^2)，则 u_dp^2 = sigma_dp^2；传播至 y=g(c) 用 J_c 线性化。
• 条件/可控生成
  条件扰动 c 的不确定度：u_env^2 = J_c * Cov(c) * J_c^T；若使用拒绝采样造成有效样本减少，更新 n_eff。
• 时序/事件合成
  到达强度 lambda 的估计方差进入 u_sampling；对 W1( inter_arrival ) 用区块自助法，避免相关性低估。
• 多模态一致
  合并多个指标时，用 median_of_means 聚合并发布 u_agg，或提供每模态独立区间与相关矩阵上界。

VII. 窗口与时基对齐

1. 窗口策略
   固定跨度 Delta_t 与滑动步长，发布前检查 n_eff ≥ n_eff_min；不足时延迟发布或扩大窗口。
2. 对齐要求
   每窗记录 offset/skew/J；涉及路径的度量同时记录 T_arr 两口径和值差 delta_form 与其 u( T_arr )。
3. 流式递推（均值与方差）
   • S_{t+1} = S_t + ( x_{t+1} - mu_t ) * ( x_{t+1} - mu_{t+1} )；u = sqrt( S / ( n - 1 ) )；加权版以 n_eff 替换 n。
   • mu_{t+1} = mu_t + ( x_{t+1} - mu_t ) / n；

VIII. 契约与断言 C40E-*

• C40E-1（覆盖门控）：assert( y + k * u_c(y) ≤ tol_y ) 或两侧区间覆盖目标区间。
• C40E-2（有效样本）：assert( n_eff ≥ n_eff_min )（默认建议 n_eff_min = 128）。
• C40E-3（私噪预算）：assert( eps_total ≤ eps_cap ∧ delta_total ≤ delta_cap )，并记录会计方法。
• C40E-4（到达时一致）：assert( delta_form ≤ tol_Tarr )，并将其贡献纳入 u_align。
• C40E-5（方法披露）：method ∈ {analytic, bootstrap, posterior} 与关键参数完整落盘，否则视为违规。
• C40E-6（量纲校核）：assert( check_dim( y - f(x) ) = pass )。

IX. 实现绑定 I40-*（不确定度相关）

1. propagate_uncertainty_synth(report_in) -> err_budget
   • 输出：分量 u_*、u_c, U 与 details。
   • 输入：hat_theta, Sigma_theta, metrics_raw, dp_config, align_info, env_cov。
2. bootstrap_metrics(ds_syn, metrics, B, seed) -> {u, CI, samples}
   自助法采样、区间与样本落盘。
3. posterior_pushforward(posterior, g, S) -> {u, CI}
   采样后验 theta^(s) 推送到 y=g(theta)。
4. dp_accounting_and_variance(steps) -> {eps_total, delta_total, Sigma_dp}
   基于机制与会计口径返回预算与等效协方差。
5. align_timepath_for_uncertainty(ds, sync_ref) -> {T_arr_form1, T_arr_form2, delta_form, u(T_arr)}
   与 I40-81 align_timepath 一致化，输出对齐不确定度。
6. emit_uncertainty_manifest(err_budget) -> manifest.synth.metrics[*].u
   写入 manifest.synth。

不变量：reproducible(seed)；delta_form ≤ tol_Tarr；eps_total, delta_total 不超预算；check_dim=pass；记录 method 与参数。

X. 交叉引用

• 清洗与到达时两口径：见《Methods.Cleaning v1.0》第6/10章与附录B、C。
• 成像与嵌入度量不确定度：见《Methods.Imaging v1.0》第14章与附录D/E。
• 统计传播与覆盖口径：见《Methods.CrossStats v1.0》第二、四、五章与附录E。

XI. 小结