03-EFT.WP.Core.Parameters v1.0 | 第9章 跨卷绑定与用例

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第9章 跨卷绑定与用例

I. 章节目标与绑定版图

• 目标：给出参数卷与《Core.Equations》的标准绑定方式，覆盖到达时 T_arr、张度场 T_fil(x,t)、连续性与通量 J(x,t)，并提供端到端用例（注册→校准→传播→回归）。
• 绑定范围：S20-*（路径与到达时）、S40-*（张度场最小方程）、S50-*（连续性与输运）、S70-*（变分与弱式）、S80-*（统计与粗粒化）；实现侧对接 I30-* 与 I20-*。
• 不变量（跨卷）：T_fil 与 T_trans 不可混用；n 与 n_eff 严格区分；凡出现线积分或除号，必须以括号包裹并显式 gamma(ell) 与测度 d ell。

II. 跨卷接口与锚点

1. 方程锚点（见《EFT.WP.Core.Equations v1.1》）
   • S20-1…S20-3 到达时：T_arr = ( ∫ ( n_eff / c_ref ) d ell ) 与常量外提口径。
   • S40-* 张度场：T_fil(x,t) 的强/弱式与源项 S_src(x,t)。
   • S50-* 连续性：∂_t rho + div[J] = S_src。
   • S70-* 弱式记号：inner_V[u,v]、Lagr[·]、delta[Lagr]。
   • S80-* 统计窗口：avg_t[f; Δt]、avg_V[f; V=Ω]、avg_gamma[f]。
2. 实现锚点（本卷）
   • 参数侧：I30 1…12（注册、先验、变换、推断、识别度、传播、导入导出、场景治理）。
   • 方程侧：I20-*（路径离散、装配/求解、到达时接口 propagate_time、回归与比对）。

III. 绑定公设与一致性检查（P91-1…P91-4）

• P91-1 路径显式：凡涉及 T_arr，一律写作
  T_arr = ( ∫_gamma ( n_eff / c_ref ) d ell )，并声明 gamma(ell)、L_gamma = ∫_gamma 1 d ell。
• P91-2 量纲闭合：使用 check_dim(expr) 校验绑定表达式；被积项 ( n_eff / c_ref ) * d ell 无量纲。
• P91-3 本构映射守恒：n_eff def= F_map(T_fil, TensionGrad, ...) 必须声明适用域与 approx 等级。
• P91-4 统计窗口对齐：任一观测若为窗口化量，须以 avg_t/avg_V/avg_gamma 明示窗口或体域。

IV. 用例 A：路径–到达时参数链（S20-/I30-/I20-4）

1. 场景与目标
   • 给定测量到达时 T_obs 与路径族 gamma = ⋃_k gamma_k（分段可测长度 L_k = ∫_{gamma_k} 1 d ell）。
   • 目标：估计分段有效折射率参数 theta = { n_eff_k } 与共享常量 c_ref，并量化不确定性。
2. 建模与绑定
   • 离散口径（最小方程 S90-1）
     T_arr(theta) = Σ_k ( ( n_eff_k / c_ref ) * L_k )，其中 n_eff(ell) ≈ n_eff_k, ell ∈ gamma_k。
   • 导数（灵敏度，S90-2）
     ∂ T_arr / ∂ n_eff_k = L_k / c_ref；∂ T_arr / ∂ c_ref = - ( Σ_k n_eff_k * L_k ) / ( c_ref^2 )。
3. 参数与先验
   • 注册：register_param("ref speed","c_ref","scalar","[L][T]^-1","physical",...)；register_param("segment n_eff_k",...)（对每段 k）。
   • 边界：n_eff_k ≥ 1.0、c_ref > 0；变换：n_eff_k 用 log，c_ref 用 softplus。
   • 先验：prior(n_eff_k) = LogNormal(mu_k, sigma_k)；prior(c_ref) = LogNormal(mu_c, sigma_c)。
4. 似然与推断
   • 噪声模型：T_obs = T_arr(theta) + ε，ε ~ Normal(0, σ_T)。
   • 似然：L(data | theta) = ∏_j Normal( T_obs^j | T_arr^j(theta), σ_T )。
   • 推断流程：
     1. infer_mle 产出初值；
     2. infer_map 融合先验；
     3. posterior_sample_mcmc(..., method="NUTS") 得后验样本。
5. 校验与传播
   • 量纲：check_dim("( n_eff / c_ref ) * d ell") 通过后进入比对。
   • 到达时传播：propagate_uncertainty_mc(model=T_arr, prior_spec, n=10^4)；输出 CI_{1-α}[T_arr]。
   • 回归：用 compare_param_sets 审视 theta 更新；用 compare_solutions(..., metrics=["T_arr"]) 对照 T_obs。
6. 接口清单（脚本骨架）
   • discretize_path(gamma, scheme="piecewise", h=...) → {L_k}
   • register_param / set_bounds / set_prior / set_transform
   • infer_mle / infer_map / posterior_sample_mcmc
   • compute_jacobian(eqn="S20-*", params=["n_eff_k","c_ref"])
   • propagate_uncertainty_mc / export_params

V. 用例 B：张度场→有效折射率的本构耦合（S40-/S70-/S20-*）

1. 场景与目标
   已知边界与源项 S_src(x,t)，通过 S40-* 求解场 T_fil(x,t)；建立映射 n_eff def= F_map(T_fil, TensionGrad)，并用到达时数据联合校准本构参数。
2. 本构族与参数
   • 选择族（示例，声明近似等级 approx=1）
     n_eff(x) approx= n0 * ( 1 + a_T * T_fil(x) + a_G * |grad[T_fil](x)| )。
   • 参数：theta = { n0, a_T, a_G }；边界 n0 ≥ 1、a_T, a_G 可正可负。
3. 弱式求解与链式灵敏度
   • 弱式（记号复用 inner_V[·,·]）
     find T_fil ∈ V : inner_V( grad[T_fil], grad[v] ) = inner_V( S_src, v ) + BC terms, ∀ v ∈ V0。
   • 链式法则
     ∂ T_arr / ∂ theta_i = ∫_gamma ( ( ∂ n_eff / ∂ theta_i ) / c_ref ) d ell，
     其中 ∂ n_eff / ∂ a_T = n0 * T_fil，∂ n_eff / ∂ a_G = n0 * |grad[T_fil]|，∂ n_eff / ∂ n0 = 1 + a_T T_fil + a_G |grad[T_fil]|。
   • 实现：compute_jacobian(eqn="S20-* ∘ S40-*", params=["n0","a_T","a_G"])。
4. 观测与似然
   • 选项 A：使用 T_arr 数据（同用例 A 的噪声口径）。
   • 选项 B：若存在 n_eff 局部观测，则可叠加 L_local = ∏ Normal( n_eff_obs | n_eff(theta), σ_n )。
   • 联合似然：L = L_Tarr * L_local（条件独立）。
5. 步骤（端到端）
   • register_param 三个本构参数与 c_ref，设定先验与变换。
   • assemble_operator / solve_* 解 T_fil；必要时用 S70-* 的弱式装配。
   • 线路积分：avg_gamma[n_eff / c_ref] 得到 T_arr(theta)。
   • infer_map 或 posterior_sample_mcmc 校准 theta。
   • propagate_uncertainty_mc 输出 CI_{1-α}[n_eff(x)] 与路径 CI_{1-α}[T_arr]。
6. 一致性检查
   check_dim("n_eff / c_ref")、路径声明 gamma(ell)、窗口一致性（若 T_fil 经时均值，则用 avg_t[·; Δt] 同步）。

VI. 用例 C：连续性–通量窗口化观测的参数绑定（S50-/S80-）

1. 场景与目标
   观测为体域–时间窗口化通量 J 或密度变化率。目标是识别输运参数并与 T_arr 约束协同。
2. 观测模型（S90-3）
   Y_obs def= avg_t[ avg_V[ g(rho,J); V=Ω ] ; Δt ] + ε，其中 g(·) 为测量算子（如 div[J] 或 J·n_hat 的边界平均），ε 为观测噪声。
3. 绑定步骤
   • 在 I30 侧注册输运参数（如扩散系数 D, 驱动系数 k_T），设置 bounds/prior/transform。
   • 在方程侧以 S50-* 装配并求解 rho,J，再以 S80-* 的 avg_t/avg_V 形成模型输出 Y(theta)。
   • 构造似然 L(Y_obs | theta) 并执行 infer_map 或采样。
   • 若与 T_arr 同时约束，则联合似然并以 compute_jacobian 检查耦合参数的条件数；必要时参照第5章采用去相关策略（如 regularize_cov）。
4. 校验要点
   明示窗口 Δt 与体域 V；验证 ( n_eff / c_ref ) * d ell 的无量纲性与 g(rho,J) 的量纲闭合。

VII. 可执行脚本清单（最小流程 Mx-5A/B/C）

• Mx-5A（到达时链）
  discretize_path → register_param → set_bounds/prior/transform → infer_mle → infer_map → posterior_sample_mcmc → propagate_uncertainty_mc → export_params
• Mx-5B（本构–张度场）
  register_param{n0,a_T,a_G,c_ref} → assemble_operator/solve_* (S40-*) → line integral (S20-*) → compute_jacobian → infer_map/posterior_sample_mcmc → propagate_uncertainty_mc
• Mx-5C（连续性–窗口）
  register_param{transport} → solve_* (S50-*) → avg_V/avg_t (S80-*) → infer_map → regularize_cov → export_params

VIII. 绑定质量门与回归

• 质量门
  validate_param_set 通过；check_dim 全部通过；compare_solutions(...,"T_arr") 误差低于场景阈值；Corr 达到基线要求。
• 回归
  export_params("yaml") 生成基线工件；用 compare_param_sets 监控参数漂移；必要时触发 bump_version 与场景审计（见第8章）。

IX. 误用与 Lint 规则

• 禁止写作 ∫ n d ell / c（缺括号且 n 与 n_eff 混用）；应写 ∫ ( n_eff / c_ref ) d ell。
• 禁止在工件中使用别名 alias 代替 canonical code；导出一律回写规范名。
• 未声明 gamma(ell)、d ell、Δt 或 V 的窗口化/路径化公式，一律不入库。
• 未给出本构映射的适用域与 approx 等级的条目，禁止发布为 MINOR/PATCH。

X. 输出锚点与编号

• 绑定公设：P91-1…P91-4。
• 最小方程：S90-1（分段到达时离散式）、S90-2（到达时梯度）、S90-3（窗口化观测模型）。
• 流程号：Mx-5A/B/C（三组端到端用例）。
• 对接接口：I30 1…12 与 I20 1…5 的相关函数原型。