23-EFT.WP.Metrology.PathCorrection v1.0 | 附录E 误差与不确定度传播（路径版）

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附录E 误差与不确定度传播（路径版）

一句话目标：给出路径修正的 GUM 与 MC 传播专用口径，显式处理 n_eff 频散项、射线求解误差与两口径数值误差的合成，使 U 与契约可审计、可复现。

I. 范围与对象

• 覆盖对象：T_arr = T_geom + T_med + T_inst + T_proc 的不确定度来源与合成；路径积分 ( ∫_{gamma(ell)} · d ell ) 的参数与数值误差；solve_ray 的几何扰动；两口径差 delta_form 的型 B 计入。
• 输入：名义参数向量 x0、协方差 V_x、数值误差估计 {u_q, u_form, u_ray}、分布设定。
• 输出：u_c, U = k * u_c, nu_eff, report（线性/GUM 与 MC 一致性校核）。

II. 名词与变量

• 变量向量：x = [geom, met, TEC, mapping, fiber, inst]^T。
  geom = {r_tx, r_rx, bc}；met = {T,P,RH}；TEC；mapping（映射系数）；
  fiber = {L_gamma, n_g(f,T) params, temp_coeff}；inst = {T_fixed, drift}。
• 数值误差：u_q（积分/插值），u_form（两口径差型 B），u_ray（射线解/网格）。
• 统计量：u_c（合成标准不确定度），U = k * u_c（覆盖区间），nu_eff（Welch–Satterthwaite），q = [q_low, q_high]（MC 分位）。

III. 公设 P80e-*

• P80e-1 路径与测度显式：任一积分写作 ( ∫_{gamma(ell)} (...) d ell )，并声明 gamma: [0,L_gamma] → R^3。
• P80e-2 两口径并行并入账数值不确定度：u_form = model_typeB(delta_form)。
• P80e-3 频散显式：n_g = n_phi - f * ( d n_phi / d f )；∂ n_eff / ∂ f 进入灵敏度。
• P80e-4 线性/GUM 与 MC 必须交叉校核并落盘；偏离超门触发降级（见附录B C80-1302）。

IV. 最小方程 S80e-*（传播口径）

1. 基线 GUM（小扰动一阶线性化）
   • u_c^2 = J V_x J^T + u_num^2，u_num^2 = u_q^2 + u_form^2 + u_ray^2。
   • J = ( ∂ T_arr / ∂ x ) |_{x0}。
   • nu_eff 用 Welch–Satterthwaite：
     nu_eff = ( u_c^4 ) / ( ∑_i ( c_i^2 * u_i^4 / nu_i ) )，其中 c_i 为对 u_i 的灵敏度权。
   • 覆盖：U = k_{p,nu_eff} * u_c（例如 p=0.95）。
2. 路径积分项的灵敏度分解（冻路径/动路径）
   • 冻路径（gamma 固定）近似：
     ∂ T_med / ∂ θ ≈ ( ∫_{gamma} ( ∂ ( n_eff / c_ref ) / ∂ θ ) d ell )。
   • 动路径（gamma 依赖介质）补偿项：
     Δ(∂ T_med / ∂ θ) ≈ ( ∫_{gamma} ( n_eff / c_ref ) * ( t_hat ⋅ ∂ gamma / ∂ θ )' d ell )；数值上由 solve_ray 的伴随/差分得到。
   • 射线数值不确定度：u_ray = k_grid * | T_med(h) - T_med(h/2) |（Richardson 外推，k_grid ≈ 1/√3 作型 B）。
3. 两口径型 B 入账
   • 取矩形分布：u_form = delta_form / √3；若经验上更保守可用三角：u_form = delta_form / √6。
   • 契约门：delta_form ≤ tol_Tarr，否则回退（见 C80-1011）。
4. 积分/插值数值误差 u_q
   • Gauss-Kronrod/Simpson 自带估计 ε_q，型 B：u_q = ε_q / √3。
   • 若分段插值（样条/多项式），随带余项界 ε_s 计入：u_q ← sqrt( u_q^2 + (ε_s/√3)^2 )。
5. 电离层频散与相关性
   • T_iono = ( 40.3 / c_ref ) * ( TEC / f^2 )，
     ∂ T_iono / ∂ TEC = ( 40.3 / c_ref ) * ( 1 / f^2 )，
     ∂ T_iono / ∂ f = -2 * ( 40.3 / c_ref ) * ( TEC / f^3 )。
   • 多段相关：V_TEC = M Σ_TEC M^T，M 为映射矩阵（段→路径），Σ_TEC 为场协方差。
6. 光纤温漂与色散
   • T_fiber = ( ∫_{gamma} n_g(f,T) d ell ) / c_ref；
     ∂ T_fiber / ∂ T = ( ∫_{gamma} ( ∂ n_g / ∂ T ) d ell ) / c_ref，
     ∂ T_fiber / ∂ f = ( ∫_{gamma} ( ∂ n_g / ∂ f ) d ell ) / c_ref。
   • 温度场离散 T(ell_k) 的相关由 Σ_T（空间相关长度 L_c）定义并装配到 V_x。
7. 非线性指示器与 MC 切换
   • 非线性指标：η = | T_arr(x0 + 0.5σ) + T_arr(x0 - 0.5σ) - 2 T_arr(x0) | / U_lin。
   • 规则：若 η > η_thr（建议 0.2）或 skew/kurt 超门，则以 MC 为准并上报差异。
8. MC 传播与分位覆盖
   • 采样：x^(n) ~ p(x)（推荐相关采样：高斯 N(x0, V_x) 或 Copula/拉丁超立方）。
   • 求解：对每次样本运行 solve_ray 与积分，得 T_arr^(n) 或 T_corr^(n)。
   • 分位：q = [ quantile(T, α/2), quantile(T, 1-α/2) ]；
     U_MC = ( q_high - q_low ) / 2，u_c_MC = std(T)。
   • 收敛：se(q_p) ≤ eps_q 与 R_hat ≤ 1.05（多链）作为停止判据。

V. 计量流程 M80-E（就绪→传播→校核→落盘）

1. 就绪
   固定 RefCond 与输入先验（V_x、分布族、相关结构）；确定数值策略（积分阶、网格）；设定阈值 {η_thr, eps_q}。
2. GUM
   构建伴随或差分求 J；装配 V_x；计算 u_c_lin = sqrt( J V_x J^T + u_num^2 )、nu_eff、U_lin。
3. MC（条件触发/全量）
   生成样本 N（起步 N=2e3，重尾建议 N≥1e4）；运行全链条；得 U_MC、q 与诊断。
4. 校核与一致化
   差异指标：ρ = |U_MC - U_lin| / U_MC；若 ρ > 0.2 或 η > η_thr，以 MC 报告为准并加注 tags:["nonlinear"]。
5. 落盘
   • manifest.path.u = { u_c, U, method∈{GUM,MC}, nu_eff?, u_num:{u_q,u_form,u_ray}, J.hash, Vx.hash, diag:{η,ρ,N,se_q} }。
   • 记录随机种子与采样法：mc:{seed, sampler, chains} 以便回放。

VI. 契约与断言（补充 C80-13xx 建议阈值）

• C80-1304 非线性门：η ≤ 0.2，超限要求 method="MC" 并放大 U ← 1.2U（degrade/S2）。
• C80-1305 GUM/MC 一致性：ρ ≤ 0.2；连续 K 窗超限触发回退（fallback/S3）。
• C80-1306 数值入账完备：u_num 三要素齐全且 delta_form 与 u_form 一致 → 否则 block/S4。
• C80-1307 抽样充分性：se(q_{0.975}) ≤ eps_q（建议 ≤ 0.05 * U）→ 否则 fallback/S3。

VII. 实现绑定 I80-*（传播层接口）

1. I80-147 propagate_gum(model, x0, Vx, num_opts) -> {u_c, U, nu_eff, J, u_num, report}
   • 入参：model 提供 T_arr(x) 与可选伴随；num_opts={quad, grid, tol}。
   • 不变量：check_dim(T_arr) = "[T]"；Vx 对称半正定；返回 J 尺寸与 x0 一致。
2. I80-148 propagate_mc(model, sampler, N, num_opts, seed) -> {U, q, u_c, diag, samples.hash}
   • 采样器：sampler ∈ {Gaussian, LHS, Copula}，可携带相关。
   • 诊断：diag={R_hat, se_q, η, ρ}；失败时抛契约 C80-1307。
3. I80-149 assemble_cov(fields) -> Vx
   按场相关长度、协方差核（例如指数核）与权重矩阵装配段级 Vx。

VIII. 交叉引用

• 两口径与积分数值误差：见第10章。
• 射线求解灵敏度与伴随：见第9章。
• 环境融合与 RefCond：见第11章。
• 契约动作与策略卡：见附录B。
• 清单与落盘键：见附录C。
• 指标与在线漂移度量：见附录D。

IX. 质量与风控

• SLO：U_overshoot_rate(W) ≤ 2%（自由空间），≤ 1%（光纤 WR）；se(q_p) ≤ 0.05 * U；delta_form_p99 ≤ 0.5 * tol_Tarr。
• 回退矩阵：live → model → climatology → RefCond0，并逐级放大 U（例如 ×1.2, ×1.5, ×2.0）。
• 审计最小集：J.hash, Vx.hash, num_opts, mc.seed, diag，与 contracts.* 同步入账。

小结

• 本附录将路径积分、频散与射线求解纳入统一的不确定度传播框架：u_c^2 = J V_x J^T + u_num^2 与 MC 分位覆盖并行、互证。
• 关键产出：{u_c, U, nu_eff, u_num(u_q,u_form,u_ray), J, Vx, q, diag} 全量落盘到 manifest.path.u，并由 C80-13xx 约束上线质量。
• 依本口径，任一链路（自由空间/光纤/NLOS）均可形成可复现与可审计的不确定度声明与 guardband。