29-EFT.WP.TBN.Measurement v1.0 | 第2章 数学基线（相位噪声/频率偏差/到达时）

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第2章 数学基线（相位噪声/频率偏差/到达时）

一句话目标：建立 S_phi(f)↔S_y(f)↔sigma_y(τ) 与 T_arr 两口径的统一工程口径，明确测度、单位与变换关系，为全卷的采集、估计、校核与发布提供可计算、可审计的数学基线。

I. 范围与对象

1. 输入
   • 观测与窗域：复基带或时间戳流 y_raw(t)，窗口 W=[ts-Δt, ts]，窗函数 w(t)，带宽参数 RBW/ENBW。
   • 参考与参数：名义频率 f_ref，采样率 Fs，两口径路径与介质 n_eff(f,x)、路径 gamma(ell)，常数 c_ref。
2. 输出
   • 频域/统计：S_phi(f)、S_y(f)、sigma_y(τ)（ADEV/MDEV/HDEV），跨域变换关系与单位。
   • 到达时：T_arr^{form1}, T_arr^{form2} 与差 delta_form，一致化口径约束。
   • 清单键：manifest.tbn.baseline（测度、窗/带宽、单位映射、两口径与阈值）。
3. 边界
   默认线性时不变、窄带工程口径；非平稳或强非线性在后续章节（估计器与运行）中标注扩展。

II. 名词与变量

• 时频与相位：phi(t)（相位，rad），f(t)（瞬时频率，Hz），y(t) = ( f(t) - f_ref ) / f_ref（无量纲频率偏差）。
• 功率谱与统计：S_phi(f)（unit="rad^2/Hz"），S_y(f)（unit="1/Hz"），sigma_y(τ)（Allan 偏差，unit="1"）。
• 窗与带宽：RBW（分辨率带宽），ENBW（等效噪声带宽），ENBW = ( ∫ w^2 dt ) / ( (∫ w dt)^2 / Fs )。
• 到达时与路径：T_arr，n_eff(f,x)，gamma(ell)，L_gamma = ( ∫_{gamma} 1 d ell )。
• 量纲示例：unit(T_arr) = "[T]"；check_dim(z)=1 对所有无量纲指标成立。

III. 公设 P502-*

• P502-1（测度显式）：任何谱与统计均指明域与测度：( ∫_{f∈B} · df )、( ∫_{t∈W} · dt )、( ∫_{gamma(ell)} · d ell )；声明窗 w(t) 与 RBW/ENBW。
• P502-2（单位一致）：S_phi/S_y/sigma_y 与 T_arr 的单位/量纲须通过 check_dim( y - f(x) )；对数量↔线性换算写入 scale.note。
• P502-3（两口径并行）：到达时必须并行计算 T_arr^{form1}, T_arr^{form2} 并记录 delta_form ≤ tol_Tarr。
• P502-4（窄带线性化）：默认在 Δf≪f_ref 的窄带近似下使用线性化关系；偏离条件须在清单标注。
• P502-5（RefCond 可追溯）：f_ref/Fs/RBW/ENBW、窗函数、路径与介质来源 hash/有效期 写入 RefCond。

IV. 最小方程 S502-*

1. 相位—频率—偏差的时域关系

• S502-1：f(t) = (1/2π) d phi(t) / dt，y(t) = ( f(t) - f_ref ) / f_ref = ( 1 / 2π f_ref ) d phi(t) / dt。

2. 功率谱变换与单位映射

• S502-2：S_y(f) = ( f / 2π f_ref )^2 S_phi(f)（小偏差、线性近似，f 为 Fourier 频率，Hz）。
• S502-3（逆变换）：S_phi(f) = ( 2π f_ref / f )^2 S_y(f)，f>0。

3. Allan 家族与谱到统计的映射

• S502-4（ADEV 频域表达）：sigma_y^2(τ) = 2 ∫_0^∞ S_y(f) |H_τ(f)|^2 df，
  其中 |H_τ(f)|^2 = ( sin^4(π f τ) ) / ( (π f τ)^2 )。
• S502-5（常见噪声型的一阶标度，工程近似）：
  白 PM：sigma_y(τ) ∝ τ^{-1}；白 FM：∝ τ^{-1/2}；随机游走 FM：∝ τ^{+1/2}（常数与带宽依窗与实现）。

4. 窗口/带宽与谱估计偏差

• S502-6：周期图分辨率与等效带宽：Δf ≈ 1/Δt，ENBW 由窗决定；谱估计无偏化需用 ENBW 校正：
  Ŝ_y(f) = P_y(f) / ENBW（P_y 为窗后功率密度）。

5. 到达时两口径与差

• S502-7：
  T_arr^{form1} = ( 1 / c_ref ) ( ∫_{gamma(ell)} n_eff d ell )；
  T_arr^{form2} = ( ∫_{gamma(ell)} ( n_eff / c_ref ) d ell )；
  delta_form = | T_arr^{form1} - T_arr^{form2} |。

6. 链路延时分解与一致化表达

• S502-8：lat_total = lat_prop + lat_ser + lat_sw + lat_q + lat_proc；
  T_arr* = T_arr^{form2} + ΔT_geom + ΔT_med + ΔT_inst + ΔT_proc + ΔT_sync（一致化口径）。

7. CRLB 与估计下界（参考）

• S502-9：纯正弦＋AWGN 的频率估计 CRLB：
  var( f̂ ) ≥ 6 / ( (2π)^2 · SNR · T_obs^3 )，SNR = A^2 / (N0 Fs)；发布时注明模型与常量口径。

V. 计量流程 M50-2（就绪→采集→变换→校核→落盘）

1. 就绪
   固化 RefCond：f_ref/Fs/RBW/ENBW/window_fn 与路径/介质/设备 hash；设定窗口 W 与分位 {p50,p95,p99}，阈值 tol_Tarr。
2. 采集
   获取 I/Q/时间戳流；做去趋势/去偏移（保留元数据）；记录触发与参考一致性。
3. 变换
   • 计算 phi(t), y(t) 与 S_phi(f), S_y(f)（带 ENBW 校正）；按 S502-4 生成 sigma_y(τ)；
   • 并行积分 T_arr^{form1/form2} 与分解 lat_*。
4. 校核
   • check_dim(*)；两口径差 delta_form ≤ tol_Tarr；谱估计与 CRLB/SNR 一致性；
   • 记录不确定度 u/U 与来源（窗/带宽/路径/介质/仪器）。
5. 落盘
   manifest.tbn.baseline = {RefCond.hash, window:{Δt,window_fn}, RBW, ENBW, spectra:{S_phi,S_y}, stats:{sigma_y(τ)}, Tarr:{form1,form2,delta_form}, lat_*, u/U, contracts.*, signature}。

VI. 契约与断言 C50-2x（建议阈值）

• C50-201（两口径差）：delta_form_p95 ≤ tol_Tarr（建议 tol_Tarr = 1e-3·T_arr 或链路特定）。
• C50-202（窗/带宽一致）：RBW/ENBW 与 window_fn 落盘一致，泄露与分辨率门达标。
• C50-203（SNR/CRLB 护栏）：估计器满足 SNR ≥ SNR_min 与 T_obs ≥ T_min；不足拒发或降级。
• C50-204（单位/量纲）：check_dim( S_phi )="rad^2/Hz", check_dim( S_y )="1/Hz", check_dim( sigma_y )="1", check_dim( T_arr )="[T]"。
• C50-205（RefCond 新鲜度）：age(RefCond) ≤ Δt_max，coverage ≥ cov_min。

VII. 实现绑定 I50-2*（接口原型、输入输出、不变量）

• I50-21 estimate_spectra(raw, Fs, window_fn, RBW|ENBW) -> {S_phi, S_y, meta}
• I50-22 allan_stats(y_series, τ_set) -> {sigma_y, meta}
• I50-23 twoform_latency(n_eff, gamma, c_ref) -> {T_arr_form1, T_arr_form2, delta_form}
• I50-24 latency_breakdown(link_signals) -> {lat_prop, lat_ser, lat_sw, lat_q, lat_proc}
• I50-25 assert_baseline_contracts(ds, rules) -> {report, pass}
• I50-26 emit_baseline_manifest(results, policy) -> {uri, status}
  不变量：two_forms_present=true；check_dim(*) 通过；窗/带宽与谱估计口径写入 meta；路径/介质/设备与 RefCond 可追溯。

VIII. 交叉引用

• PathCorrection/PathRedshift：两口径与路径/介质积分、频散映射；
• TimeBase/Sync：tau_mono/ts/offset/skew/J 与对时口径；
• Instrument：前端/仪器计量的回环/对等；
• 本卷第4–5章：估计器与 Allan 家族实现；第6–7章：链路与环境修正。

IX. 质量与风控

• SLI/SLO：delta_form_p95, sigma_y(τ) 分位, S_phi@f 门限, age(RefCond), coverage。
• 回退策略：两口径差超限→统一到 form2 并增 guardband；谱估计与 CRLB 不符→延长窗/提升 SNR/更换窗函数；RefCond 过期→降级或拒发。
• 审计：清单签名链、RBW/ENBW/window_fn 与路径/介质源 hash，回放脚本与双环境复算。

小结

• 本章给出 S_phi↔S_y↔sigma_y 与 T_arr 两口径的可计算—可校核—可发布基线；
• 以 M50-2/C50-2x/I50-2* 与清单 manifest.tbn.baseline 为锚，保障后续采集、估计、修正、合规与运行章节在测度/单位/两口径上严格一致，支撑端到端的 TBN 计量与发布。