30-EFT.WP.Propagation.TensionPotential v1.0 | 附录C 推导细节与证明草图

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附录C 推导细节与证明草图

I. 预备与记号

1. 路径与测度：gamma(ell) 为分片 C^1 的路径，ell ∈ [0,L]，线元 d ell，路径长度 L_path = ∫_0^L d ell。
2. 核心场与量：Phi_T(x,t)，grad_Phi_T(x,t)，n_eff(x,t,f)，c_ref，局域速度 c_loc(x,t,f) = c_ref / n_eff(x,t,f)。
3. 到达时两口径
   • 常量外提：T_arr = (1/c_ref) * ∫_gamma n_eff d ell。
   • 一般口径：T_arr = ∫_gamma ( n_eff / c_ref ) d ell。
4. 正则性假设（最小）：在相干窗口内，n_eff(·) 分片连续且有界，c_ref 常量或分片连续，F 与 G 在所用域内利普希茨连续。

II. 路径积分的基本性质

引理 1（重参数化不变性）
若 sigma = h(ell) 为严格单调的可微重参数化，则
∫_0^L g( gamma(ell) ) d ell = ∫_{h(0)}^{h(L)} g( gamma( h^{-1}(sigma) ) ) d sigma。
证明要点：链式法则；d sigma = h'(ell) d ell，由单调性得换元合法。

引理 2（拼接可加性）
设 gamma = gamma_1 ∘ gamma_2，端点处连续相接，则
∫_gamma g d ell = ∫_{gamma_1} g d ell + ∫_{gamma_2} g d ell。
证明要点：按分段定义积分并相加，端点测度零不影响结果。

推论（到达时可加）
两口径下均有 T_arr[gamma] = T_arr[gamma_1] + T_arr[gamma_2]。

III. 两口径的等价与下界

命题 1（两口径一致的充分条件）
若 c_ref 为常量或在积分号内与 n_eff 的乘积允许整体视作被积函数，则两口径一致。
证明草图：若 c_ref 常量，直接提出得到常量外提。若 c_ref = c_ref(x,t,f)，则一般口径是对被积函数 n_eff/c_ref 的积分；当 c_ref 的波动满足第6章的阈值条件时，两口径差异压低到预设容差内。

定理 1（到达时下界）
若 n_eff(x,t,f) ≥ 1，则
常量外提：T_arr ≥ L_path / c_ref；一般口径：T_arr ≥ ∫_gamma (1/c_ref) d ell。
证明要点：被积函数单调下界代入，积分保序。

命题 2（等号成立条件）
下界取等当且仅当沿路径 n_eff ≡ 1。

IV. 规范不变性与等效类

命题 3（规范平移不变）
若 n_eff = F( grad_Phi_T, rho, f ) 不含绝对势，则 Phi_T → Phi_T + const 不改变 T_arr。
证明草图：grad( Phi_T + const ) = grad_Phi_T，两口径仅依赖被积函数中的 n_eff，故不变。

命题 4（含绝对势的情形）
若 n_eff = F( Phi_T, grad_Phi_T, … ) 含绝对势项，需固定规范 Phi_T(x_ref,t_ref) = 0。不同规范给出常数平移，进入标定与不确定度预算。

V. n_eff 的构造与展开

命题 5（小梯度展开）
在参考态 Phi_T = Phi_0 邻域，n_eff 的各向同性展开可写为
n_eff ≈ a0 + a1 · ( Phi_T − Phi_0 ) + a2 · norm( grad_Phi_T )^2。
证明要点：以 Phi_T 与 grad_Phi_T 为自变量的充分光滑函数，对称性排除一阶线性梯度标量项，仅保留对称不变的二次型 norm(grad_Phi_T)^2。

命题 6（各向异性首项）
若介质存在首选方向 t_hat（路径切向），最小不变量可加项为
b1 · dot( grad_Phi_T , t_hat )。
证明要点：在存在单位向量的破缺对称条件下，允许一阶标量 dot(grad_Phi_T, t_hat)。其系数由计量识别。

命题 7（频带多项式）
n_path(x,t,f) 在带宽 f ∈ [f0 − Δf, f0 + Δf] 内可写
n_path ≈ ∑_{m=1}^M c_m(x,t) · ( f − f0 )^m。
证明要点：Weierstrass 逼近在紧区间可用，多项式阶 M 由残差阈值裁剪。

VI. 频带差分隔离 path term

定理 2（差分消去公共项）
ΔT_arr(f1,f2) 在同一路径上满足
常量外提：ΔT_arr = (1/c_ref) ∫ [ n_path(f1) − n_path(f2) ] d ell；
一般口径：ΔT_arr = ∫ [ ( n_path(f1) − n_path(f2) ) / c_ref ] d ell。
证明要点：将 n_eff = n_common + n_path 代入，两端相减，n_common 抵消。

VII. 一阶变分与敏感度

定理 3（常量外提口径的一阶变分）
δT_arr = (1/c_ref) ∫ [ (∂n_eff/∂Phi_T) · δPhi_T + (∂n_eff/∂grad_Phi_T) · grad(δPhi_T) + (∂n_eff/∂rho) · δrho ] d ell。
证明草图：Gateaux 变分，交换变分与积分。grad(δPhi_T) 项可按需要做分部积分并在边界条件下处理边项。

定理 4（一般口径的一阶变分）
δT_arr = ∫ [ (δn_eff / c_ref) − ( n_eff · δc_ref / c_ref^2 ) ] d ell。
证明草图：对被积函数 n_eff/c_ref 直接微分，线性化保留一阶。

推论（参数灵敏度）
若 n_eff 由参数 theta 控制，则
∂T_arr/∂theta = ∫ ( ∂n_eff/∂theta ) / c_ref d ell（一般口径），常量外提在前式外乘 (1)。

VIII. Phi_T = G(T_fil) 的可积性与单调性

命题 8（单调映射保证序保持）
若 G 严格单调增，即 dG/dT_fil > 0，则 Phi_T 与 T_fil 的序关系一致。
意义：在标定时可将 Phi_T 的变化等价为张力变动的单调刻画。

命题 9（利普希茨与积分存在）
若 F 与 G 在相干窗口内利普希茨连续，且路径可测，则 n_eff( gamma(ell) ) 可积，T_arr 存在。
证明要点：利普希茨连续函数是可测且局部有界，勒贝格可积成立。

IX. 界面匹配与修正项

定理 5（连续型接口）
在 Sigma 上若 Phi_T^+ = Phi_T^- 且 J_sigma = dot( grad_Phi_T^+ − grad_Phi_T^- , n_vec ) = 0，并且 F 连续，则 n_eff^+ = n_eff^-，到达时仅需分段积分，无额外修正。
证明要点：侧限一致与函数连续性给出被积函数无跃迁。

定理 6（势跃迁型修正）
若 Phi_T^+ − Phi_T^- = C_sigma，J_sigma = 0，则 n_eff 在两侧可能不同。对超薄界面可引入零厚度修正
ΔT_sigma ≈ k_sigma · H(crossing)，k_sigma 由局部标定，H 为穿越指示。
证明草图：界面近域将 Phi_T 视作分片常数与小区间内的阶跃，时间延迟贡献近似常量。

定理 7（通量跃迁与定向项）
若 J_sigma ≠ 0，允许在 n_eff 的法向响应中加入界面系数，如 b1_sigma · dot( grad_Phi_T , n_vec )。
证明要点：从守恒与匹配条件构造首个允许的不变量项。

能量一致性约束
反射、透射、损耗满足 R_sigma + T_trans + A_sigma = 1，不直接改变 n_eff ≥ 1 的下界，但改变有效路径权重。

X. 数值离散与收敛阶

命题 10（离散一致性）
若采用一致的 { gamma[k], Δell[k] } 与同阶插值，离散到达时
常量外提：T_arr ≈ (1/c_ref) * ∑ n_eff[k] Δell[k]；
一般口径：T_arr ≈ ∑ ( n_eff[k] / c_ref[k] ) Δell[k]，在网格步长 h 与路径步长 Δell 同阶细化下，误差阶由求积与插值的最低阶决定。
证明要点：一致性与稳定性理论；局部截断误差累积到全局误差的标准估计。

命题 11（差分稳健性）
若对同一路径使用相同离散，ΔT_arr(f1,f2) 的数值误差一阶抵消，提高识别 n_path 的信噪比。
证明要点：共同项误差相消的差分思想。

XI. 选择口径的判据

命题 12（阈值判据）
若 max_{ell} |δc_ref/c_ref| ≤ eta_c，采用常量外提口径；否则用一般口径并记录 c_ref(x,t,f) 的估计与不确定度。
证明要点：将两口径的差异界定为高阶小量，阈值由第7章计量策略给出。

XII. 误差项的形式化分解

• GUM 线性化：以一阶敏感度将 u_c^2(T_arr) 写成各项方差与协方差的加权和，见第12章的表达式。
• MC 路径：抽样 { c_ref, n_eff[k], Δell[k] } 得到 T_arr 分布，校验线性化假设。

XIII. 典型推导小结清单

• 两口径与下界：由 n_eff ≥ 1 得到 T_arr 下界。
• 规范不变：仅依赖 grad_Phi_T 的模型对 Phi_T → Phi_T + const 不敏感。
• 小梯度与定向：由对称性给出 a0,a1,a2 与 b1 的最小项集。
• 差分消去公共项：ΔT_arr 仅表征 path term。
• 界面修正：连续、势跃迁、通量跃迁三类的处理与能量一致约束。
• 离散收敛：同阶细化和一致离散保证收敛，差分可提升稳健性。

XIV. 交叉引用

• 《EFT.WP.Propagation.TensionPotential v1.0》第3章，第4章，第5章，第6章，第7章，第8章，第9章，第12章
• 《EFT.WP.Core.Equations v1.1》S06-*
• 《EFT.WP.Core.Metrology v1.0》M05-，M10-