31-EFT.WP.BH.TensionWall v1.0 | 附录A 符号、单位与维度检查

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附录A 符号、单位与维度检查

I. 一句话目标

一句话目标：给出张度墙 Sigma_TW 相关符号的统一写法与单位、维度（量纲）口径，提供可执行的维度核查流程与常见陷阱防护，确保 T_arr、n_eff、Phi_T 与壁项 W(r), Xi_TW(r), Delta_T_sigma 在两类到达时口径下量纲自洽。

II. 适用范围与非目标

• 覆盖：基础维度集合、统一单位、TW 专属符号与量纲、两口径连续/离散核查、壁项与频带项的参数量纲、界面与能量三元组量纲、自动化检查步骤与示例。
• 非目标：不定义装置级单位限制；不替代第7章不确定度传播方法与第9章数值实现细节。

III. 基本维度与单位规范（SI）

• 基本维度：[L]（长度），[T]（时间），[M]（质量）。角量默认无量纲（弧度）。
• SI 单位：长度 m，时间 s，速度 m·s^-1，频率 Hz = s^-1。路径线元与路径长度统一 m。
• 规则：内联符号一律用反引号；所有除法、积分与复合算符加括号，并显式路径 gamma(ell) 与测度 d ell。

IV. 固定符号与对应维度（TW 版）

1. 空间、时间与路径
   • x：位置，dim = [L]；t：时间，dim = [T]
   • ell：路径标参，dim = [L]；gamma(ell)：路径映射，dim = [L]
   • d ell：线元，dim = [L]；L_path = ∫ d ell，dim = [L]
2. 到达时与速度
   • T_arr：到达时，dim = [T]
   • c_ref：参照速度（常量或场），dim = [L][T^-1]
   • c_loc(x,t,f) = c_ref / n_eff，dim = [L][T^-1]
3. 折射率与分解
   • n_eff(x,t,f)：有效折射率，dim = 1
   • n_common(x,t)：公共项，dim = 1；n_path(x,t,f)：路径/频带项，dim = 1
4. 壁与界面
   • W(r)：壁剖面（规范化 0→1），dim = 1
   • Xi_TW(r) = | dW/dr |，dim = [L^-1]
   • r_H：特征半径，dim = [L]；Delta_w：壁厚，dim = [L]
   • Delta_T_sigma：零厚度修正的到达时增量，dim = [T]
5. 势与梯度
   • Phi_T(x,t)：张度势，dim = ?（实现可无量纲化）
   • grad_Phi_T(x,t)：dim = dim(Phi_T)[L^-1]
6. 界面量与能量三元组
   • C_sigma = Phi_T^+ − Phi_T^-，dim = dim(Phi_T)
   • J_sigma = dot( grad_Phi_T^+ − grad_Phi_T^- , n_vec )，dim = dim(grad_Phi_T)
   • R_TW, T_trans, A_sigma：反射、透射、损耗系数，dim = 1，且 R_TW + T_trans + A_sigma = 1
7. 方向量
   n_vec：外法向单位向量，dim = 1；t_hat：路径切向单位向量，dim = 1

V. 到达时两口径维度核查（连续与离散一致）

1. 常量外提口径
   • 连续式：T_arr = ( 1 / c_ref ) * ( ∫ n_eff d ell )
     量纲核查：∫ n_eff d ell -> [L]，乘 (1/c_ref) -> [T]
   • 离散式：T_arr ≈ ( 1 / c_ref ) * ∑ n_eff[ gamma[k] ] · Δell[k] -> [T]
2. 一般口径
   • 连续式：T_arr = ∫ ( n_eff / c_ref ) d ell
     量纲核查：(n_eff/c_ref) -> [T][L^-1]，乘 d ell -> [T]
   • 离散式：T_arr ≈ ∑ ( n_eff[ gamma[k] ] / c_ref[ gamma[k] ] ) · Δell[k] -> [T]
3. 下界一致：因 n_eff ≥ 1，恒有 T_arr ≥ L_path / c_ref（一般口径在被积函数中等价体现）。

VI. 壁项与频带项参数量纲

1. 小梯度各向同性展开（第3章 S40-5）
   • n_eff ≈ a0 + a1 · ( Phi_T − Phi_0 ) + a2 · norm( grad_Phi_T )^2 + u0 · W(r) + u1 · Xi_TW(r)
   • dim(a0) = 1；dim(a1) = 1 / dim(Phi_T)
   • dim(a2) = 1 / dim(grad_Phi_T)^2 = [L^2] / dim(Phi_T)^2
   • dim(u0) = 1；dim(u1) = 1 / [L]
2. 定向扩展（第3章 S40-6）
   • … + b1 · dot( grad_Phi_T , t_hat ) + b1_sigma · dot( grad_Phi_T , n_vec )
   • dim(b1) = dim(b1_sigma) = 1 / dim(grad_Phi_T) = [L] / dim(Phi_T)
3. 频带多项式（第3章 S40-7）
   • n_path ≈ ∑_{m=1}^M c_m(x,t) · ( f − f0 )^m，dim( (f − f0)^m ) = [T^-m]
   • dim(c_m) = [T^m]；若使用归一化 ((f − f0)/f_ref)^m，则 dim(c_m) = 1
4. 零厚度修正（第3章 S40-11）
   Delta_T_sigma ≈ k_sigma · H( crossing )，dim(H) = 1，故 dim(k_sigma) = [T]

VII. 界面与层间量纲核查

• 连续型：Phi_T^+ = Phi_T^-、J_sigma = 0，若 F 连续，则 n_eff^+ = n_eff^-（量纲自洽）。
• 势跃迁型：C_sigma ≠ 0，dim(C_sigma) = dim(Phi_T)；对 n_eff 的影响通过 a1, b1/b1_sigma 等参数的量纲传导。
• 通量跃迁型：J_sigma ≠ 0，dim(J_sigma) = dim(grad_Phi_T)；若在 n_eff 引入法向响应系数 k_sigma^n，则 dim(k_sigma^n) = 1 / dim(grad_Phi_T)。
• 侧限可行域：匹配后需满足 n_eff^+ ≥ 1 与 n_eff^- ≥ 1；违背为不可行构造。

VIII. 不确定度与量纲

• 规则：不确定度 u(q) 与量 q 同量纲；合成不确定度 u_c(T_arr) 为 [T]。
• 典型项：u(c_ref) -> [L][T^-1]，u(n_eff) -> 1，u(Δell) -> [L]，u(T_arr) -> [T]，u(Delta_T_sigma) -> [T]。
• 报告：mean ± k·u_c 保持 [T]；差分 ΔT_arr(f1,f2) 亦为 [T]。

IX. 坐标与单位映射（实现契约）

• units_spec：声明长度 m、时间 s、速度 m·s^-1、频率 Hz。输入若以 km 或 ms，入口必须映射至 SI 并记录映射。
• coords_spec：声明坐标系（Cartesian/Spherical 或 ECEF/ENU）；任何转换须保持 Δell 单位一致并更新哈希。
• Path 约束：gamma[k] 与 Δell[k] 同单位；t_hat[k] 与 n_vec 无量纲；界面坐标与路径坐标一致。

X. 自动化维度检查流程（check_dimension 建议序）

1. 契约读取：加载 units_spec、coords_spec、mode、阈值 eta_T, eta_w, tau_switch。
2. 符号绑定：固定 dim(c_ref)=[L][T^-1]、dim(n_eff)=1、dim(d ell)=[L]、dim(T_arr)=[T]。
3. 方程核查：
   • 常量外提：验证 dim( ∫ n_eff d ell / c_ref ) = [T]
   • 一般口径：验证 dim( ∫ ( n_eff/c_ref ) d ell ) = [T]
4. TW 项核查：推断 a1,a2,u1,b1,b1_sigma,c_m,k_sigma 之量纲是否与本附录一致。
5. 界面项核查：C_sigma,J_sigma 的量纲与 n_eff 壁项影响项自洽；R_TW + T_trans + A_sigma 仅作能量一致，不涉量纲。
6. 离散一致：检查 Δell[k]、c_ref[k] 单位一致；分段端点显式入积；禁止跨界面插值。
7. 报告生成：输出 DimReport（见第 XII 节）并写入日志。

XI. 常见错误与防护

• 单位混用：路径用 km 而 c_ref 用 m·s^-1，导致 T_arr 偏差 10^3；防护：入口统一转换并记录。
• 遗漏括号：∫ n_eff / c_ref d ell 与 ∫ ( n_eff / c_ref ) d ell 语义不同；防护：强制加括号。
• 角度单位：将度当作弧度使用；防护：所有三角函数入口声明弧度并必要时转换。
• 参数量纲错置：c_m 未按 [T^m] 标注或 u1 未用 [L^-1]；防护：模型装配时自动推断并校验。
• 界面错配：以无量纲值写入 C_sigma 或 J_sigma；防护：按 dim(Phi_T)/dim(grad_Phi_T) 校正或拒收。
• 命名混淆：严禁将 T_fil 与 T_trans 混用；严禁将 n（数密度）与 n_eff（有效折射率）混用。

XII. DimReport 最小字段（TW 版）

• units_spec，coords_spec，mode ∈ {constant, general}
• ok(formula_S40-10)，ok(lower_bound)，ok(discrete_forms)
• dims: { c_ref:[L T^-1], n_eff:1, d_ell:[L], T_arr:[T], Phi_T:?, grad_Phi_T:?·[L^-1], W:1, Xi_TW:[L^-1] }
• params_dims: { a0:1, a1:1/dim(Phi_T), a2:[L^2]/dim(Phi_T)^2, u0:1, u1:[L^-1], b1:[L]/dim(Phi_T), b1_sigma:[L]/dim(Phi_T), c_m:[T^m], k_sigma:[T] }
• interfaces: { C_sigma:dim(Phi_T), J_sigma:dim(grad_Phi_T), R_TW:1, T_trans:1, A_sigma:1 }
• tw_switch: { eta_w:1, tau_switch:[T] }
• discrete_consistency: { Δell_unit:ok, c_ref_unit:ok, segmentation:no-cross-interface, interpolation:ok }
• notes: 异常与自动修正说明
• hashes: hash(Phi_T), hash(gamma), hash(code), hash(TWProfile)

XIII. 示例核查（四例）

1. 示例1｜均匀外区无壁
   • 条件：n_eff ≡ 1，任意路径
   • 结论：T_arr = L_path / c_ref，量纲 [L]/([L][T^-1]) = [T]，下界取等。
2. 示例2｜薄壁零厚度修正
   • 条件：单次穿越，Delta_T_sigma = k_sigma
   • 量纲：dim(k_sigma) = [T]，T_arr_total = T_arr + Delta_T_sigma 仍为 [T]。
3. 示例3｜频带一次色散
   • 条件：n_path ≈ c_1 ( f − f0 )
   • 量纲：dim(c_1) = [T]，故 dim(ΔT_arr) = [T]，两口径一致。
4. 示例4｜定向项（法向/切向）
   • 条件：n_eff ≈ a0 + b1 · dot( grad_Phi_T , t_hat ) + b1_sigma · dot( grad_Phi_T , n_vec )
   • 量纲：dim(b1) = dim(b1_sigma) = [L]/dim(Phi_T)；若 Phi_T 无量纲化，则 dim(b1) = dim(b1_sigma) = [L]。

XIV. 交叉引用

• 《EFT.WP.BH.TensionWall v1.0》第3章（最小方程与结构模型）、第5章（壁参数化）、第6章（传播与到达时）、第8章（界面匹配）、第12章（误差预算）
• 《EFT.WP.Propagation.TensionPotential v1.0》附录A（符号与维度）
• 《EFT.WP.Core.Equations v1.1》S06-*（记号与算子）
• 《EFT.WP.Core.Metrology v1.0》M05-，M10-（单位与可追溯）

XV. 产出物

• 维度—单位绑定清单（可直接写入 Contract）。
• check_dimension 的执行顺序与判定规则（含 TW 项）。
• DimReport 样例与日志字段映射（含 tau_switch 与能量三元组条目）。