31-EFT.WP.BH.TensionWall v1.0 | 附录C 推导细节与证明草图

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附录C 推导细节与证明草图

I. 预备与记号

1. 路径与测度：gamma(ell) 为分片 C^1 路径，ell ∈ [0,L]，线元 d ell，路径长度 L_path = ∫_0^L d ell。
2. 场与量：Phi_T(x,t)，grad_Phi_T(x,t)，n_eff(x,t,f)，c_ref，局域速度 c_loc = c_ref / n_eff。
3. 壁与剖面：Sigma_TW，r_H，Delta_w，W(r)，Xi_TW(r) = | dW/dr |。
4. 能量一致：R_TW + T_trans + A_sigma = 1。
5. 到达时两口径
   • 常量外提：T_arr = (1/c_ref) * ∫_gamma n_eff d ell。
   • 一般口径：T_arr = ∫_gamma ( n_eff / c_ref ) d ell。
6. 正则性假设：在相干窗口内，F 与 H_TW 对各自自变量利普希茨连续，n_eff(·) 分片连续且有界，c_ref 为常量或分片连续。

II. 路径积分的基本性质（对应 S40-10）

引理 1（重参数化不变）
若 sigma = h(ell) 严格单调可微，则
∫_0^L g( gamma(ell) ) d ell = ∫_{h(0)}^{h(L)} g( gamma( h^{-1}(sigma) ) ) d sigma。
证明要点：链式法则与单调可逆换元。

引理 2（拼接可加）
设 gamma = gamma_1 ∘ gamma_2，端点连续相接，则
∫_gamma g d ell = ∫_{gamma_1} g d ell + ∫_{gamma_2} g d ell。
推论：两口径下 T_arr[gamma] = T_arr[gamma_1] + T_arr[gamma_2]。

III. 两口径一致与下界（对应 S40-10，S40-16）

命题 1（两口径一致的充分条件）
当 c_ref 为常量，或其变化在被积函数内可并入 n_eff/c_ref 的同一积分，且波动不超过计量阈值，则两口径一致到阈值内。
证明草图：常量情形直接提出常量系数；非常量情形把 n_eff/c_ref 视为单一被积函数，差异受二阶小量控制。

定理 1（到达时下界）
若 n_eff ≥ 1，则
常量外提：T_arr ≥ L_path / c_ref；一般口径：T_arr ≥ ∫_gamma (1/c_ref) d ell。
证明要点：下界代入被积函数并用积分保序性。

命题 2（取等条件）
下界取等当且仅当沿路径 n_eff ≡ 1。

IV. 规范不变性与等效类（对应 S40-8）

命题 3（规范平移不变）
若 n_eff = F( grad_Phi_T, rho, f ) + H_TW(·) 不含 Phi_T 的绝对值，则在 Phi_T → Phi_T + const 下 T_arr 不变。
证明草图：grad( Phi_T + const ) = grad_Phi_T，被积函数不变。

命题 4（含绝对势时的规范固定）
若 F 或 H_TW 显含 Phi_T 绝对值，需固定 Phi_T(x_ref,t_ref) = 0，不同规范差仅由常数平移吸收到标定项。

V. 壁剖面与势映射（对应 S40-1，S40-2，S40-3）

命题 5（剖面单调与界面强度）
W(r) 在过渡区单调，内外两侧近常值，定义 Xi_TW = | dW/dr | 表征界面强度。
证明草图：对 tanh 或 logistic 族直接求导，单调与边界极限成立；样条族通过单调约束与一阶差分非负实现。

命题 6（链式关系）
Phi_T = G(T_fil)，g_T = dG/dT_fil > 0，则 grad_Phi_T = g_T(T_fil) * grad(T_fil)。
意义：保证序保持与可比性，便于把壁项写成 W(r) 与 grad_Phi_T 的函数。

VI. 有效折射率的壁项构造（对应 S40-4…S40-7）

命题 7（最小形态）
n_eff = F( Phi_T, grad_Phi_T, rho, f ) + H_TW( W, Xi_TW, f )，并满足 n_eff ≥ 1。
证明草图：把壁导致的额外响应收集到 H_TW，常规项在 F，用夹持保证下界。

命题 8（各向同性展开）
近参考态 Phi_0，
n_eff ≈ a0 + a1*(Phi_T − Phi_0) + a2*norm(grad_Phi_T)^2 + u0*W + u1*Xi_TW。
证明要点：由对称性排除奇异项；二次型采用 norm(grad_Phi_T)^2。

命题 9（定向首项）
若存在优选方向，允许
b1*dot(grad_Phi_T,t_hat) + b1_sigma*dot(grad_Phi_T,n_vec)。
证明要点：破缺各向同性后，最小标量由梯度与单位向量的内积给出。

命题 10（频带多项式）
带内展开 n_path(f) ≈ ∑_{m=1}^M c_m (f − f0)^m，公共项进入 n_common。
证明草图：紧区间多项式逼近；阶次由残差阈值裁剪。

VII. 界面匹配与零厚度修正（对应 S40-9…S40-12）

定理 2（匹配三型与侧限）
连续型：Phi_T^+ = Phi_T^- 且 J_sigma = 0，若 F 连续则 n_eff^+ = n_eff^-。
势跃迁型：C_sigma ≠ 0 与 J_sigma = 0，允许侧限不同。
通量跃迁型：C_sigma = 0 与 J_sigma ≠ 0，需在 n_eff 中加入法向响应项。
证明草图：由侧限和连续性直接推出折射率侧限关系。

命题 11（零厚度修正的等效式）
在 Delta_w / r_H ≤ eta_w 下，
Delta_T_sigma ≈ k_sigma * H(crossing)，其中 H 为穿越指示函数。
证明草图：在壁层内把 n_eff 近似为阶跃加薄层权重，路径穿越次数线性叠加。

VIII. 多路径合成与回声延迟（对应 S40-13…S40-15）

命题 12（多路径加权）
T_arr_total = ∑_m w_m * T_arr[gamma_m]，∑_m w_m = 1 或幅度归一策略。
证明草图：线性可加与能量分配权重合成。

命题 13（回声级次延迟）
若存在近壁往返长度 L_loop，第 k 级回声
Delta_T_echo(k) ≈ k * ∫_{loop} ( n_eff / c_ref ) d ell。
证明草图：把每次往返看作闭合段的到达时增量并线性叠加。

IX. 频带差分隔离 path term（对应 S40-15）

定理 3（公共项抵消）
同一路径
常量外提：Delta_T_arr(f1,f2) = (1/c_ref) * ∫ [ n_path(f1) − n_path(f2) ] d ell；
一般口径：Delta_T_arr(f1,f2) = ∫ [ ( n_path(f1) − n_path(f2) ) / c_ref ] d ell。
证明草图：代入 n_eff = n_common + n_path 并相减，公共项抵消。

X. 一阶变分与参数灵敏度（对应 S40-20，S40-21）

定理 4（常量外提口径的变分）
delta T_arr = (1/c_ref) * ∫ [ (∂n_eff/∂Phi_T) * delta Phi_T + (∂n_eff/∂grad_Phi_T) * grad(delta Phi_T) + (∂n_eff/∂rho) * delta rho ] d ell + ∑ crossings delta k_sigma。
证明草图：Gateaux 变分，交换变分与积分，对边界项按匹配条件处理。

定理 5（一般口径的参数梯度）
∂T_arr/∂theta = ∫ ( ∂n_eff/∂theta ) / c_ref d ell。
证明草图：直接对被积函数求偏导并积分。

XI. 薄壁与厚壁一致性误差阶（对应 S40-23，S40-24）

命题 14（一致性收敛）
当 Delta_w / r_H → 0 时，厚壁体积分的壁层贡献 T_arr_layer 收敛到 Delta_T_sigma，差值 tau_switch → 0，且误差阶与 Delta_w 的某次幂成正比。
证明草图：把壁层视为窄支撑的被积函数，使用中值型估计，误差由导数上界与宽度共同控制。

XII. 定向项允许性的对称性论证（对应 S40-6）

命题 15（各向同性排除一阶项）
在完全各向同性条件下，除常数项外的一阶项必须为零，最小非零项是 norm(grad_Phi_T)^2。
证明草图：对所有旋转不变，唯一标量由二次型给出。

命题 16（破缺对称后的首个允许项）
给定单位向量 t_hat 或 n_vec，允许标量 dot(grad_Phi_T,t_hat) 或 dot(grad_Phi_T,n_vec) 进入一阶项。
证明草图：旋转群被子群约束后，新的不变量由内积生成。

XIII. 分段端点与数值收敛（与第9章收敛判据呼应）

引理 3（端点显式与稳定性）
若不显式纳入 { ell_i }，跨界面插值将引入阶跃误差并破坏 T_arr 的一致收敛。
证明草图：阶跃点的插值误差不会随步长均匀收敛，显式分段可恢复局部平滑并保证高阶求积有效。

引理 4（细化单调）
在几何曲率与介质变化双阈值控制下，细化会使离散误差单调下降并满足 | T_arr^{(fine)} − T_arr^{(coarse)} | ≤ eps_T。
证明要点：分段后被积函数分片光滑，标准求积误差上界成立。

XIV. 证明草图小结与使用提示

• 两口径在常量或弱变 c_ref 条件下等价，真实实现以一致性指标 eta_T 审计。
• 壁的影响拆分为几何剖面 W 与强度 Xi_TW，以零厚度修正近似薄壁贡献，以体积分处理厚壁。
• 频带差分是隔离 path term 的关键工具，必须复用相同路径离散与修正配置。
• 变分表达提供了反演与不确定度传播的灵敏度源公式，界面穿越额外贡献由 k_sigma 的变分项承担。
• 薄厚壁一致性用 tau_switch 审计，未过门限应切换到厚壁链路。
• 定向项的引入需要数据支持与显著性检验，避免过拟合与虚假方向性。