05-EFT.WP.Core.Errors v1.0 | 附录B 稳健损失与权函数速查

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附录B 稳健损失与权函数速查

I. 使用口径与记号

1. 残差定义：r def= y - f(x; theta)；逐点残差 e_i def= r_i。
2. 规模与标准化：s 为 robust scale，默认 s approx 1.4826 * MAD(r)；标准化残差 t_i def= e_i / s。
3. 权重矩阵与加权准则：R = diag(w_i)，chi2 = r^T R r = sum_i w_i * e_i^2。
4. 稳健目标：min_theta sum_i rho( t_i ; hyper )；影响函数 psi(t) = d rho / d t；权函数 w(t) = psi(t) / t（当 t != 0，t = 0 取极限）。
5. IRLS 更新骨架（与 I50-2 对应）
   • 计算 t_i = e_i / s；按所选损失得到 w_i = w(t_i; hyper)。
   • 以 R = diag(w_i) 解加权最小二乘更新 theta。
   • 若启用自适应规模，重估 s，如 s_new = 1.4826 * MAD( r_new )；至收敛。

II. 常用损失族（rho / psi / w）速查

1. 约定：均以 t = e / s 表示标准化残差；c > 0 为调谐常数（如 Huber、Tukey、Cauchy、Fair、Geman-McClure、Andrews）；nu > 0 为 StudentT(nu) 自由度。
2. 输出接口对齐：loss_rho(kind, hyper) 与 psi_weight(kind, hyper)，其中 hyper 至少包含 {"c":..., "nu":...} 中的相关键。
3. L2（Quadratic）
   • rho(t) = 0.5 * t^2
   • psi(t) = t
   • w(t) = 1
   • 特性：高效率，抗离群性弱，不降权。
4. L1（Absolute）
   • rho(t) = |t|
   • psi(t) = sign(t)（t = 0 未定义，取 0）
   • w(t) = 1 / |t|（数值实现需 max(|t|, eps)）
   • 特性：对尖峰稳健，解多为稀疏残差；对小噪声不如 L2 高效。
5. Huber（c）
   • rho(t) = 0.5 * t^2 若 |t| <= c；否则 rho(t) = c * ( |t| - 0.5 * c )
   • psi(t) = t 若 |t| <= c；否则 psi(t) = c * sign(t)
   • w(t) = 1 若 |t| <= c；否则 w(t) = c / |t|
   • 特性：过渡型，兼顾效率与稳健；常用 c ~ 1.345（正态下约 95% 效率）。
6. Tukey（Bisquare，c）
   • rho(t) = (c^2 / 6) * ( 1 - ( 1 - (t^2 / c^2) )^3 ) 若 |t| <= c；否则 rho(t) = c^2 / 6
   • psi(t) = t * ( 1 - (t^2 / c^2) )^2 若 |t| <= c；否则 psi(t) = 0
   • w(t) = ( 1 - (t^2 / c^2) )^2 若 |t| <= c；否则 w(t) = 0
   • 特性：redescending，强力抑制离群；常用 c ~ 4.685（正态 95% 效率）。
7. Cauchy（c）
   • rho(t) = (c^2 / 2) * ln( 1 + (t^2 / c^2) )
   • psi(t) = t / ( 1 + (t^2 / c^2) )
   • w(t) = 1 / ( 1 + (t^2 / c^2) )
   • 特性：重尾，软降权，平滑可导。
8. StudentT（nu）
   • rho(t) = 0.5 * (nu + 1) * ln( 1 + t^2 / nu )
   • psi(t) = ( (nu + 1) * t ) / ( nu + t^2 )
   • w(t) = (nu + 1) / ( nu + t^2 )
   • 特性：由 nu 控制尾厚；nu 小更稳健，nu -> ∞ 近似 L2。
9. Fair（c）
   • rho(t) = c^2 * ( |t|/c - ln( 1 + |t|/c ) )
   • psi(t) = t / ( 1 + |t|/c )
   • w(t) = 1 / ( 1 + |t|/c )
   • 特性：平滑过渡，较 Huber 更柔和的降权。
10. Geman-McClure（c）
    • rho(t) = 0.5 * ( t^2 / ( 1 + t^2 / c^2 ) )
    • psi(t) = t / ( 1 + t^2 / c^2 )^2
    • w(t) = 1 / ( 1 + t^2 / c^2 )^2
    • 特性：redescending，强抑制大离群；对初值敏感。
11. Andrews（Sine，c）
    • rho(t) = (c^2 / 2) * ( 1 - cos( t / c ) ) 若 |t| <= pi * c；否则 rho(t) = c^2 / 2
    • psi(t) = sin( t / c ) 若 |t| <= pi * c；否则 psi(t) = 0
    • w(t) = sin( t / c ) / ( t / c ) 若 |t| <= pi * c；否则 w(t) = 0
    • 特性：redescending，光滑但在 pi c 处截断。

III. 参数与规模的选择

1. 规模估计 s
   • 基线：s0 = 1.4826 * MAD(r)；迭代时可采用 s_new = 1.4826 * MAD( r_new ) 或基于 chi2/dof 校正。
   • 当存在显著的加权或缺失：以掩码 m ∈ {0,1} 与权 w 共同修正 MAD。
2. 典型调谐常数（正态 95% 效率参考）
   • Huber: c ~ 1.345；Tukey: c ~ 4.685；Cauchy: c ~ 2.385；Fair: c ~ 1.399。
   • StudentT: nu in [3, 8] 常用；nu = 4 具备更强尾部稳健性。
3. 选型建议
   • 少量中等离群：Huber。
   • 明显重尾或强离群：Tukey / Cauchy / StudentT(nu<=5)。
   • 需要平滑导数并兼顾鲁棒：Cauchy / Fair。
   • 离群可能大量且远离：Tukey / Geman-McClure / Andrews（注意初始化）。

IV. IRLS 实施细节（与 I50-2 一致）

• 权重更新：w_i <- w( t_i ; hyper )，t_i = e_i / s。
• 线性化模型的雅可比：J = ∂f/∂theta，一次更新近似解 delta_theta 自 J^T R J * delta_theta = J^T R r。
• 收敛判据：||delta_theta|| / max(1, ||theta||) < tol 且 |chi2_new - chi2_old| / max(1, chi2_old) < tol。
• 防数值病：对 L1/Fair 在 |t| < eps 区间采用线性/二阶展开；对 redescending 损失（Tukey、Andrews、Geman-McClure）建议配合离群掩码初始化。

V. 与误差传播、异常筛除的衔接

• 与 I50-3：若 zscore_detect 或 hampel_filter 标记 mask_outlier_i = 1，可将其直接映射为 w_i = 0 或将 c 下调一档以软屏蔽。
• 与 I50-4：稳健拟合后对输入协方差 Cov_x 的修正可基于加权残差 r_bar = r / s 的经验方差，传播到 Cov_y approx J * Cov_x * J^T。
• 与质量指标：chi2/dof、r_bar_max、pass_rate 作为 metrics 进入报告与漂移监测。

VI. 到达时误差 T_arr 的稳健口径（跨卷锚点）

1. 观测模型：r_T def= T_meas - ( ∫_gamma ( n_eff / c_ref ) d ell )。
2. 稳健拟合：以 rho_T( r_T / s ; hyper ) 作为每次到达的损失，权重 w_T = w( r_T / s ) 进入 R。
3. 双口径一致性检查：
   • 常量外提：T_arr = ( 1 / c_ref ) * ( ∫_gamma n_eff d ell )
   • 一般口径：T_arr = ( ∫_gamma ( n_eff / c_ref ) d ell )
   • 报告中记录 delta = |T_arr(form-1) - T_arr(form-2)|；若 delta 超出阈值，则触发 E.T_ARR.CONSISTENCY.DUAL_FORM_MISMATCH 并建议 enforce_arrival_time_convention()。

VII. 快速对照清单（实现与选型）

• kind="L2"：高效率；w(t)=1；无稳健性。
• kind="L1"：强抗离群；非光滑；配 IRLS 需 eps。
• kind="Huber", c~1.345：折中方案；工业默认。
• kind="Tukey", c~4.685：redescending；强屏蔽远端离群。
• kind="Cauchy", c~2.385：重尾平滑；数值稳定。
• kind="StudentT", nu~4：模型化重尾；nu 可学。
• kind="Fair", c~1.399：软降权；平滑。
• kind="GemanMcClure", c：强 redescending；初值敏感。
• kind="Andrews", c：redescending；在 pi*c 截断。

VIII. 报告与复现字段（与附录A 对齐）

• loss_kind，hyper={"c":..., "nu":...}，s，r_bar_max，chi2，pass_rate。
• 若涉及路径积分：记录 gamma_spec、L_gamma、c_ref_version、refcond_id。
• 失败诊断码映射：如 E.MODEL.FIT.NON_CONVERGENCE、E.DATA_QUALITY.OUTLIER.DETECTED、E.T_ARR.CONSISTENCY.DUAL_FORM_MISMATCH。

IX. 数值与实现注意事项

• 光滑性：L1、Huber 在拐点处需次梯度或平滑近似；Tukey/Andrews/Geman-McClure 的 w=0 区间可能导致秩降，需正则化或信任域。
• 溢出与退化：|t| 很大时优先使用 w(t) 形式避免 rho 溢出；对非常小的 |t| 使用泰勒展开稳定 w。
• 终止准则：同时监控参数步长与目标函数相对变化，防止停在权重震荡区。

X. 与 I50- 的最小落地范式*

• loss_rho(e, "Huber", {"c":1.345, "s":s}) → 返回标量损失，用于监控与可视化。
• psi_weight(e, "Tukey", {"c":4.685, "s":s}) → 返回逐点 w_i，配 R = diag(w) 进入解算。
• compute_residual(model, data, params) → 得 e；mad_scale(e) → 得 s；循环 w→theta→s 至收敛。

XI. 参考选择流程（简版决策树）

• 噪声近似正态且离群极少：选 L2 或 Huber(c=1.345)。
• 存在中等比例离群（<10%）：选 Huber 或 Cauchy(c≈2.4)。
• 存在重尾/大比例离群：选 Tukey(c=4.685) 或 StudentT(nu∈[3,5])。
• 需要光滑导数与软降权：选 Fair(c≈1.4) 或 Cauchy。
• 离群极端且可容忍截断：选 Tukey / Geman-McClure / Andrews，并加掩码初始化。