32-EFT.WP.Cosmo.LayeredSea v1.0 | 附录A 符号、单位与维度检查

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附录A 符号、单位与维度检查

I. 一句话目标

一句话目标：给出层化 Energy Sea 的统一符号与 SI 单位、量纲口径，提供可执行的维度核查流程和常见陷阱防护，确保 SeaProfile、W_k(chi)、Xi_k(chi)、n_eff(x,t,f)、T_arr、Delta_T_sigma、R_sea/T_trans/A_sigma 与两类到达时公式在数据与实现层面量纲自洽。

II. 适用范围与非目标

• 覆盖：基础维度集合、统一单位、LayeredSea 专属符号与量纲、两口径（连续/离散）核查、层项与频带项参数量纲、界面量与能量三元组、自动化检查步骤与 DimReport 模板、常见错误与防护。
• 非目标：不定义装置级单位限制；不替代第7章不确定度传播与第9章数值实现细节。

III. 基本维度与单位规范（SI）

• 基本维度：[L]（长度），[T]（时间），[M]（质量）。角量默认无量纲（弧度）。
• SI 单位：长度 m，时间 s，速度 m·s^-1，频率 Hz = s^-1。
• 线元要求：dim(d ell) = [L]；任何坐标—度规映射必须保证弧长的一致单位。

IV. 固定符号与对应维度（LayeredSea 版）

1. 坐标与度规
   • eta：共形时，dim = [T]（作为时间参数使用）；a(eta)：尺度因子，dim = 1。
   • chi：共动径向，dim = [L]（通过度规映射至物理弧长）。
   • 线元示意（符号参照，非固定）：ds^2 = a(eta)^2( - d eta^2 + d chi^2 + S_k(chi)^2 dΩ^2 )，其中 S_k(chi) 无量纲。
2. 层化海
   • SeaProfile：层化海对象（数据容器，无直接量纲）。
   • W_k(chi)：层剖面（规范化 0→1），dim = 1。
   • Xi_k(chi) = | dW_k/dchi |，dim = [L^-1]。
   • Delta_k：层厚，dim = [L]；界面集合 Sigma_sea（几何集合，无直接量纲）。
3. 场与势
   • T_fil(x,t)：张力场，dim(T_fil) 由模型给出。
   • Phi_T(x,t)：张度势，dim(Phi_T) 可选择无量纲化（推荐在 Contract 声明 Phi_ref）。
   • grad_Phi_T(x,t)：dim = dim(Phi_T)[L^-1]。
4. 传播与速度
   • n_eff(x,t,f)：有效折射率，dim = 1，且 n_eff ≥ 1。
   • c_ref：参照速度，dim = [L][T^-1]；c_loc = c_ref / n_eff，dim = [L][T^-1]。
   • 路径 gamma(ell)（弧长参数化），ell ∈ [0,L]；线元 d ell，dim = [L]。
5. 能量三元组与到达时
   • R_sea，T_trans，A_sigma：反射、透射、损耗系数，dim = 1，并满足 R_sea + T_trans + A_sigma = 1。
   • T_arr：到达时，dim = [T]；零厚度修正 Delta_T_sigma，dim = [T]。

V. 到达时两口径维度核查（连续与离散一致）

1. 常量外提口径
   • 连续式：T_arr = ( 1 / c_ref ) * ( ∫ n_eff d ell ) ⇒ ([L] / [L·T^-1]) = [T]。
   • 离散式：T_arr ≈ ( 1 / c_ref ) * ∑ n_eff[ gamma[k] ] · Δell[k] ⇒ ([L] / [L·T^-1]) = [T]。
2. 一般口径
   • 连续式：T_arr = ∫ ( n_eff / c_ref ) d ell ⇒ ([T·L^-1] · [L]) = [T]。
   • 离散式：T_arr ≈ ∑ ( n_eff[ gamma[k] ] / c_ref[ gamma[k] ] ) · Δell[k] ⇒ [T]。
3. 下界一致：n_eff ≥ 1 ⇒ T_arr ≥ L_path / c_ref（一般口径在被积函数中等价体现）。

VI. 层项与频带项参数量纲

1. 各向同性小梯度展开（第3章 S60-3）
   • n_eff ≈ a0 + a1 · ( Phi_T − Phi_0 ) + a2 · norm( grad_Phi_T )^2 + ∑_k ( u0_k · W_k + u1_k · Xi_k )。
   • dim(a0) = 1；dim(a1) = 1 / dim(Phi_T)；dim(a2) = 1 / dim(grad_Phi_T)^2 = [L^2]/dim(Phi_T)^2；dim(u0_k) = 1；dim(u1_k) = [L^-1]^-1 = [L] 的倒数？注意：Xi_k 的维度为 [L^-1]，因此 dim(u1_k) = [L] 的倒数为错误；应为 dim(u1_k) = 1 / [L^-1] = [L]？
     正确：Xi_k 的系数需要保持整体无量纲：u1_k · Xi_k ⇒ dim(u1_k) = [L] × [L^-1] = 1。
2. 定向扩展（可选）
   • + b1 · dot( grad_Phi_T , t_hat ) + b1_n · dot( grad_Phi_T , n_vec )；
   • dim(b1) = dim(b1_n) = 1 / dim(grad_Phi_T) = [L] / dim(Phi_T)。
3. 频带多项式（第3章 S60-4）
   • n_path ≈ ∑_{m=1}^M c_m(x,t) · ( f − f0 )^m，dim( (f − f0)^m ) = [T^-m]；故 dim(c_m) = [T^m]。
   • 若使用归一化频差 ((f − f0)/f_ref)^m，则 dim(c_m) = 1。

VII. 界面与层间量纲核查

• 连续型：Phi_T^+ = Phi_T^-、J_sigma = 0；若 F 连续，则 n_eff^+ = n_eff^-（量纲自洽）。
• 势跃迁型：C_sigma = Phi_T^+ − Phi_T^-，dim(C_sigma) = dim(Phi_T)；对 n_eff 的影响通过 a1、b1/b1_n 等参数的量纲传导。
• 通量跃迁型：J_sigma = dot( grad_Phi_T^+ − grad_Phi_T^- , n_vec )，dim(J_sigma) = dim(grad_Phi_T)；若引入法向响应系数 k_sigma^n，则 dim(k_sigma^n) = 1 / dim(grad_Phi_T)。
• 侧限可行域：匹配后需满足 n_eff^+ ≥ 1 与 n_eff^- ≥ 1；违背为不可行构造。

VIII. 不确定度与量纲

• 原则：任何不确定度 u(q) 与量 q 同量纲；u_c(T_arr) 的量纲为 [T]。
• 典型项：u(c_ref) → [L][T^-1]，u(n_eff) → 1，u(Δell) → [L]，u(T_arr) → [T]，u(Delta_T_sigma) → [T]。
• 报告：到达时类指标以 mean ± k·u_c 报告；差分 Delta_T_arr 亦为 [T]。

IX. 坐标与单位映射（实现契约）

• units_spec：声明长度 m，时间 s，速度 m·s^-1，频率 Hz；输入若以 km/ms，入口必须映射至 SI 并记录。
• coords_spec/metric_spec：声明坐标系与度规，给出 chi → d ell 映射；保证 dim(d ell) = [L]。
• Path 一致性：gamma[k] 与 Δell[k] 同单位；t_hat[k] 与 n_vec 无量纲；Sigma_sea 与路径坐标一致。

X. 自动化维度检查流程（check_dimension 建议序）

1. 契约读取：加载 units_spec、coords_spec、metric_spec、mode、阈值 eta_T, eta_w, tau_switch。
2. 符号绑定：固定 dim(c_ref)=[L][T^-1]、dim(n_eff)=1、dim(d ell)=[L]、dim(T_arr)=[T]、dim(Delta_T_sigma)=[T]、dim(Xi_k)=[L^-1]。
3. 方程核查：
   • 常量外提：验证 dim( ∫ n_eff d ell / c_ref ) = [T]；
   • 一般口径：验证 dim( ∫ ( n_eff / c_ref ) d ell ) = [T]；
   • 差分：dim(Delta_T_arr) = [T]。
4. 层项核查：自动推断 a1,a2,u0_k,u1_k,b1,b1_n,c_m 之量纲，检查与本附录一致。
5. 界面项核查：C_sigma,J_sigma 的量纲与 n_eff 壁/层项影响项自洽；R_sea + T_trans + A_sigma 仅作能量一致，不涉量纲。
6. 离散一致：检查 Δell[k]、c_ref[k] 单位一致；分段端点显式入积；禁止跨界面插值。
7. 报告生成：输出 DimReport（见 XII 节）并写入日志。

XI. 常见错误与防护

• 单位混用：路径用 km 而 c_ref 用 m·s^-1，造成 10^3 量级偏差；防护：入口标准化并记录映射。
• 遗漏括号：∫ n_eff / c_ref d ell 与 ∫ ( n_eff / c_ref ) d ell 语义不同；防护：一律加括号。
• 角度单位：将度当作弧度；防护：三角函数入口声明弧度并必要时转换。
• 参数量纲错置：c_m 未按 [T^m]；u1_k 未与 Xi_k 抵消为无量纲；防护：装配时自动推断校验。
• 界面错配：C_sigma/J_sigma 以无量纲值写入；防护：按 dim(Phi_T)/dim(grad_Phi_T) 校正或拒收。
• 命名混淆：严禁将 T_fil 与 T_trans、n 与 n_eff 混用。
• 度规遗漏：未声明 metric_spec 导致 d ell 单位不明；防护：契约缺失即拒收。

XII. DimReport 最小字段（LS 版）

• units_spec，coords_spec，metric_spec，mode ∈ {constant, general}
• ok(formula_S60-5)，ok(lower_bound)，ok(discrete_forms)
• dims: { c_ref:[L T^-1], n_eff:1, d_ell:[L], T_arr:[T], Phi_T:?, grad_Phi_T:?·[L^-1], W_k:1, Xi_k:[L^-1], Delta_T_sigma:[T] }
• params_dims: { a0:1, a1:1/dim(Phi_T), a2:[L^2]/dim(Phi_T)^2, u0_k:1, u1_k:[L], b1:[L]/dim(Phi_T), b1_n:[L]/dim(Phi_T), c_m:[T^m] }
• interfaces: { C_sigma:dim(Phi_T), J_sigma:dim(grad_Phi_T), R_sea:1, T_trans:1, A_sigma:1 }
• ls_switch: { eta_w:1, tau_switch:[T] }
• discrete_consistency: { Δell_unit:ok, c_ref_unit:ok, segmentation:no-cross-interface, interpolation:ok }
• notes: 异常与自动修正说明
• hashes: hash(SeaProfile), hash(gamma), hash(code)

XIII. 示例核查（四例）

1. 示例1｜均匀外域
   • 条件：n_eff ≡ 1，任意路径。
   • 结论：T_arr = L_path / c_ref，量纲 [L]/([L][T^-1]) = [T]，下界取等。
2. 示例2｜单层薄带修正
   • 条件：单次穿越，Delta_T_sigma = k_sigma。
   • 量纲：dim(k_sigma) = [T]，T_arr_total = T_arr + Delta_T_sigma 仍为 [T]。
3. 示例3｜频带一次色散
   • 条件：n_path ≈ c_1 ( f − f0 )。
   • 量纲：dim(c_1) = [T]，故 dim(Delta_T_arr) = [T]，两口径一致。
4. 示例4｜定向项（切向/法向）
   • 条件：n_eff ≈ a0 + b1 · dot( grad_Phi_T , t_hat ) + b1_n · dot( grad_Phi_T , n_vec )。
   • 量纲：dim(b1)=dim(b1_n)=[L]/dim(Phi_T)；若 Phi_T 无量纲化，则 dim(b1)=dim(b1_n)=[L]。

XIV. 交叉引用

• 《EFT.WP.Cosmo.LayeredSea v1.0》：第3章（最小方程与层化表述）、第4章（几何与坐标）、第6章（传播与到达时）、第8章（界面匹配）、第12章（误差预算）。
• 《EFT.WP.Propagation.TensionPotential v1.0》：附录A（符号与维度）。
• 《EFT.WP.Core.Equations v1.1》：S06-*（算子与记号）。
• 《EFT.WP.Core.Metrology v1.0》：M05-，M10-（单位与可追溯）。

XV. 产出物

• 维度—单位绑定清单（可直接写入 Contract）。
• check_dimension 的执行顺序与判定规则（含层项与差分）。
• DimReport 样例与日志字段映射（含 tau_switch 与能量三元组条目）。