32-EFT.WP.Cosmo.LayeredSea v1.0 | 附录C 推导细节与证明草图

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附录C 推导细节与证明草图

I. 预备与记号

1. 路径与测度：gamma(ell) 为分片 C^1 的弧长参数化路径，ell ∈ [0,L]，线元 d ell，路径长度 L_path = ∫_0^L d ell。
2. 坐标与度规：共形时 eta，共动径向 chi，尺度因子 a(eta)；metric_spec 在 Contract 中给出以保证 dim(d ell) = [L]。
3. 层与剖面：层索引 k = 1…K，W_k(chi)，Xi_k(chi) = | dW_k/dchi |，界面集合 Sigma_sea。
4. 场与传播：Phi_T(x,t)，grad_Phi_T(x,t)，n_eff(x,t,f)，c_ref，c_loc = c_ref / n_eff。
5. 能量一致：R_sea + T_trans + A_sigma = 1。
6. 两口径
   • 常量外提：T_arr = (1/c_ref) * ∫_gamma n_eff d ell；
   • 一般口径：T_arr = ∫_gamma ( n_eff / c_ref ) d ell。
7. 正则性假设：在相干窗口内，F 与 H_sea 对各自自变量利普希茨连续，n_eff(·) 分片连续且有界，c_ref 为常量或分片连续。

II. 路径积分的基本性质（对应 S60-5）

引理 1（重参数化不变）
若 sigma = h(ell) 严格单调可微，则
∫_0^L g( gamma(ell) ) d ell = ∫_{h(0)}^{h(L)} g( gamma( h^{-1}(sigma) ) ) d sigma。
证明要点：链式法则与换元；由单调可逆性保证测度变换合法。

引理 2（拼接可加）
设 gamma = gamma_1 ∘ gamma_2，端点处连续相接，则
∫_gamma g d ell = ∫_{gamma_1} g d ell + ∫_{gamma_2} g d ell。
推论：两口径下 T_arr[gamma] = T_arr[gamma_1] + T_arr[gamma_2]。

III. 两口径一致与下界（对应 S60-5）

命题 1（两口径一致的充分条件）
当 c_ref 为常量，或其波动可吸收到统一被积函数 n_eff/c_ref 并且不超过计量阈值时，| T_arr^{const} − T_arr^{gen} | = eta_T 不超过阈值。
证明草图：常量情形直接提出 (1/c_ref)；非常量情形把 n_eff/c_ref 作为单一被积函数，差异属于高阶余项。

定理 1（到达时下界）
若 n_eff ≥ 1，则
常量外提：T_arr ≥ L_path / c_ref；一般口径：T_arr ≥ ∫_gamma (1/c_ref) d ell。
证明要点：对被积函数取下界并用积分保序性。

命题 2（取等条件）
下界取等当且仅当沿路径 n_eff ≡ 1。

IV. 层剖面性质与强度量（对应 S60-1）

命题 3（单调剖面与唯一穿越）
若 W_k(chi) 在 (chi_k − 0.5·Delta_k, chi_k + 0.5·Delta_k) 上单调，则判别式 F_k(chi)=W_k(chi)−0.5 的零点在该区间至多一个。
证明草图：单调函数零点至多唯一；层间分离保证有限交点序列 { ell_i }。

命题 4（强度峰与细化）
Xi_k(chi) = | dW_k/dchi | 在层界附近取得峰值，Xi_k 可作为自适应步长触发器，保证端点附近对称采样与局部误差控制。
意义：为第9章步长策略提供可操作阈值 tau_sea。

V. 势映射与梯度链式（对应 S60-2）

命题 5（序保持与链式）
Phi_T = G(T_fil)，且 g_T = dG/dT_fil > 0，则
grad_Phi_T = g_T(T_fil) · grad(T_fil)。
意义：支持仅依赖 grad_Phi_T 的规范不变构造，并为敏感度提供解析通道。

VI. n_eff 的层化耦合与展开（对应 S60-3, S60-4）

命题 6（最小形态）
n_eff = F( Phi_T, grad_Phi_T, rho, f ) + H_sea( { W_k, Xi_k }, f )，且 n_eff ≥ 1。
命题 7（各向同性小梯度展开）
近参考态 Phi_0：
n_eff ≈ a0 + a1·(Phi_T − Phi_0) + a2·norm(grad_Phi_T)^2 + ∑_k ( u0_k·W_k + u1_k·Xi_k )。
命题 8（定向首项，若启用）
若存在优选方向：+ b1·dot(grad_Phi_T, t_hat) + b1_n·dot(grad_Phi_T, n_vec)。
量纲一致性：见附录A；其中 u1_k·Xi_k、b1·dot(…) 等必须无量纲。

VII. 频带差分的公共项抵消（对应 S60-4）

定理 2（差分消去 n_common）
同一路径上
常量外提：Delta_T_arr(f1,f2) = (1/c_ref) * ∫ ( n_path(f1) − n_path(f2) ) d ell；
一般口径：Delta_T_arr(f1,f2) = ∫ ( ( n_path(f1) − n_path(f2) ) / c_ref ) d ell。
证明草图：n_eff = n_common + n_path 代入后二者相减，n_common 抵消。

VIII. 分段端点与零厚度修正（对应 S60-5）

命题 9（端点显式与一致收敛）
若不显式纳入 { ell_i } 而跨界面插值，被积函数阶跃导致收敛恶化。端点显式入积可恢复分片光滑并保证高阶求积有效。
命题 10（零厚度修正等效）
当 Delta_k/L_char ≤ eta_w，层带对 T_arr 的贡献可近似为 Delta_T_sigma ≈ k_sigma·H(crossing)。
定量一致性：定义 tau_switch = | T_arr^{thick} − (T_arr^{thin}+Delta_T_sigma) |，在门限内视为等效（第9章数值验证）。

IX. 一阶变分与参数灵敏度（计量与反演骨架）

定理 3（常量外提的一阶变分）
delta T_arr = (1/c_ref) * ∫ [ (∂n_eff/∂Phi_T)·delta Phi_T + (∂n_eff/∂grad_Phi_T)·grad(delta Phi_T) + (∂n_eff/∂rho)·delta rho ] d ell + ∑ crossings delta k_sigma。
定理 4（一般口径的参数梯度）
∂T_arr/∂theta = ∫ ( ∂n_eff/∂theta ) / c_ref d ell，theta ∈ { a1,a2,u0_k,u1_k,b1,b1_n,c_m,k_sigma,… }。
用途：支持 SeaProfile 与 n_path 的最小二乘/Map 反演及 GUM 传播（第7、12章）。

X. 能量一致与侧限可行域（对应 S60-10…S60-12）

命题 11（侧限下界）
界面匹配后两侧折射率必须满足 n_eff^± ≥ 1。
命题 12（能量一致）
每个界面事件满足 R_sea + T_trans + A_sigma = 1，该约束与两口径计算相独立但决定路径权重与可行域。
意义：为第8章耦合与第11章审计提供可检验条件。

XI. 薄/厚层一致性的误差阶（对应 S60-5, 第9章）

命题 13（收敛到事件修正）
当 Delta_k/L_char → 0，厚层体积分的层带贡献 T_arr^{layer_k} 收敛到 Delta_T_sigma，差值 tau_switch → 0，误差阶受 sup |d(n_eff/c_ref)/d ell| 与 Delta_k 控制。
证明草图：将层带视为窄支撑区，将被积函数在中心点做一阶（或二阶）展开，应用中值型估计。

XII. 度规—弧长映射的量纲自洽

命题 14（chi → d ell 的一致性）
若在 Contract 中给出 d ell = a(eta)·norm(d x_comov)（纯径向时 d ell = a(eta)·d chi），则 dim(d ell) = [L] 恒成立。
意义：保证两口径与差分式的量纲闭合，避免坐标混用带来的系统偏差（第4章与附录A配合）。

XIII. 多路径“回声”近似（对应 S60-14）

命题 15（往返回声的近似延迟）
存在近层闭合往返长度 L_loop 时，第 k 级回声
Delta_T_echo(k) ≈ k · ∫_{loop} ( n_eff / c_ref ) d ell（一般口径）。
证明草图：把每次往返看作闭合段的时间增量并线性叠加；权重由能量三元组与几何给出。

XIV. 收敛与一致性的数值判据（与第9章呼应）

• 细化收敛：| T_arr^{(fine)} − T_arr^{(coarse)} | ≤ eps_T。
• 两口径一致：eta_T = | T_arr^{const} − T_arr^{gen} | 在阈值内。
• 薄/厚层一致：tau_switch 在门限内。
• 差分线性区：Delta_T_arr 的相关与斜率达标，带外残差纳入 u_sys。
• 端点显式：{ ell_i } 必须入积，禁止跨界面插值。

XV. 交叉引用

• 《EFT.WP.Cosmo.LayeredSea v1.0》：第3章（最小方程与层化表述），第4章（几何与坐标选择），第6章（传播与到达时），第8章（界面匹配），第9章（建模方法与数值实现），第11章（验证），第12章（误差预算）。
• 《EFT.WP.Propagation.TensionPotential v1.0》：两口径、差分与数据口径。
• 《EFT.WP.Core.Equations v1.1 / Metrology v1.0 / Errors v1.0》：符号、计量与误差传播基线。