33-EFT.WP.Cosmo.EarlyObjects v1.0 | 附录A 符号、单位与维度检查

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附录A 符号、单位与维度检查

I. 一句话目标

一句话目标：给出“早期对象”卷的统一符号、SI 单位与量纲口径，提供可执行的维度核查流程与常见陷阱防护，确保 Catalog/Seeds/Trajectory、Phi_T/grad_Phi_T、L_nu/LC、n_eff、T_arr/Delta_T_arr、Delta_T_sigma 与能量三元组在两类到达时口径与数据 I/O 中量纲自洽。

II. 适用范围与非目标

• 覆盖：基础维度集合、统一单位、核心符号与量纲、到达时两口径（连续/离散）核查、谱学与K校正量纲、界面与能量三元组、自动化维度检查步骤与 DimReport 模板、常见错误与防护。
• 非目标：不替代第7章不确定度传播与第9章数值实现细节；不涉及仪器响应的设备单位。

III. 基本维度与单位规范（SI）

• 基本维度：[L]（长度），[T]（时间），[M]（质量）。角量默认无量纲（弧度）。
• SI 单位：长度 m；时间 s；速度 m·s^-1；频率 Hz = s^-1；质量 kg；功率 W。
• 线元：要求 dim(d ell) = [L]；任何坐标—度规映射必须保证物理弧长一致单位。

IV. 固定符号与对应维度（EarlyObjects 版）

1. 坐标与度规
   • eta（共形时），dim = [T]（作为时间参数使用）；a(eta)（尺度因子），dim = 1。
   • chi（共动径向），通过 metric_spec 映射至物理弧长；dim(chi) 在工程中等同于 [L] 映射后生效。
2. 对象与状态
   • state = { M, R, J, a_bh, SFR, Z, … }
   • dim(M)=[M]；dim(R)=[L]；dim(J)=[M·L^2·T^-1]；dim(a_bh)=1；dim(SFR)=[M·T^-1]；dim(Z)=1。
3. 场与势
   • T_fil(x,t)（张力），dim 由模型/介质定义；
   • Phi_T(x,t)（张度势），可无量纲化（推荐在 Contract 声明 Phi_ref），则 dim(Phi_T)=1；
   • grad_Phi_T(x,t)，dim = dim(Phi_T)[L^-1]。
4. 传播与路径
   • n_eff(x,t,f)（有效折射率），dim = 1，且硬约束 n_eff ≥ 1；
   • c_ref，dim = [L][T^-1]；c_loc = c_ref / n_eff，dim = [L][T^-1]；
   • gamma(ell)（弧长参数化），dim(gamma)= [L]；d ell，dim = [L]。
5. 谱与光变
   • L_nu(f)（本征谱密度），典型 dim = [W·Hz^-1]（或所选光度制，需在 Contract 指定）；
   • F_nu(f)（观测谱密度），dim = [W·m^-2·Hz^-1]；
   • LC(t)（光变），单位随定义（光度/流量/计数率）在 Contract 明确。
6. 到达时与修正
   • T_arr，dim = [T]；Delta_T_arr，dim = [T]；
   • 零厚度修正 Delta_T_sigma，dim = [T]。
7. 界面与能量
   • R_env, T_trans, A_sigma（反射、透射、损耗），dim = 1，并满足 R_env + T_trans + A_sigma = 1。
   • 跃迁量：C_sigma = Phi_T^+ − Phi_T^-，dim = dim(Phi_T)；J_sigma = dot( grad_Phi_T^+ − grad_Phi_T^- , n_vec )，dim = dim(grad_Phi_T)。

V. 到达时两口径维度核查（连续与离散一致）

1. 常量外提口径
   • 连续式：T_arr = ( 1 / c_ref ) * ( ∫ n_eff d ell ) ⇒ ([L]/[L·T^-1]) = [T]；
   • 离散式：T_arr ≈ (1/c_ref) * ∑ n_eff[gamma[k]] · Δell[k] ⇒ [T]。
2. 一般口径
   • 连续式：T_arr = ∫ ( n_eff / c_ref ) d ell ⇒ ([T·L^-1]·[L]) = [T]；
   • 离散式：T_arr ≈ ∑ ( n_eff[gamma[k]] / c_ref[gamma[k]] ) · Δell[k] ⇒ [T]。
3. 下界一致：因 n_eff ≥ 1，恒有 T_arr ≥ L_path / c_ref（一般口径在被积函数内等价体现）。

VI. 谱学与 K 校正量纲核查

• 观测谱：F_nu(f_obs) = L_nu(f_em) / ( 4π D_L^2 ) · K(z_obs)，其中 f_em = f_obs · (1+z_obs)；
  dim(F_nu) = [W·m^-2·Hz^-1]；dim(L_nu) = [W·Hz^-1]；dim(D_L) = [L]；dim(K) = 1。
• 光变：如以流量计量，dim(LC) = [W·m^-2]；如以计数率，单位需在 Contract 明示并在 DimReport 记录。
• 联合量纲：在构建联合似然 { T_arr, Delta_T_arr, F_nu, LC } 时，需将各量的单位一致性写入 Contract 并在日志中保留光度距离 D_L 的口径说明。

VII. 成因/生长律量纲核查（示例）

• dM/dt = F_M( … ) ⇒ dim(dM/dt) = [M·T^-1]；
• dR/dt = F_R( … ) ⇒ dim = [L·T^-1]；
• dJ/dt = F_J( … ) ⇒ dim = [M·L^2·T^-2]；
• da_bh/dt = F_a( … ) ⇒ dim = [T^-1]；
• dSFR/dt ⇒ dim = [M·T^-2]。
• grad_Phi_T = g_T(T_fil) · grad(T_fil) ⇒ dim(g_T) = dim(Phi_T)/dim(T_fil)；若 Phi_T 无量纲化，则 dim(g_T) = 1/dim(T_fil)。

VIII. 界面与层项参数量纲

• 若传播项含 Xi_k = | dW_k/dchi |（来自 LayeredSea 对接），dim(Xi_k) = [L^-1]；
• 若 n_eff 的层项写作 u1_k · Xi_k，为保持无量纲，应有 dim(u1_k) = [L]；
• 事件修正 Delta_T_sigma ≈ k_sigma · H(crossing)，dim(k_sigma) = [T]，dim(H)=1；
• 定向项 b1 · dot( grad_Phi_T , t_hat )：dim(b1) = 1 / dim(grad_Phi_T) = [L]/dim(Phi_T)（若 Phi_T 无量纲化则 dim(b1) = [L]）。

IX. 自动化维度检查流程（check_dimension 建议序）

• 契约读取：加载 units_spec、coords_spec、metric_spec、mode、tolerances:{eps_T,eta_T,eta_w,tau_switch}。
• 绑定常量维度：dim(c_ref)=[L][T^-1]，dim(n_eff)=1，dim(d ell)=[L]，dim(T_arr)=[T]，dim(Delta_T_sigma)=[T]；若使用层项，则 dim(Xi_k)=[L^-1]。
• 到达时核查：验证两口径连续式与离散式均归于 [T]，并生成 ok(formula_const/general)；
• 谱学核查：验证 F_nu = L_nu/(4π D_L^2)·K 的量纲；检查 f_em = f_obs·(1+z) 的使用位置；
• 耦合/层项核查：自动推断 u1_k, b1, b1_n, k_sigma 的量纲是否与本附录一致；
• 离散一致：检查 Δell、c_ref 单位一致；端点 { ell_i } 显式入积；禁止跨界面插值；
• 报告生成：输出 DimReport 并写入日志（字段见下一节）。

X. 常见错误与防护

• 单位混用：路径以 km、c_ref 以 m·s^-1 ⇒ T_arr 偏差 10^3；防护：入口统一映射并记录。
• 遗漏括号：∫ n_eff / c_ref d ell 与 ∫ ( n_eff / c_ref ) d ell 语义不同；防护：一律加括号。
• 角度单位：将度误作弧度；防护：三角函数入口声明弧度并必要时转换。
• 层项系数量纲错置：u1_k 未与 Xi_k 抵消为无量纲；防护：装配时自动推断与校验。
• 界面错配：将 C_sigma/J_sigma 以无量纲写入；防护：校正为 dim(Phi_T)/dim(grad_Phi_T) 或拒收。
• 命名混淆：将 T_fil 用作 T_trans、或将 n 当作 n_eff；防护：契约层阻断。
• 度规遗漏：未声明 metric_spec 导致 d ell 单位不明；防护：契约缺失即拒收。

XI. DimReport 最小字段（EarlyObjects 版）

• 元信息：units_spec，coords_spec，metric_spec，mode ∈ {constant, general}
• 到达时：ok(formula_const)，ok(formula_general)，ok(lower_bound)，ok(discrete_forms)
• 维度表：{ c_ref:[L T^-1], n_eff:1, d_ell:[L], T_arr:[T], Delta_T_sigma:[T], Phi_T:?, grad_Phi_T:?·[L^-1], L_nu:[W Hz^-1], F_nu:[W m^-2 Hz^-1] }
• 参数量纲：{ u1_k:[L], b1:[L]/dim(Phi_T), b1_n:[L]/dim(Phi_T), k_sigma:[T] }（如使用层/定向项）
• 界面与能量：{ C_sigma:dim(Phi_T), J_sigma:dim(grad_Phi_T), R_env:1, T_trans:1, A_sigma:1 }
• 差分：{ dim(Delta_T_arr):[T] }
• 备注：异常与自动修正说明
• 哈希：hash(Catalog/Seeds/Trajectory/SeaProfile/Phi_T/n_eff/gamma/code)

XII. 示例核查（四例）

• 示例1｜均匀环境：n_eff ≡ 1 ⇒ T_arr = L_path / c_ref，[L]/([L][T^-1]) = [T]，下界取等。
• 示例2｜薄层零厚度修正：一次穿越，Delta_T_sigma = k_sigma，dim(k_sigma) = [T]；T_arr_total = T_arr + Delta_T_sigma 仍为 [T]。
• 示例3｜频带一次色散差分：n_path ≈ c_1(f−f0)，dim(c_1)=[T] ⇒ dim(Delta_T_arr)=[T]，两口径一致。
• 示例4｜定向项：n_eff ≈ a0 + b1 · dot(grad_Phi_T,t_hat)；若 Phi_T 无量纲化，dim(b1)=[L]，整体无量纲成立。

XIII. 交叉引用

• 《EFT.WP.Cosmo.EarlyObjects v1.0》：第3章（最小方程）、第5章（耦合与生长）、第6章（辐射与传播）、第9章（数值实现）、第12章（误差预算）。
• 《EFT.WP.Propagation.TensionPotential v1.0》：两口径与路径表达。
• 《EFT.WP.Cosmo.LayeredSea v1.0》：层项与界面量纲对齐。
• 《EFT.WP.Core.Equations v1.1 / Metrology v1.0》：记号与可追溯。

XIV. 产出物

• 维度—单位绑定清单（可直接写入 Contract）。
• check_dimension 执行顺序与判定规则（含谱学与层项）。
• DimReport 样例与日志字段映射（含 eta_T/tau_switch 与能量三元组条目）。