33-EFT.WP.Cosmo.EarlyObjects v1.0 | 附录C 推导细节与证明草图

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附录C 推导细节与证明草图

I. 预备与记号

1. 路径与测度：gamma(ell) 为分片 C^1 的弧长参数化路径，ell ∈ [0,L]，线元 d ell，路径长度 L_path = ∫_0^L d ell。
2. 坐标与度规：共形时 eta，共动径向 chi，尺度因子 a(eta)；metric_spec 在 Contract 中落盘以确保 dim(d ell) = [L]。
3. 对象与状态：O_i，type ∈ {PopIII, ProtoGalaxy, BHSeed, MiniQSO, ShockCloud}，state = { M, R, J, a_bh, SFR, Z, … }。
4. 场与传播：Phi_T = G(T_fil)，grad_Phi_T = ( dG/dT_fil ) · grad(T_fil)；n_eff(x,t,f) ≥ 1，c_ref，c_loc = c_ref / n_eff。
5. 谱与观测：L_nu(f)（本征），F_nu(f)（观测），LC(t)；f_em = f_obs · (1+z_obs)。
6. 两口径到达时：
   • 常量外提：T_arr = (1/c_ref) * ∫_gamma n_eff d ell；
   • 一般口径：T_arr = ∫_gamma ( n_eff / c_ref ) d ell。
7. 正则性：在相干窗口内，F、G、H_sea 于其自变量上利普希茨连续；n_eff(·) 分片连续有界；c_ref 为常量或分片连续。

II. 路径积分的基本性质（对应第6章 S70-11）

引理 1（重参数化不变）
若 sigma = h(ell) 严格单调可微，则
∫_0^L g( gamma(ell) ) d ell = ∫_{h(0)}^{h(L)} g( gamma( h^{-1}(sigma) ) ) d sigma。
证明要点：链式法则与换元，单调可逆保证测度变换合法。

引理 2（拼接可加）
设 gamma = gamma_1 ∘ gamma_2，端点连续相接，则
∫_gamma g d ell = ∫_{gamma_1} g d ell + ∫_{gamma_2} g d ell。
推论：两口径下 T_arr[gamma] = T_arr[gamma_1] + T_arr[gamma_2]。

III. 两口径一致与到达时下界（对应第2/6章）

命题 1（两口径一致的充分条件）
当 c_ref 为常量或其波动可并入统一被积函数 n_eff/c_ref 且不超过计量阈值时，eta_T = | T_arr^{const} − T_arr^{gen} | 不超阈。
草图：常量情形直接提出 (1/c_ref)；非常量情形将 n_eff/c_ref 视为单一被积函数，差异为高阶小量。

定理 1（到达时下界）
若 n_eff ≥ 1，则
常量外提：T_arr ≥ L_path / c_ref；一般口径：T_arr ≥ ∫_gamma (1/c_ref) d ell。
草图：被积函数取下界并用积分保序性。

命题 2（取等条件）
下界取等当且仅当沿路径 n_eff ≡ 1。

IV. 成因随机过程与触发时间（对应第4章 S70-7）

命题 3（非齐次泊松到达）
触发强度 λ_event(eta) = Λ_event( Phi_T(eta), grad_Phi_T(eta), env(eta) ) 下，首次触发时间 eta_* 的幸存函数
S(eta) = exp( − ∫_{eta_0}^{eta} λ_event(s) ds )，概率密度 p(eta_*) = λ_event(eta_*) · S(eta_*)。
草图：标准非齐次泊松过程；对 Phi_T/SeaProfile 的依赖通过 Λ_event 进入。

命题 4（事件更新的可测性）
若 Trigger(state, event) 为利普希茨映射，则事件更新 state(t^+) = Trigger( state(t^-), event ) 保存可测与有界性，保证后续谱与传播可积。

V. 势映射的链式与序保持（对应第5章 S70-12）

命题 5（链式关系）
设 Phi_T = G(T_fil)，g_T = dG/dT_fil > 0，则
grad_Phi_T = g_T(T_fil) · grad(T_fil)。
意义：保证以 Phi_T, grad_Phi_T 写成的耦合项对 T_fil 的单调响应与可比性；支持仅依赖 grad_Phi_T 的规范不变情形。

VI. 谱—观测连接与 K 校正（对应第6章 S70-10）

命题 6（谱量纲闭合）
F_nu(f_obs) = L_nu(f_em) / ( 4π D_L^2 ) · K(z_obs)，f_em = f_obs · (1+z_obs)，在 dim(L_nu)=[W·Hz^-1]、dim(D_L)=[L]、dim(K)=1 下，dim(F_nu)=[W·m^-2·Hz^-1]。
草图：直接代入检查；K(z) 的定义在 Contract 中固定。

VII. 层化海的薄/厚层等效（对应 LayeredSea 与第8章）

定理 2（零厚度修正的极限）
令层带宽度 Delta_k 满足 Delta_k / L_char → 0，则层带对到达时的贡献
T_arr^{layer_k} = ∫_{layer_k} ( n_eff / c_ref ) d ell → Delta_T_sigma = k_sigma · H(crossing)，
并且
tau_switch = | T_arr^{thick} − ( T_arr^{thin} + Delta_T_sigma ) | → 0。
草图：把层带视为窄支撑，沿穿越点做一阶（或二阶）展开；误差阶受 sup | d(n_eff/c_ref)/d ell | 与 Delta_k 控制。

VIII. 频带差分的公共项抵消（对应第6章 S70-13）

定理 3（n_common 抵消）
同一路径上
常量外提：Delta_T_arr(f1,f2) = (1/c_ref) * ∫ ( n_path(f1) − n_path(f2) ) d ell；
一般口径：Delta_T_arr(f1,f2) = ∫ ( ( n_path(f1) − n_path(f2) ) / c_ref ) d ell。
草图：代入 n_eff = n_common + n_path 后相减，n_common 抵消；剩余项即 path term。

IX. 多路径“回声”时间（对应第6/8章）

命题 7（回声级次近似）
存在近层闭合往返长度 L_loop 时，第 k 级回声
Delta_T_echo(k) ≈ k · ∫_{loop} ( n_eff / c_ref ) d ell（一般口径）。
草图：把每次往返看作闭合段的时间增量并线性叠加；权重由 {R_env,T_trans,A_sigma} 与几何决定。

X. 一阶变分与参数灵敏度（对应第3/5/6/7章）

定理 4（常量外提口径的一阶变分）
delta T_arr = (1/c_ref) * ∫ [ (∂n_eff/∂Phi_T) · delta Phi_T + (∂n_eff/∂grad_Phi_T) · grad(delta Phi_T) + (∂n_eff/∂rho) · delta rho + (∂n_eff/∂θ) · delta θ ] d ell + ∑ crossings delta k_sigma。
说明：θ 汇集 θ_state, θ_sed, θ_path 等参数。边界项按匹配条件处理。

定理 5（一般口径的参数梯度）
∂T_arr/∂θ = ∫ ( ∂n_eff/∂θ ) / c_ref d ell。
用途：θ 的最小二乘/MAP 拟合与 GUM 传播；与 MC 结果做一致性对照。

XI. 能量一致与侧限可行域（对应第8章）

命题 8（侧限下界）
任一界面事件匹配后两侧必须满足 n_eff^± ≥ 1。
命题 9（能量守恒）
每个界面事件满足 R_env + T_trans + A_sigma = 1。
意义：为传播链路提供因果与能量约束；违反时记为否证样本。

XII. 数值分段与收敛（与第9章呼应）

引理 3（端点显式与一致收敛）
不显式纳入 { ell_i } 而跨界面插值将引入阶跃误差并破坏 T_arr 的一致收敛；端点显式入积可恢复分片光滑、允许高阶求积。
引理 4（细化单调）
在三阈值（几何曲率/介质变化/层强度）控制下，细化会使 | T_arr^{(fine)} − T_arr^{(coarse)} | 单调下降直至 eps_T；若不单调，应回溯端点公差与步长策略。

XIII. 谱—到达时联合一致性的权重（对应第11章 M7）

命题 10（联合似然的权重分配）
令联合观测向量 y = [ T_arr, Delta_T_arr, F_nu, LC ]，协方差 Σ_y，则联合似然
L(θ) ∝ exp( − 0.5 · ( y_obs − y_mod(θ) )^T Σ_y^{-1} ( y_obs − y_mod(θ) ) )。
说明：Σ_y 中的交叉相关由 θ_state/θ_sed/θ_path 与共享系统项（如 c_ref、路径几何）确定；权重失配会导致系统性偏置。

XIV. 可辨识性与退化（简要指引）

命题 11（差分破除退化）
在同一路径多频带差分中，θ_state 与 θ_path 的线性相关可被 Delta_T_arr 的谱形所破除，前提是频点分布覆盖目标带宽并控制带外泄漏。
命题 12（跨角度破除几何退化）
跨角度多路径可降低对象几何与层结构的耦合退化，提升定向项的可辨识性。

XV. 示例：三条链路的一致量纲检查

• 到达时（常量外提）：(1/c_ref)[L] → [T]；
• 谱—观测：L_nu/[4π D_L^2] · K → [W·m^-2·Hz^-1]；
• 层项：u1_k[L] · Xi_k[L^-1] → 1（并入 n_eff 保持无量纲）。

XVI. 交叉引用

• 《EFT.WP.Cosmo.EarlyObjects v1.0》：第3章（对象最小方程）、第4章（成因/触发）、第5章（耦合与生长律）、第6章（辐射与传播）、第7章（计量）、第8章（界面）、第9章（数值）、第11章（验证）、第12章（误差）。
• 《EFT.WP.Cosmo.LayeredSea v1.0》：层化海的剖面/等效与一致性（S60-*）。
• 《EFT.WP.Propagation.TensionPotential v1.0》：两口径、差分与路径规范。
• 《EFT.WP.Core.Equations v1.1 / Metrology v1.0 / Errors v1.0》：记号、计量与误差传播基线。

XVII. 产出物

• 推导卡片：两口径与下界、薄/厚层等效与 tau_switch、差分抵消、回声时间、变分灵敏度与联合似然。
• 审计清单：量纲核查、端点显式、两口径与薄/厚层一致、能量一致与侧限、差分线性区与带外泄漏。
• 复现提示：输出 DimReport、SolverCfg/metric_spec、hash(*) 与否证样本以便重放与交叉验证。