47-PTN Template v1.0 | 第7章 误差预算与不确定度

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第7章 误差预算与不确定度

I. 误差源清单（Error Sources Catalog）

统一口径：源项以符号、单位、估计方法、分布假设与相关性给出；类型标注 A（统计评定）/B（非统计评定）；路径相关量显式 gamma(ell) 与测度 d ell。

• 计时与同步：u(δt_abs)（s，A/B），u(Δτ_ch)（s，A），u(jitter)（s，A），u(σ_y(τ))（无量纲，A）。
• 路径与几何：u(gamma(ell))（m，B），u(d ell)（m，B），遮挡/畸变 u(D)（无量纲，B）。
• 介质与色散：u(n_eff(ell))（无量纲，A/B），u(n_eff(λ))（无量纲，B）。
• 参考常量：u(c_ref)（m/s，B），u(λ_ref)（m，B），u(k_ref)（1/m，B）。
• 仪器与标定：u(θ_k)（随参数单位，B），u(g)（增益，B），u(σ_ro)（e⁻，A）。
• 采样与量化：u(Δt)（s，B），u(Δell)（m，B），u(q_bits)（量化步进，B）。
• 建模与数值：u(model)（残差尺度，A），u(discretization)（离散化误差，B），u(screen)（薄屏近似误差，B）。
• 环境与漂移：u(α_T·ΔT)（随对象单位，B），u(Δq_att)（姿态，B）。
• 清洗与选择：u(cleaning)（剔除规则引入的偏差，B），u(missing)（缺失模式，A/B）。

II. 传播模型（Uncertainty Propagation Models）

线性化、协方差积分与蒙特卡洛三轨并行；当使用稳健损失时，提供二阶等价代理以进行误差传播。

• 线性化（Δ法）：设目标量 y = f(x)，x ∈ ℝ^p，雅可比 J = ∂f/∂x |_{x̂}，则
  u^2(y) ≈ J · Cov(x) · Jᵀ。
• 到达时 T_arr 的一阶传播（显式路径与测度）：
  T_arr = ( ∫ ( n_eff / c_ref ) d ell )，记 w(ell) = ( 1 / c_ref )，
  u^2(T_arr) = ∬ w(ell₁) w(ell₂) · Cov[ n_eff(ell₁), n_eff(ell₂) ] d ell₁ d ell₂ + ( ∂T_arr/∂c_ref )^2 u^2(c_ref)，
  其中 ∂T_arr/∂c_ref = - ( 1 / c_ref^2 ) ∫ n_eff d ell。离散化为
  u^2(T_arr) ≈ ∑_{i,j} w_i w_j · Cov(n_i, n_j) · d ell_i · d ell_j + (∂T_arr/∂c_ref)^2 u^2(c_ref)。
• 相位累计 Phi 的传播：
  Phi = ( 2π / λ_ref ) ( ∫ n_eff d ell )，
  u^2(Phi) = ( 2π / λ_ref )^2 ∬ Cov(n_eff(ell₁), n_eff(ell₂)) d ell₁ d ell₂ + ( ∂Phi/∂λ_ref )^2 u^2(λ_ref)，
  ∂Phi/∂λ_ref = - ( 2π / λ_ref^2 ) ∫ n_eff d ell。
• 连续性/通量类指标（示例）：对 ε_flux 或 ΔM 使用线性化或自举：
  u(ε_flux) ≈ √{ Var(ε_flux_residuals) }；u(ΔM) ≈ √{ u^2(∫ρ dV|_{t2}) + u^2(∫ρ dV|_{t1}) - 2 Cov }。
• 相关结构：当 n_eff 沿路径具相关长度 L_c，采用核 K(Δell) = exp( -|Δell| / L_c ) 建模 Cov(n_i,n_j)；L_c 由拟合或先验给定。
• 蒙特卡洛：从 x ~ 𝒩(x̂, Cov) 或稳健分布采样 B ≥ 10^4，计算 y_b = f(x_b)，取 u(y) = std(y_b)；稳健情形报告中位数与分位区间。

III. 合成与区间（Composition & Intervals）

• 合成不确定度：对不相关项使用平方和根：u_c = √( ∑ u_i^2 )；相关项按协方差合成：u_c^2 = ∑ u_i^2 + 2∑_{i<j} ρ_{ij} u_i u_j。
• 扩展不确定度：U = k · u_c，覆盖因子 k 取 2（约 95%）或按任务指定。
• 区间类型：报告置信区间（频率）或可信区间（贝叶斯）；稳健流程提供中位数±分位差（如 P2.5–P97.5）。
• 门槛对齐：报告的 U 应与第 4 章门槛（如 τ_T, τ_phi, τ_M）同域对齐；阳性/阴性判据以 U 后的区间比较为准。
• 单位与量纲：所有区间携带单位；check_dim 报告列出每个量的量纲闭合情况。

IV. 监控与告警（Monitoring & Alerts）

• 在线指标：Q_res（残差稳健度）、p_dim（量纲闭合通过率）、σ_y(τ)、SNR、drift_rate。
• 管制图：EWMA/Shewhart 对 T_arr、Phi、ε_flux 建立控制界；越界标记 quality.flags += {"uncert_alert"}。
• 新鲜度门：acq.ts_start − calib.timestamp ≤ τ_calib；过期进入限制模式并提升 U 的报告等级。
• 再标定触发：当 u(θ_k) 超阈或 p_dim < 1 时强制再标定；再评估 u_c 与 U。

V. 误差预算卡（Error-Budget Card，发布格式）

字段：source, symbol, unit, type(A/B), estimate, distribution, correlation, note, see[]。

交付：随结果页附 error_budget.csv 与展平的 see[]（“卷名 + 版本 + 锚点”）。

VI. 报告与记录（Reporting & Records）

• 不确定度摘要表：对每个关键量（T_arr, Phi, ε_flux, ΔM, Q）报告 x̂ ± u_c (k=1) 与 x̂ ± U (k)。
• 方法说明：注明使用的传播路线（线性化/蒙特卡洛/自举）与核函数、相关长度。
• 可复现性：在 audit.jsonl 中记录随机种子、样本大小、B、核参数、估计器与版本。

VII. 相干示例（Normative Examples，可直接复用）

• 到达时不确定度（离散路径）

Given: T_arr = ∑_i ( n_i / c_ref ) · d ell_i

u^2(T_arr) = ∑_{i,j} ( d ell_i d ell_j / c_ref^2 ) · Cov(n_i, n_j) + ( ∑_i n_i d ell_i / c_ref^2 )^2 · u^2(c_ref)

Dims check: [1]/[m·s^-1]*[m] = [s] ✅

• 相位不确定度（带 λ_ref）

Phi = ( 2π / λ_ref ) ∑_i n_i d ell_i

u^2(Phi) = ( 2π / λ_ref )^2 ∑_{i,j} d ell_i d ell_j · Cov(n_i, n_j) + ( 2π ∑_i n_i d ell_i / λ_ref^2 )^2 · u^2(λ_ref)

Unit: [rad] ✅

• 稳健区间（自举）

Draw B=10000 bootstrap replicates of residuals → refit → collect T_arr^*.

Report median [P2.5, P97.5]; compare with thresholds τ_T, mark pass/fail.

VIII. 机读模板（Machine-Readable, 可落库）

version: "1.0.0"

uncertainty:

targets: ["T_arr","Phi","ε_flux","ΔM","Q"]

methods:

T_arr: ["delta","mc"]

Phi: ["delta","mc"]

ε_flux: ["bootstrap","delta"]

delta:

jacobian: "auto"

cov_model:

n_eff:

kernel: "exp"

L_c_m: 25.0

mc:

draws: 10000

seed: 20250924

coverage:

k: 2

type: "confidence" # or "credible" / "quantile"

report:

export: ["error_budget.csv","uncertainty.md","check_dim_report.json"]

see:

- "EFT.WP.Core.Equations v1.1:S20-1"

- "EFT.WP.Core.Metrology v1.0:check_dim"

- "Methods.Cleaning v1.0"

- "Methods.SimStack v1.0"

- "Core.DataSpec v1.0:TARR"

IX. 与质量门的对齐（与第 5 章一致）

• G4｜量纲闭合：p_dim = 1.0；
• G6｜噪声残差门：Q_res 落入容许带；
• 失败触发：p_dim < 1 或 U 超阈值即触发 uncert_alert 与再标定流程。