08-EFT.WP.Core.Sea v1.0 | 第2章 采样与量化

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第2章 采样与量化

I. 目标与范围

• 聚焦离散化过程的三要素：fs（采样）、量化器与窗函数；给出 ENOB/DR/S_xx(f) 的一致性定义与校准方法。
• 产出 S82-* 最小方程、P82-* 公设与 Mx-2 配置流程；与《Core.Metrology》《Core.Threads》接口保持一致。

II. 基本定义与符号

1. 采样与时间窗
   • fs（sample rate），N（samples per window），Delta_t = N / fs（window length）。
   • 频率分辨率：Delta_f = fs / N；一侧频谱频点集合 f_k = k * Delta_f，k ∈ {0..N/2}。
2. 量化与动态范围
   • ADC_bits = N_bits，满量程幅度 V_fs，量化步距 Delta = V_fs / 2^N_bits。
   • 有效位数 ENOB，动态范围 DR（见第1章定义，沿用）。
3. 窗函数与等效噪声带宽
   • 离散窗 w[n]，n ∈ {0..N-1}；功率归一因子 U = (1/N) * ∑ w[n]^2；均值因子 C = (1/N) * ∑ w[n]。
   • ENBW（equivalent noise bandwidth）：ENBW = fs * ( ∑ w[n]^2 ) / ( ∑ w[n] )^2。
4. 功率谱密度
   • S_xx(f) 表示输入信号 x(t) 的 PSD；估计量写作 S_hat_xx(f)。
   • 抗混叠滤波器传递函数 H(f)；理想 Nyquist 频率 f_N = fs / 2。

III. 公设 P82-*（采样与量化）

• P82-1 采样定理公设
  已知最高有意义频率 f_max 时，约束 fs >= 2 * f_max 为硬下界；若 fs < 2 * f_max，必须提供 H(f) 指标与残余混叠上界（见 S82-5）。
• P82-2 量化噪声白化公设（条件）
  在中尺度、无过载、输入跨越多个量化台阶且未相关于量化器误差时，量化误差视为白噪声，方差满足 S82-1。
• P82-3 窗与标定公设
  任何幅值或功率度量必须给出窗函数与归一化因子；幅值使用 1/C，功率或 PSD 使用 1/U。
• P82-4 抖动一致公设
  采样时钟抖动 J 的等效噪声以 tau_mono 评估，相关 SNR 退化遵循 S82-4。
• P82-5 PSD 可追溯公设
  任何 S_hat_xx(f) 必注明 fs/N/window/ENBW/overlap/H(f) 与是否一侧谱；导出单位与 check_dim(expr) 一致。

IV. 最小方程 S82-*（核心关系）

1. S82-1 量化噪声近似式
   • 量化误差方差：sigma_q^2 = Delta^2 / 12，其中 Delta = V_fs / 2^N_bits。
   • 满量程正弦的量化 SNR（dB）：SNR_q_dB ≈ 6.02 * N_bits + 1.76。
   • ENOB = ( SNR_dB - 1.76 ) / 6.02。
2. S82-2 频率分辨率与泄漏条件
   • 频率分辨率：Delta_f = fs / N；当信号基频 f0 满足 f0 = m * Delta_f（m 为整数）且 window = rectangular 时泄漏最小。
   • 非整周期时的幅值校正：A_hat = ( 1 / C ) * A_meas。
3. S82-3 PSD 归一化（Welch）
   • 对每段长度 N、窗 w[n] 的 DFT 幅度 X_w[k]，单侧 Welch PSD 估计为
     S_hat_xx(f_k) = ( 2 / ( fs * U ) ) * mean( | X_w[k] |^2 )，k ∈ {1..N/2-1}；直流与 Nyquist 频点不乘 2。
   • 近似方差（独立段数 K）：var[ S_hat_xx(f) ] ≈ S_xx(f)^2 / K。
4. S82-4 抖动受限 SNR
   SNR_jitter_dB ≈ -20 * log10( 2 * pi * f_in * J )，其中 f_in 为输入最高重要频率，J 为采样时钟 RMS 抖动。
5. S82-5 残余混叠上界
   • 抗混叠滤波后残余混叠功率上界
     P_alias ≤ ∫_{|f| > f_N} | H(f) |^2 * S_xx(f) df。
   • 若仅知带外最大 PSD S_out_max 与通带外总衰减 A_stop（线性幅度），则
     P_alias ≤ A_stop^2 * S_out_max * ( f_B - f_N )，其中 f_B 为模拟前端带宽。
6. S82-6 过采样增益
   SNR_gain_dB ≈ 10 * log10( OSR )，相当于 ENOB_gain ≈ 0.5 * log2( OSR ) 位。过采样比 OSR = fs / ( 2 * f_sig )，对白噪声量化误差的 SNR 改善为

V. 窗函数要点（幅值与 PSD 归一）

1. 归一化建议
   • 幅值估计使用 K_amp = 1 / C；功率与 PSD 使用 K_pow = 1 / U。
   • 统一在 manifest 记录 {window, C, U, ENBW}。
2. 常用窗的近似指标（相对矩形窗，一侧谱场景）
   • rectangular：ENBW ≈ 1.000 * Delta_f，主瓣最窄，泄漏大。
   • hann：ENBW ≈ 1.500 * Delta_f，旁瓣快衰，常用 PSD。
   • hamming：ENBW ≈ 1.360 * Delta_f，主瓣略窄于 hann。
   • blackman：ENBW ≈ 1.730 * Delta_f，旁瓣更低，分辨率牺牲更多。
   • 对应幅值波峰损失用 1/C 修正；若估计正弦 RMS，以 sqrt(2) 换算幅值与 RMS。

VI. 抗混叠与带宽配置

1. 设计约束
   • 先定 f_sig（最高有效频率）与目标泄漏/混叠预算，再选 fs 与 H(f)。
   • 模拟前端 H(f) 的 f_c 与斜率需确保在 f_N 前完成必要衰减 A_stop，使 S82-5 满足预算。
2. 典型策略
   • 若硬件可选 fs：优先使 f_sig 与 fs 共振整周期（降低泄漏），其次拉高 OSR 以降低量化噪声。
   • 若 fs 受限：提高 A_stop 与使用高旁瓣抑制窗；必要时带通信号做下变频。

VII. 抖动、偏斜与时基误差

• 时钟抖动 J：对高频分量最敏感，f_in 越高，SNR_jitter_dB 越低（见 S82-4）。
• 频率偏斜 skew：引入跨窗相位漂移，影响平均后 PSD 的相干性；处理前需以 tau_mono 做重采样或相位对齐。
• 时间戳 ts：用于对外发布与审计；采样与对齐评估一律以 tau_mono（见《Core.Threads》第4章）。

VIII. ENOB、DR 与量化/模拟噪声配平

1. 预算分解
   • 总噪声方差 sigma_total^2 ≈ sigma_analog^2 + sigma_q^2 + sigma_jitter^2。
   • 当 sigma_analog ≫ sigma_q 时，提升 N_bits 收益有限；当 sigma_q ≫ sigma_analog 时，优先增大 N_bits 或 OSR。
2. 关系式与判据
   • 以 SNR 定义 ENOB：ENOB = ( SNR_dB - 1.76 ) / 6.02。
   • 动态范围（第1章 S81-3）：DR = ( x_max - x_min ) / noise_floor，其中 noise_floor 应计入量化与模拟噪声。

IX. PSD 估计偏差与置信（实践要点）

1. Welch 配置
   • 段长 N、重叠 overlap ∈ [0, 0.75]、段数 K；K 越大，方差近似以 1/K 下降。
   • 单侧谱能量守恒：直流与 Nyquist 不乘以 2，其余频点乘以 2（S82-3）。
2. 偏差来源与修正
   • 窗的 ENBW 扩展频带，导致谱峰变宽；报告时给出 ENBW。
   • 非整周期泄漏用 1/C 做幅值修正；功率修正依 1/U。
   • 带外残余混叠依据 S82-5 入账到不确定度。

X. 配置流程 Mx-2（采样与量化基线）

• 目标设定：给出 f_sig、SNR/SFDR 目标、混叠与泄漏预算、q_score 下限。
• 采样率：选 fs >= 2 * f_sig；如可行，增大 OSR 以获得 SNR_gain_dB ≈ 10 * log10(OSR)。
• 抗混叠：设计 H(f) 使 A_stop 满足 S82-5；记录 f_c/BW/A_stop 于 manifest。
• 窗与长度：定 window 与 N，记录 C/U/ENBW；若关心幅值，优先 hann/hamming 并做 1/C 校正。
• 抖动控制：测量 J，用 S82-4 校核 SNR_jitter_dB 不低于目标；必要时相位对齐或重采样。
• 量化预算：以 S82-1 估算 sigma_q^2 与 SNR_q_dB，平衡 N_bits/OSR/A_gain。
• PSD 估计：采用 Welch，设置 seg/overlap；输出 S_hat_xx(f) 并给出方差近似与置信区间。
• 追溯与发布：随数据导出 fs/N/window/C/U/ENBW/H(f)/OSR/J/ADC_bits/ENOB（见 P82-5）。

XI. 质量与合规检查清单

• fs 与 f_sig 的 Nyquist 约束与 H(f) 指标已记录并通过 S82-5 校核。
• ADC_bits、V_fs、Delta 与 ENOB 一致；量化 SNR 与目标 SNR 差距可解释。
• window、C/U/ENBW 明确，幅值与 PSD 归一化一致。
• J 测得并通过 S82-4 校核；必要时给出改进建议（锁相、低抖动时钟、过采样）。
• manifest 完整：{fs,N,Delta_t,window,C,U,ENBW,ADC_bits,ENOB,OSR,H(f),A_stop,J}。

XII. 跨卷接口提示

• 与《Core.Threads》：窗口化与 Welch 计算可作为 thr 节点加入 G=(V,E)；通过 chan 批量输出 S_hat_xx(f)，背压策略见该卷第3章。
• 与《Core.Metrology》：对 SNR/ENOB/DR 的不确定度用 propagate_uncertainty 汇总；单位与量纲由 check_dim(expr) 校验。
• 与《Core.Sea》第8章：如将 T_arr 用作时序校准，需在谱估计前完成 tau_mono 对齐，路径参数按两口径报告 delta_form。