49-误差预算卡 Template v1.0 | 第8章 合成不确定度与区间（覆盖口径）

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第8章 合成不确定度与区间（覆盖口径）

I. 目的与范围（Purpose & Scope）

• 统一不确定度合成与**区间（覆盖口径）**的报告规则，覆盖不相关/相关合成、非线性变换、比值/差值/和函数、序贯/分层情况下的口径对齐与发布要求。
• 涉及路径量（到达时/相位）时，正文显式 gamma(ell) 与测度 d ell，并在数据/元数据记录 delta_form ∈ {general, factored}；发布要求 p_dim = 1.0。

II. 前置条件与输入（Prerequisites & Inputs）

• 基础量与单位：各输入量携带单位/量纲并经 check_dim 校核。
• 传播结果：已按第6章给出 u(x_i)、相关结构 Σ=Cov(x) 与目标量 y=f(x) 的传播结果（Δ/MC/自举其一）。
• 阈值对齐：与质量门阈值对齐（τ_T、r_phi_min、ε_flux guard、Q_res band），明确判定口径（阳性/阴性/限制模式）。

III. 合成不确定度（Combined Standard Uncertainty, u_c）

1. 不相关项合成：
   u_c = √( ∑_i u^2(x_i) )。
2. 相关项合成（一般式）：
   u_c^2 = ∑_i u^2(x_i) + 2∑_{i<j} ρ_{ij} u(x_i) u(x_j)，或以协方差矩阵 Σ 写作 u_c^2 = gᵀ Σ g（g=∂f/∂x|_{x̂}，Δ法）。
3. 非线性与和/差/乘/比（Δ法一阶近似）：
   • 和/差：y = aX ± bY → u^2(y)=a^2u^2(X)+b^2u^2(Y)±2ab Cov(X,Y)；
   • 乘：y=XY → (u(y)/y)^2 ≈ (u(X)/X)^2 + (u(Y)/Y)^2 + 2 Corr(X,Y)·u(X)u(Y)/(XY)；
   • 比：y=X/Y → (u(y)/y)^2 ≈ (u(X)/X)^2 + (u(Y)/Y)^2 − 2 Corr(X,Y)·u(X)u(Y)/(XY)；高精度可用 Fieller 口径或 MC。
4. 路径积分型目标量：
   T_arr = ∫ ( n_eff / c_ref ) d ell 与 Phi = (2π/λ_ref) ∫ n_eff d ell 的 u_c 见第6章传播；路径相关用第5章核建模 Σ(ℓ_i,ℓ_j)。

IV. 扩展不确定度与覆盖因子（Expanded Uncertainty, U = k·u_c）

• 默认口径：k=2（约 95% 覆盖），除非任务另有规定；需在报告中显式给出 k。
• 小样本修正：自由度 ν 有限时用 t_{ν,1−α/2} 代替 k；对 Δ法可用 Welch–Satterthwaite 近似自由度。
• 异方差/重尾情形：建议以稳健代理的二阶等价量（Huber/分位损失下的方差替代）计算 u_c，再给出 U。

V. 区间类型与选择（Interval Types & Selection）

1. 置信区间（Confidence）：频率学口径，基于 Δ法近似、正态近似或 t 分布。
2. 可信区间（Credible）：贝叶斯口径，给出先验/后验与最高后验密度（HPD）区间。
3. 分位带（Quantile Band）：非参数/稳健推荐，给出 P2.5–P97.5 或对称分位；适合 MC/自举与重尾场景。
4. 选择原则：
   • 近线性+常规残差 → 置信区间；
   • 有先验与层级结构 → 可信区间；
   • 分布未知/重尾/异常点 → 分位带。
     报告时必须标明区间类型与置信/覆盖水平。

VI. 典型目标量的区间口径（Examples）

• 到达时 T_arr：[ T̂_arr − U , T̂_arr + U ] 或分位带 [P2.5, P97.5]；单位 s。
• 相位 Phi：[ Φ̂ − U , Φ̂ + U ] 或分位带；单位 rad；先对齐参考窗。
• 相关系数 r_phi：Fisher–z：z=atanh(r)，区间在 z 域求后反变换；或自举分位带。
• 守恒误差 ε_flux：报告上分位（如 P95）与门带对照，若超带进入限制模式。
• 比例/通过率：Wilson/Clopper–Pearson 区间或 Beta–Binomial 后验区间。

VII. 与质量门阈值的对齐（Alignment with Gates）

• ΔT_arr：U = k·u_c 与 τ_T 对照，|ΔT_arr| + U ≤ τ_T 判阳性。
• r_phi：区间下界 LB(r) ≥ r_phi_min。
• ε_flux：上分位 P95(ε_flux) 落在守恒允许带内。
• Q_res：位于许可带（G6）。
• 任一核心门未满足 → 标注 [Restricted] 并仅发布定性区间与诊断图。

VIII. 报告规范（Reporting Rules）

• 单位与量纲：区间与点估均需单位；随附 check_dim_report.json，确保 p_dim=1.0。
• 口径透明：注明传播方法（Δ/MC/自举），区间类型与 k/α，相关结构与关键参数（如 L_c）。
• 图表：均值/中位数配 ±U(k) 或分位带；图注注明 see[]/version、delta_form（若为路径量）。
• 可追溯：在 audit.jsonl 记录抽样配置、随机种子 seed、B、核参数、估计器版本。

IX. 机读模板（Machine-Readable）

A. uncertainty.yaml（最小配置）

version: "1.0.0"

targets:

- name: "T_arr"

unit: "s"

method: "delta" # delta|mc|bootstrap

coverage: { type: "confidence", k: 2 }

inputs: { from: "cov_config.yaml" }

- name: "Phi"

unit: "rad"

method: "mc"

coverage: { type: "quantile", p: [0.025, 0.975] }

B: 10000

- name: "r_phi"

unit: "1"

method: "bootstrap"

fisher_z: true

gates:

tau_T_s: "3*u(T_arr)"

r_phi_min: 0.60

flux_guard_p95: 0.02

see:

- "EFT.WP.Core.Metrology v1.0:check_dim"

- "EFT.WP.Core.Equations v1.1:S20-1"

B. uncertainty.md（节选骨架）

# Uncertainty Composition & Intervals

- Methods: Delta for T_arr, MC for Phi, Bootstrap (Fisher-z) for r_phi.

- Coverage: k=2 (95%); quantile bands [2.5%,97.5%] for MC.

- Correlation: path kernel exp(L_c=25 m); channel block Toeplitz.

- Results: T_arr = x̂ ± U; Phi = median [P2.5,P97.5]; r_phi = LB≥0.60.

C. 表格模板（发布版）

target,point,lower,upper,unit,method,coverage,notes

T_arr,1.23e-8,9.9e-9,1.47e-8,s,delta,"k=2 (95%)","Σ from exp kernel; delta_form=general"

Phi,0.035,0.028,0.043,rad,mc,"quantile [2.5,97.5]%","B=10000; aligned window"

r_phi,0.72,0.61,0.80,1,bootstrap,"Fisher-z 95%","stratified by device"

X. 与其它章节衔接（Cross-Refs）

XI. 执行勾选清单（Checklist）

• 已给出 u_c、U=k·u_c 或分位带，且附单位与区间类型。
• 传播方法（Δ/MC/自举）、相关结构与关键参数在 uncertainty.md 透明记录。
• 与 τ_T / r_phi_min / ε_flux guard / Q_res band 的对齐关系已明确并判定完毕。
• check_dim_report.json 通过；路径量显式 gamma(ell)、d ell，并记录 delta_form。
• 已导出 uncertainty.yaml / uncertainty.md 与发布表格；see[]/references[]/version 合规且一致。