56-报告级方法附录 Template v1.0 | 第4章 理论要点与最小推导（S/P）

第4章 理论要点与最小推导（S/P）

I. 章节目标与范围（强制）

• 固定每一方法的公设（P）—最小方程（S）—边界与适用域，以最短链路支撑后续数学表述、计量与实现绑定。
• 输出物包含：人读要点清单与机读锚点/推导骨架（YAML/JSON 等价）。

II. 公设与先验（P，强制）

• P10-1（路径可测）：存在可测路径 gamma(ell) 与测度 d ell，其参数化满足连续与有限长度条件。
• P10-2（介质口径）：有效折射率 n_eff 与参考上限 c_ref 在给定域内可定义，且满足计量一致性。
• P10-3（量纲守恒）：所有物理量可赋予单位与量纲，方程需通过 check_dim=true 的量纲校核。
• P10-4（可复现性）：任一推导步可由独立实现以相同输入重现（见第3章机读字段）。

III. 最小方程（S，强制）

• S20-1（到达时一般式）：T_arr = ( ∫ ( n_eff / c_ref ) d ell )。
• S20-2（常量外提）：若段内 c_ref 常量，则 T_arr = ( 1 / c_ref ) * ( ∫ n_eff d ell )。
• S20-3（等价条件）：当且仅当 ∂_ell c_ref = 0 于积分域几乎处处成立时，S20-1 与 S20-2 等价。
• S20-4（上界与可加）：若 n_eff≥0 且 c_ref>0，则 T_arr 对路径分段可加，且存在显式上界 T_arr ≤ (1/inf c_ref)∫ n_eff d ell。

IV. 变量与域（强制）

• 路径：gamma(ell): [ell_0, ell_1] → ℝ^k 连续可微；测度：d ell。
• 介质函数：n_eff: gamma → ℝ_{≥0}；c_ref: gamma → ℝ_{>0}。
• 量纲：dim(T_arr)=T，dim(n_eff)=1，dim(c_ref)=L T^-1，dim(d ell)=L。

V. 推导最小骨架（强制）

• 起点（守恒与可测）：由 P10-1、P10-3 得到可积性与量纲配对。
• 归一化速度场：设参考传播上限 c_ref 与无量纲 n_eff，构造到达时泛函 F[gamma]=∫(n_eff/c_ref)d ell。
• 一般式（S20-1）：由可积性与正性条件（n_eff≥0, c_ref>0）直接给出。
• 常量外提条件（S20-2/3）：若 c_ref 在分段域内为常量，则外提并与一般式等价；否则仅作为近似或例外条款（需在机读层登记 delta_form）。
• 可加与上界（S20-4）：对路径分段积分应用线性与下确界推得可加性与上界。

VI. 边界、例外与适用（强制）

• 适用域：存在可测 gamma(ell)；n_eff 与 c_ref 可测且本域下有界。
• 例外：c_ref 剧烈起伏区域仅以 S20-1 为判据；若使用 S20-2，需在记录单列出例外域与期限。
• 非目标：随机路径泛函的高阶扰动与色散项不在本章给出（可在方法条目的扩展节说明）。

VII. 量纲与计量一致性（强制）

• 量纲校核：T_arr 的单位为 s，校核式 dim((n_eff/c_ref)d ell)=T；在报告机读层给出 check_dim=true 与锚点列表。
• 计量口径：单位、置信区间与不确定度在计量节（M）展开；本章仅给出通过性要求。

VIII. 推论与最小引理（可引用，强制）

• Lem-1（单调性）：若 n_eff 单调不减而 c_ref 单调不增，则 T_arr 随路径延伸单调不减。
• Lem-2（缩放）：若对路径作仿射重标定 ell' = a·ell (a>0)，则 T_arr 不变。
• Cor-1（分块近似）：将路径分块使 c_ref 近似常量，可得 T_arr ≈ ∑ (1/c_ref^i)∫_{block i} n_eff d ell。

IX. 与后续章节的接口（强制）

• 数学表述（第6章）：承接 math.statements[]，逐式标注符号与单位。
• 计量与校准（第7章）：承接 metrology.*，输出单位/量纲与标定链路。
• 评测协议（第8章）：以 S20-* 为判据定义 gate_accuracy 等门禁指标。
• 实现绑定（第11章）：将 S/P 锚点暴露于 meta.anchors[] 并在 API 响应中返回。

X. 人读 × 机读对位（强制）

XI. 机读最小模板（YAML；JSON 等价，强制）

theory:

P:

- { id: "P10-1", name: "measurable_path", text: "gamma(ell) measurable; d ell defined" }

- { id: "P10-2", name: "medium_caliber", text: "n_eff, c_ref measurable and bounded" }

- { id: "P10-3", name: "dimensionality", text: "check_dim=true for all equations" }

- { id: "P10-4", name: "reproducibility", text: "independent reproduction" }

S:

- { id: "S20-1", name: "general_form", eq: "T_arr = ( ∫ ( n_eff / c_ref ) d ell )" }

- { id: "S20-2", name: "factored_form", eq: "T_arr = ( 1 / c_ref ) * ( ∫ n_eff d ell )" }

- { id: "S20-3", name: "equivalence", cond: "∂_ell c_ref = 0 a.e." }

- { id: "S20-4", name: "additivity_bound", text: "segment additivity and upper bound" }

math:

path: "gamma(ell)"

measure: "d ell"

statements:

- "T_arr = ( ∫ ( n_eff / c_ref ) d ell )"

symbols:

- { name: "n_eff", unit: "1", dim: "1" }

- { name: "c_ref", unit: "m·s^-1", dim: "L T^-1" }

check_dim: true

arrival_time:

delta_form: "general" # general|factored

proof_skeleton:

steps:

- "Use measurability (P10-1) & positivity to define integral."

- "Derive S20-1; specialize to S20-2 under ∂_ell c_ref=0."

- "Show additivity and bound (S20-4)."

references:

see:

- "EFT.WP.Core.Equations v1.1:S20-1"

- "EFT.WP.Core.Metrology v1.0:check_dim"

XII. 引用与交叉引用体例（强制）