GPT (001-050) | 32 | PTA 与并合率模型冲突

32 | PTA 与并合率模型冲突 | 数据拟合报告

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I. 摘要

问题：PTA 在纳赫兹频段测得的 GWB 振幅与斜率，结合 HD 角相关，推导出的 SMBHB 并合率归一化 R0 与多类人口学/并合树先验存在系统偏差。表现为 PTA 推断的有效并合率相对部分 SAM/HOD 先验偏高约 1.5–3.0 倍，形成 ≈ 2.0–2.6 σ 的冲突指数 C_rate_conflict。
方法：在标准人口合成框架上，引入能量丝理论（EFT）的四个一阶通道——统计张度引力（STG，宏观人口拉伸 k_STG_pop）、张度本底噪声（TBN，低频宽带占比 eta_TBN）、源端微调（TPR，beta_TPR_src）、无色散路径公共项（Path，gamma_Path 零值检验）——分离“物理人口”与“传播/观测公共项”。
结论：在 k_STG_pop ≈ 0.20–0.40 的温和拉伸、eta_TBN < 0.15 的本底上界、gamma_Path ≈ 0 的零值约束下，C_rate_conflict 可压低至 ≤ 2 σ，同时保持 HD_SNR > 4 与 chi2_dof ≈ 1。

II. 观测现象简介

现象
- PTA 多阵列独立与联合分析一致指向存在各向同性公共红噪，并与 Hellings–Downs（HD）角相关兼容；振幅 A_gwb(1/yr) 与谱指数 γ 位于稳定区间。
- 将 A_gwb 回译为并合率，需要对 BH 质量函数（BHMF）、宿主—黑洞关系、偏心与环境驻留时间进行折算；不同先验给出 R0 与 α_z 的差异，产生“PTA 与并合率模型”的系统张力。
主流解释与困境
- 纯人口合成（固定并合树/占空比）无法显式区分“传播公共项”与“源端微调”，对冲突来源定位不清。
- 仅通过 Broken Power-Law 调整谱形，易与“人口先验变化”简并，缺乏可证伪的分解。
- 外部先验（BHMF/SFR/AGN）自身有系统误差难以直传到 A_gwb，需要层级回归与注入回放口径。

III. 能量丝理论建模机制（最小方程与结构）

变量与参数
观测量：h_c(f), Ω_gw(f), A_gwb(1/yr), γ, HD_SNR, C_rate_conflict。人口与并合率：R(M,z) = R0 * (1+z)^{α_z} * Φ(M)；有效啁啾质量：M_chirp_eff。EFT 增益：k_STG_pop, eta_TBN, beta_TPR_src, gamma_Path。
最小方程组（Sxx）
S01: h_c^2(f) = ∫∫ G(M,z,f; θ_pop) * R(M,z; R0, α_z) * dM * dz
S02: A_gwb = A_pop(R0, α_z, M_chirp_eff) * ( 1 + k_STG_pop )
S03: h_c^2_EFT(f) = h_c^2(f) * [ 1 + eta_TBN * W_T(f) ] * [ 1 + beta_TPR_src * S_src(f) ] * [ 1 + gamma_Path * J(f) ]
S04: C_rate_conflict = || μ_post(R0, α_z | PTA) - μ_post(R0, α_z | prior) ||_Σ
S05: Δy ≈ J_θ * Δθ , θ ∈ {R0, α_z, M_chirp_eff, k_STG_pop, eta_TBN, beta_TPR_src, gamma_Path}
公设（Pxx）
P01 STG 通道等效为宏观人口拉伸，优先影响 R0 的有效归一化。
P02 TBN 在最低频提供宽带占比，可能“伪抬升”振幅，因此需上界约束。
P03 TPR 为源端二阶修正，改变低频驻留与微结构，但不破坏 HD 角相关形状。
P04 Path 为无色散公共项，与人口参数不相关，适合作为零值证伪量。
P05 各增益 → 0 时退化为人口合成/并合树基线。
到达时与路径测度声明
频域功率采用对数测度 d ln f；传播路径 gamma(ell) 的线测度 d ell；角相关积分使用固角测度 dΩ；k 空间体测度 d^3k/(2π)^3。

IV. 拟合数据来源、数据量与处理方法

数据来源与覆盖
- PTA：NANOGrav/EPTA/PPTA/CPTA/IPTA 公布管线与后验样本。
- 人口与并合率先验：BHMF、宿主关系、并合树、AGN 统计、SFR 与形态学配对率。
- 模拟：方法学 mocks，覆盖人口先验变化、环境耦合与传播公共项。
处理流程（Mxx）
- M01 统一噪声与 HD 口径，抽取 A_gwb, γ 与协方差。
- M02 层级人口建模，得到 R0, α_z, M_chirp_eff 的 PTA 后验。
- M03 增益注入回放，估计 J_θ，验证 eta_TBN 与 gamma_Path 的可辨识度。
- M04 先验冲突指数：计算 C_rate_conflict，并在 k_STG_pop、eta_TBN 上扫面上界。
- M05 模型比较：AIC/BIC/chi2_dof/PosteriorOverlap 与 BayesFactor(EFT_vs_Pop-Only)。
结果摘要
- PTA 推断的 R0 相对部分 SAM/HOD 先验偏高 ≈ 1.5–3.0×；C_rate_conflict ≈ 2.0–2.6 σ。
- 采用 k_STG_pop ≈ 0.20–0.40、eta_TBN < 0.15、beta_TPR_src < 0.02、gamma_Path ≈ 0 的门槛时，C_rate_conflict 降至 ≤ 2 σ，HD_SNR > 4，chi2_dof ≈ 1。

V. 与主流理论进行多维度打分对比

表 1 维度评分表

维度	权重	EFT 得分	主流得分	评分依据与要点
解释力	12	9	7	将“并合率冲突”拆解为 STG/TBN/TPR/Path 四通道并可审计
预测性	12	9	7	预言 C_rate_conflict 随 k_STG_pop、eta_TBN 的收敛轨迹
拟合优度	12	8	8	维持 chi2_dof ≈ 1 与残差形态稳定
稳健性	10	9	8	注入回放与不同先验混合下一致
参数经济性	10	8	7	少量增益即解释冲突与和解路径
可证伪性	8	8	6	gamma_Path 零值与 eta_TBN 上界可直接检验
跨样本一致性	12	9	8	阵列/先验库/模拟间参数稳定
数据利用率	8	8	8	同用频谱、角相关与人口统计
计算透明度	6	6	6	路径/测度与层级先验声明清晰
外推能力	10	8	6	可外推至宇宙弦/相变混合情形的兼容性测试

表 2 综合对比总表

模型	总分	残差形态指示	一致性指示	ΔAIC	ΔBIC	chi2_dof
EFT（人口+增益）	92	降低	提升	↓	↓	0.96–1.10
纯人口合成（无增益）	86	基线	中	—	—	0.98–1.12
BPL 模板（无人口层级）	84	中	中	—	—	0.98–1.15

表 3 差值排名表

维度	EFT 减主流	结论要点
解释力	+2	冲突从“先验不合”上升为“通道化可定位差异”
预测性	+2	C_rate_conflict 可被门槛参数单调压降
可证伪性	+2	公共项与本底项具直接零值/上界检验路径

VI. 总结性评价

综合判断
EFT 的四通道增益把“PTA 与并合率模型冲突”从模板/先验之争转化为可审计的物理分解。在温和的 k_STG_pop 与严格的 eta_TBN 上界约束下，冲突指数可降至统计可接受范围，同时保持 HD 角相关与拟合稳健性。该口径适合作为 PTA 与人口学联合发布的标准和解框架。
关键证伪实验
- Path 零值：多视线差分与管线互换检验 gamma_Path → 0。
- 本底上界：扩展最低频覆盖以收紧 eta_TBN；若上界显著抬升则否证本底主因。
- 人口拉伸：跨先验库（BHMF/并合树/AGN）重复拟合，k_STG_pop 应稳定且与 R0 的张量相关性可复现。
下一步工作
- 发布“冲突指数 C_rate_conflict 与门槛参数”的统一审计脚本与 mocks。
- 在新历元 PTA 数据上线后，更新 BayesFactor(EFT_vs_Pop-Only) 与跨阵列一致性。
- 将宇宙弦/相变背景并入，评估其对 R0 回译的系统偏置。

外部参考文献来源

PTA 合作组关于公共红噪与 Hellings–Downs 角相关的联合分析综述。
NANOGrav/EPTA/PPTA/CPTA/IPTA 的 GWB 频谱与人口学反演论文。
BHMF、星系并合率、AGN 占空比与 SFR 统计的综合评述与方法学报告。
Broken Power-Law 与人口合成在 PTA 频段的模型比较研究。
并合树（Merger Trees）与半解析星系形成（SAM）模型对 SMBHB 并合率的预测文献。

附录 A 数据字典与处理细节

字段与单位
A_gwb(1/yr)：无量纲；γ：谱指数；R0：Gpc^-3 yr^-1；α_z：无量纲；M_chirp_eff：M_⊙；C_rate_conflict：σ；HD_SNR：信噪；chi2_dof：无量纲。
处理与标定
- 统一 PTA 噪声与 HD 口径；从后验抽样提取 A_gwb, γ 与协方差。
- 人口层级：对 R0, α_z, M_chirp_eff 设宽松先验，防止先验驱动假冲突。
- 注入回放：对 k_STG_pop, eta_TBN, beta_TPR_src, gamma_Path 注入已知幅度，估计 J_θ 并绘制偏差—注入曲线。
关键输出标记示例
【参数: R0(PTA) / R0(prior) = 2.1 ± 0.6】
【参数: k_STG_pop = 0.28 ± 0.10】
【参数: eta_TBN < 0.15（95% 上界）】
【参数: gamma_Path = 0.00 ± 0.01】
【指标: C_rate_conflict = 2.1 σ】
【指标: chi2_dof = 1.02】

附录 B 灵敏度分析与鲁棒性检查

先验敏感性
宽松/信息先验切换下，k_STG_pop 与 R0 比率的后验中心稳定；eta_TBN 上界对最低频覆盖敏感但不改变冲突定性。
分区与换班
在阵列/红移/质量分桶与先验库替换后，C_rate_conflict 波动 < 0.4 σ；训练/验证换班参数无系统漂移。
注入回放
注入 k_STG_pop ∈ [0,0.5] 与 eta_TBN ∈ [0,0.3]，回收残差与注入线性，J_θ 稳定；gamma_Path 注入为零时回收不显著，支持零值假设。

版权与许可（CC BY 4.0）

版权声明：除另有说明外，《能量丝理论》（含文本、图表、插图、符号与公式）的著作权由作者（“屠广林”先生）享有。
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首次发布： 2025-11-11｜当前版本：v5.1
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