01-EFT.WP.Core.Terms v1.0 | 第6章 维度、无量纲化与单位

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第6章 维度、无量纲化与单位

I. 章目标与范围

• 统一 dim[·]、[L]、[T]、[M] 等维度记号与代数规则，保证全卷表达在量纲层面的自洽与可校验。
• 给出三套可直接套用的无量纲化方案（时间尺度、长度尺度、张度尺度），以及与到达时 T_arr、路径 gamma(ell) 的一致写法。
• 对接实现接口 I10-3（单位注册与量纲校验）与 I10-4（表达式校验），并与《第5章 算符与统计》《第4章 常量与基准》保持一致。

II. 维度系统与记号（基础）

1. 基维与派生维
   • 基维：[L]（length），[T]（time），[M]（mass）。
   • 派生示例：[velocity] = [L T^-1]，[density] = [M L^-3]，[T_arr] = [T]。
2. 量纲算子与规则
   • 记号：dim[X] -> [L^a T^b M^c]。
   • 加法：dim[A] = dim[B] 才可相加。
   • 乘法：dim[A B] = dim[A] dim[B]；除法相应指数相减。
   • 算符：dim[grad[f]] = dim[f] [L^-1]，dim[div[F]] = dim[F] [L^-1]，dim[lap[f]] = dim[f] [L^-2]。
   • 路径测度：dim[d ell] = [L]；故 dim[( n_eff / c_ref ) * d ell] = [T^0]，积分后 dim[T_arr] = [T]。
3. 符号前缀（无量纲化与估计）
   • bar_（scaled / non-dimensionalized），tilde_（perturbation），hat_（estimate）。
   • 示例：bar_x = x / L0，tilde_rho = rho - avg_V[rho]，hat_n_eff 为估计量。

III. 参考尺度与参数（命名与选择）

1. 参考量
   • 长度：L0 def= reference length scale；时间：t0 def= reference time scale；张度：T0 def= reference tension scale。
   • 传播上限：c_ref（见《第4章》）；路径：gamma(ell)，L_gamma = ∫_gamma 1 d ell。
2. 选择原则
   • 一致性：同一计量链内固定 {L0, t0, T0} 与 c_ref。
   • 可追溯：来源、版本、适用域与不确定度在计量记录中可追溯。
   • 条件稳定：优先选取使关键无量纲数处于 O(1) 的尺度，以改善数值条件数。

IV. 无量纲化方案 A：时间尺度（time-based scaling）

1. 定义
   • bar_t = t / t0，bar_ell = ell / ( c_ref * t0 )，bar_gamma(bar_ell) = gamma(ell)。
   • bar_T_arr = T_arr / t0。
2. 到达时表达（统一式）
   bar_T_arr(bar_gamma) = ( ∫_{bar_gamma} ( n_eff ) d bar_ell )，其中 d bar_ell = d ell / ( c_ref * t0 )。
3. 算符尺度
   D_bar_ell f = D_ell f * ( d ell / d bar_ell ) = ( c_ref * t0 ) * D_ell f。
4. 适用场景
   以时间门控为主、路径长度随平台变化的计量或观测（例如脉冲类事件的延迟栈对齐）。

V. 无量纲化方案 B：长度尺度（length-based scaling）

1. 定义
   • bar_x = x / L0，bar_ell = ell / L0，bar_gamma(bar_ell) = gamma(ell)。
   • bar_t = t / ( L0 / c_ref )，bar_T_arr = T_arr / ( L0 / c_ref )。
2. 到达时表达（统一式）
   bar_T_arr(bar_gamma) = ( ∫_{bar_gamma} n_eff d bar_ell )。
3. 算符尺度
   grad_bar[f] = L0 * grad[f]，lap_bar[f] = L0^2 * lap[f]。
4. 适用场景
   以固定路径长度或几何尺度为主的实验与仿真（阵列、导引结构、标准路径基准）。

VI. 无量纲化方案 C：张度尺度（tension-based scaling）

1. 定义
   • bar_T_fil = T_fil / T0，bar_TensionGrad = TensionGrad * ( L0 / T0 )，bar_TensionPot = TensionPot / T0。
   • 若存在映射 n_eff def= F( T_fil, TensionGrad, ... )，则 bar_n_eff = F( T0 bar_T_fil, (T0/L0) bar_TensionGrad, ... )。
2. 到达时表达（以 B 方案长度归一）
   bar_T_arr = ( ∫_{bar_gamma} bar_n_eff d bar_ell )。
3. 与 k_T 的关系
   若有 k_T 将张度与等效质量/能量关联，则在单位注册时声明 dim[k_T]，并确保 bar_T_fil、bar_TensionPot 的映射保持量纲一致（见《第4章》与 I10-3）。
4. 适用场景
   强调 T_fil 主导的近场重构、势/梯度驱动的传播修正与稳定性分析。

VII. 量纲—算符—统计的一致性

1. 平均与方差
   dim[avg_t[f]] = dim[f]，dim[avg_V[f]] = dim[f]，dim[var_t[f]] = dim[f]^2。
2. 路径与积分
   dim[avg_gamma[f]] = dim[f]，其中 avg_gamma[f] def= ( 1 / L_gamma ) * ( ∫_gamma f d ell )。
3. 无量纲化下的算符变换
   • 长度方案：grad[f] -> ( 1 / L0 ) * grad_bar[f]，lap[f] -> ( 1 / L0^2 ) * lap_bar[f]。
   • 时间方案：d/dt -> ( 1 / t0 ) * d/d bar_t。
4. 到达时量纲校验
   ( n_eff / c_ref ) * d ell 为无量纲；故 T_arr 与 avg_t 等统计叠加后保持 dim[T_arr] = [T]。

VIII. 单位注册与量纲校验（I10-3 对接）

1. 注册示例
   • register_unit(name="meter", base="SI", scale=1.0, dim="[L]")
   • register_unit(name="second", base="SI", scale=1.0, dim="[T]")
   • register_unit(name="kilogram", base="SI", scale=1.0, dim="[M]")
   • register_unit(name="c_ref", base="derived", scale=<value>, dim="[L T^-1]")
   • register_unit(name="T0", base="derived", scale=<value>, dim="dim[T_fil]")
2. 校验示例
   • check_dim(expr="( n_eff / c_ref ) * d_ell") -> "[T^0]"；路径积分后得到 "[T]"。
   • check_dim(expr="grad[T_fil]") -> "dim[T_fil] [L^-1]"。
   • check_dim(expr="avg_t[rho; Δt]") -> "[M L^-3]"。
3. 约束
   任何到达时或路径表达中出现的常量与单位，均需在注册表内存在且版本唯一；禁止使用未注册的单位别名。

IX. Buckingham–Pi 与无量纲群（实用模板）

1. 构造步骤
   • 选定变量集 X = { X1, X2, ..., Xn } 与基维 {[L],[T],[M]}。
   • 构建维度矩阵 D ∈ R^{3×n}，求 null(D) 以获得独立的 Pi 组。
   • 定义 Pi_i def= Π_j X_j^{a_{ij}} 并在正文中使用 bar_ 记号关联参考尺度。
2. 示例（路径延迟）
   • 变量集：{ T_arr, L_gamma, c_ref, n_eff }。
   • 独立群：Pi_1 def= T_arr / ( L_gamma / c_ref )，Pi_2 def= avg_gamma[n_eff]。
   • 关系：Pi_1 = Pi_2（即 bar_T_arr = avg_gamma[n_eff]）。

X. 常见误用与修正

• 误：T_arr = ∫ n_eff d ell / c（裸 c、缺少括号）
  正：T_arr = ( ∫ ( n_eff / c_ref ) d ell )。
• 误：avg_t[f] 量纲改变或未声明窗口
  正：avg_t[f; Δt] 且 dim[avg_t[f; Δt]] = dim[f]。
• 误：无量纲化后仍混用原始坐标与 bar_ 坐标
  正：在同一推导域内仅使用一种坐标族，必要时显式给出映射（如 x = L0 * bar_x）。
• 误：用 n(x,t) 代替 n_eff(x,t) 进入到达时
  正：仅允许 n_eff 出现在被积项。

XI. 实现绑定与模板（I10-3 / I10-4）

1. 单位与量纲
   • register_unit(name="L0", base="derived", scale=<value>, dim="[L]")
   • register_unit(name="t0", base="derived", scale=<value>, dim="[T]")
   • register_unit(name="T0", base="derived", scale=<value>, dim="dim[T_fil]")
2. 表达式与校验
   • validate_expr("bar_T_arr = ( ∫ n_eff d bar_ell )", allowed=...) -> True
   • validate_expr("T_arr = ∫ n d ell / c", allowed=...) -> False
3. 导出卡片字段
   name, symbol, def=, scale, unit, dim, source, version, uncertainty, validity, see

XII. 快速检查清单

• 是否明确声明了 {L0, t0, T0} 与其单位来源，并完成 register_unit。
• 到达时与路径表达是否满足 dim[T_arr] = [T]，并通过 check_dim 校验。
• 无量纲化是否在同一推导域内自洽（不混用 x 与 bar_x、ell 与 bar_ell）。
• 统计算子是否保持量纲（avg_t、avg_V、avg_gamma）。
• 是否避免 T_fil/T_trans、n/n_eff 混用，并始终使用 c_ref 而非裸 c。

本章小结
本章确立了维度记号与代数、三套无量纲化方案及其与路径和到达时的对接，完成了与实现层 I10-3/I10-4 的闭环。后续各卷在引入尺度、单位与估计量时，应以本章为唯一口径进行注册、校验与发布。