01-EFT.WP.Core.Terms v1.0 | 第5章 算符与统计

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第5章 算符与统计

I. 章目标与边界

• 固定空间、时间与路径相关的算符记号与统计记号，使其在各卷可直接复用且可机读校验。
• 本章仅定义算符的域/值域、组合规则与统计口径；物理方程见《Core.Equations》，计量流程见《Core.Metrology》，否证与功效见《Methods.Falsification》。

II. 算符白名单与域/值域（统一接口）

1. 空间算符
   • grad[f] def= spatial gradient; dom: f: R^3→R → rng: R^3
   • div[F] def= spatial divergence; dom: F: R^3→R^3 → rng: R
   • curl[F] def= spatial curl; dom: F: R^3→R^3 → rng: R^3
   • lap[f] def= Laplacian; dom: f: R^3→R → rng: R
2. 路径算符
   • D_ell f def= directional derivative along gamma(ell); D_ell f def= d f(gamma(ell)) / d ell
   • avg_gamma[f] def= ( 1 / L_gamma ) * ( ∫_gamma f d ell )
3. 统计算符
   • avg_t[f; Δt] def= time-windowed mean over window Δt
   • avg_V[f; V=Ω] def= volume mean over region Ω
   • var_t[f; Δt] def= time-windowed variance; var_t[f; Δt] def= avg_t[(f - avg_t[f; Δt])^2; Δt]
   • cov_t[f,g; Δt] def= time-windowed covariance; cov_t[f,g; Δt] def= avg_t[(f - avg_t[f; Δt]) (g - avg_t[g; Δt]); Δt]
   • xcorr_t[f,g; τ; Δt] def= time-windowed cross-correlation at lag τ
4. 记号与关系
   • 定义等号：def=；近似：approx；按量纲相似：sim。
   • 期望与概率学符号留作别名映射：add_alias(canonical="avg_t", alias="<·>_t")（正文统一用 avg_t）。

III. 空间算符（规则与示例）

1. 线性与乘积规则
   • grad[a f + b g] = a grad[f] + b grad[g]
   • div[a F + b G] = a div[F] + b div[G]
   • grad[f g] = g grad[f] + f grad[g]
   • div[f F] = grad[f] · F + f div[F]
2. 复合与恒等
   • curl[grad[f]] = 0
   • div[curl[F]] = 0
   • lap[f] = div[grad[f]]
3. 域/正则性要求
   f 至少分片 C^1 以定义 grad；F 至少分片 C^1 以定义 div、curl；lap[f] 需 f ∈ C^2。
4. 与取向场交互
   • 若 p(x,t) 为单位模取向，定义平行/正交分量：F_parallel def= (F · p) p，F_perp def= F - F_parallel。
   • 仅在声明了 p(x,t) 且 |p|=1 的上下文使用平行/正交分解（见 本卷 第2章）。

IV. 路径算符与到达时对接

1. 路径导数
   D_ell f def= d f(gamma(ell)) / d ell = grad[f](gamma(ell)) · d gamma / d ell
2. 路径平均与分段
   • avg_gamma[f] = ( 1 / L_gamma ) * ( ∫_gamma f d ell )
   • 若 gamma = ⋃_k gamma_k，则 ∫_gamma f d ell = Σ_k ( ∫_{gamma_k} f d ell )
3. 到达时统一式（引用）
   • T_arr(gamma) def= ( ∫_gamma ( n_eff / c_ref ) d ell )
   • 常量外提：T_arr(gamma) = ( 1 / c_ref ) * ( ∫_gamma n_eff d ell )
   • 约束：被积项仅允许 n_eff；n、rho 等不得替代；显式 gamma(ell) 与 d ell（见 本卷 第3章）。

V. 时间与体统计（窗口、权重与缺测）

1. 窗口与归一化
   • 定义权重 w_t(τ)，要求 ∫ w_t(τ) d τ = 1；则 avg_t[f; w_t] def= ∫ f(t-τ) w_t(τ) d τ
   • 均匀窗特例：w_t(τ) = 1/Δt for τ ∈ [0, Δt] else 0
2. 离散化映射
   • 采样 {t_k}：avg_t[f; Δt] approx ( Σ_k f(t_k) Δt ) / ( Σ_k Δt )
   • 体积分离散化：avg_V[f; Ω] approx ( Σ_j f(x_j) ΔV_j ) / ( Σ_j ΔV_j )
3. 缺测与掩膜
   • 定义掩膜 m(t) ∈ {0,1}；avg_t[f; Δt, m] def= ( Σ_k m_k f(t_k) Δt ) / ( Σ_k m_k Δt )
   • 方差同理以掩膜权重计算。
4. 交叉统计
   • cov_t[f,g; Δt] = avg_t[f g; Δt] - avg_t[f; Δt] avg_t[g; Δt]
   • xcorr_t[f,g; τ; Δt] def= avg_t[f(t) g(t+τ); Δt]

VI. 交换律与可换条件（谨慎替换）

• 与时间平均的可换性
  若 grad[f] 在 Δt 上近似平稳，则 avg_t[grad[f]; Δt] approx grad[avg_t[f; Δt]]；否则禁止交换。
• 与体平均的可换性
  若边界通量为零且 f 在 Ω 内充分光滑，则 avg_V[div[F]; Ω] = 0（散度定理的平均形式）。
• 与路径平均的可换性
  一般不成立：avg_gamma[grad[f]] 不等于 grad[avg_gamma[f]]；仅在 grad[f] 沿 gamma 近似常值时近似成立。

VII. 量纲与单位（一致性要求）

1. 必备检查
   • check_dim(expr) 用于验证：例如 dim[( n_eff / c_ref ) * d ell] = [T^0]；经路径积分后 dim[T_arr] = [T]。
   • 统计量保持与被测量相同量纲：dim[avg_t[f]] = dim[f]，dim[var_t[f]] = dim[f]^2。
2. 禁止事项
   禁止将 n(x,t) 代入 ( n_eff / c_ref )；禁止在同一上下文重载 T_fil 为温度或时间（见 P10-4）。

VIII. 实现绑定（I10-4 校验与白名单）

1. 表达式校验接口
   • validate_expr(expr:str, allowed:set[str]) -> bool
   • 建议白名单：{ "+","-","*","/","^","(",")", "grad","div","curl","lap", "avg_t","avg_V","avg_gamma","D_ell" }
   • 仅允许前述算符与在《本卷 第2–4章》定义的符号：{ T_fil, rho, n, n_eff, c_ref, p, gamma, d ell, L_gamma }
2. 渲染接口
   render_expr(expr:str, style="text") -> str 输出纯文本表达，用于报告与卡片。
3. 一致性用例
   • validate_expr("T_arr = ( ∫ ( n_eff / c_ref ) d ell )", allowed=...) -> True
   • validate_expr("T_arr = ∫ n d ell / c", allowed=...) -> False（使用了禁用符号与缺少括号）

IX. 常见误用与修正

• 误：∫ n_eff dl（未命名路径与测度）
  正：∫_gamma n_eff d ell，并定义 gamma(ell) 与 L_gamma。
• 误：avg_t[grad[f]] = grad[avg_t[f]]（无条件交换）
  正：仅在 grad[f] 近似平稳时可用 approx 替换。
• 误：T_arr = ( ∫ ( n / c_ref ) d ell )
  正：T_arr = ( ∫ ( n_eff / c_ref ) d ell )。
• 误：以 T_fil 代指透射：T_fil ~ T_trans
  正：T_fil 与 T_trans 严格区分。

X. 快速检查清单

• 是否只使用了本章白名单中的算符与已定义符号。
• 线积分是否显式 gamma(ell) 与 d ell，并满足括号与常量外提规则。
• 平均与方差是否标注窗口与测度；离散实现是否给出权重或掩膜。
• 是否通过 check_dim 校验量纲；统计量量纲是否正确。
• 是否避免 T_fil/T_trans、n/n_eff 混用与不当交换律。

本章小结
本章确定了空间、路径与统计算符的统一记号、域/值域与组合规则，给出了窗口化与离散化的可执行口径，并与到达时 T_arr、量纲校验与实现校验接口对齐。后续《第6章 维度、无量纲化与单位》将基于本章输出给出规范的尺度映射与单位注册流程。