09-EFT.WP.Core.Density v1.0 | 第5章 空间与时空强度

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第5章 空间与时空强度

I. 目标与范围

• 给出空间/时空强度 lambda(x)、lambda(x,t) 的一致定义、估计与检验口径，固化 S92-7 与 Hawkes 型条件强度公式，形成工程化流程 Mx-94。
• 覆盖同质/非同质 Poisson、Cox/聚类、Hawkes 自激模型；提供核强度估计、边界修正与配套的二阶统计（K_ripley(r)、g(r)）与模型诊断。
• 与本卷 K(u)、h 等核记号、与《Core.Sea》时间轴与窗口口径（tau_mono、ts、U_w、ENBW_Hz）保持一致。

II. 计数测度与强度定义（最小方程）

1. 点模式以计数测度 N(A) 表示：对任意可测集合 A ⊂ W，N(A) 为其中事件数。
2. 强度与累计强度
   • S92-7 : Lambda(A) = ( ∫_A lambda(x) dV )，使得 E[ N(A) ] = Lambda(A)。
   • 局地强度定义：lambda(x) = lim_{|A|→0} E[ N(A) ] / |A|。
3. 时空扩展
   lambda(x,t) = lim_{|A|,Δt→0} E[ N( A × (t,t+Δt] ) ] / ( |A| * Δt )，累计强度 Lambda(A×T) = ( ∫_T ∫_A lambda(x,t) dV dt )。
4. 单位与量纲
   unit( lambda(x) ) = count / area；unit( lambda(x,t) ) = count / ( area * time )。发布时必须通过 check_dim(expr)。

III. 强度模型族与似然

1. 同质 Poisson（HPP）
   常数强度 lambda(x) = λ0；对观测窗口 W，N(W) ~ Poisson( λ0 * |W| )。
2. 非同质 Poisson（IPP）
   • lambda(x) 随 x 变化，记对数线性 log lambda(x) = β^T φ(x)。
   • 似然（忽略常数）：S92-23 : log L( lambda ) = ( ∑_{i=1}^N log lambda( x_i ) ) - ( ∫_W lambda(x) dV )。
3. Cox（双随机）与聚类
   随机场驱动强度 lambda(x) ~ random field，对聚类过程（Neyman-Scott/Thomas）常用。
4. Gibbs/相互作用
   通过势能或 Papangelou 条件强度刻画，适合抑制/排斥型模式。
5. Hawkes 自激（时空）
   • S92-24 : lambda(x,t) = mu(x,t) + ( ∑_{t_i < t} H( x - x_i , t - t_i ) )。
   • 分支比：S92-25 : eta = ( ∫_0^∞ ∫_{R^d} H(u,τ) dV du dτ ) < 1（稳定性约束）。
   • 可分核示例：S92-26 : H(u,τ) = κ * k_s( ||u|| ; σ ) * k_t( τ ; β )，则 eta = κ * ( ∫ k_s dV ) * ( ∫_0^∞ k_t dτ )。

IV. 核强度估计与边界修正

1. 空间核强度（d 维，带宽矩阵 H）
   • S92-18 : lambda_hat(x) = ( 1 / c_edge(x) ) * ( 1 / |H|^(1/2) ) * ∑_{i=1}^N K_d( H^(-1/2) * ( x - x_i ) )。
   • S92-19 : c_edge(x) = ( 1 / |H|^(1/2) ) * ( ∫_W K_d( H^(-1/2) * ( x - u ) ) dV_u )（边界归一化项）。
   • K_d(u) = ∏_{j=1}^d K(u_j) 或球对称核；K(·)、H 与本卷第4章一致。
2. 时空核强度（空间带宽矩阵 H_s，时间带宽 h_t）
   S92-27 : lambda_hat(x,t) = ( 1 / c_edge(x) ) * ( 1 / ( |H_s|^(1/2) * h_t ) ) * ∑ K_d( H_s^(-1/2) * ( x - x_i ) ) * K_t( ( t - t_i ) / h_t )。
3. 常见边界修正
   • Translation：用窗口指示函数与核卷积得 c_edge(x)（上式）。
   • Isotropic（Ripley）：按可见圆弧比例加权。
   • Border：剔除距边界小于 r0 的点（需报告被剔除面积/时间比例）。
4. 稀疏域与遮挡
   若可观测子域 W_obs ⊂ W，用 1_{W_obs} 修正 c_edge(x) 并独立发布 mask。

V. 二阶统计：K_ripley(r) 与 g(r)

1. 同质基线
   • S92-20 : K_ripley(r) = ( 1 / λ0 ) * E[ (# of further points within distance r of a typical point) ]（二维）。
   • S92-21 : g(r) = ( 1 / ( 2 * pi * r ) ) * ( d K_ripley(r) / d r )。
2. 非同质修正
   S92-22 : K_inhom(r) = E[ ∑_{i ≠ j} 1( ||x_i - x_j|| ≤ r ) / ( lambda(x_i) * lambda(x_j) ) ] / |W|。
3. 估计要点
   • 使用 lambda_hat(x) 代入 K_inhom；边界采用 isotropic/translation 权重。
   • 解释：g(r) > 1 聚集，g(r) < 1 排斥，g(r) ≈ 1 近 Poisson。

VI. 时空建模与对齐

• 可分强度
  lambda(x,t) = s(x) * h(t)，分别用空间核与时间核估计；报告可分性检验（互相关/似然比）。
• 到达时对齐
  如涉及跨设备事件，统一以 tau_mono 排序，对外发布保留 ts；若用路径口径，需给出 T_arr 两口径并报告 delta_form。
• 同步与抖动
  若 offset/skew/J 显著，请引用《Core.Sea》第3章并在清单中写入 u(alpha_i)、u(beta_i)。

VII. 模型检验与残差诊断

• Quadrat 检验（Poisson/IPP）
  将 W 划为 {Q_k}，检验 N(Q_k) 是否与 Poisson( ∫_{Q_k} lambda_hat dV ) 一致。
• 二阶检验
  计算 K_ripley/K_inhom 与理论基线比较（仿真包络或置换带）。
• 条件强度残差（Hawkes）
  时间重标：u_i = ( ∫_{t_{i-1}}^{t_i} ∫_W lambda_hat(x,t) dV dt )，若模型正确则 {1 - exp(-u_i)} 近似 Uniform(0,1)。
• 事件删薄与超位
  对 IPP 按 p(x) = min( 1 , c / lambda_hat(x) ) 删薄，检查剩余是否接近 HPP。
• 置信/包络
  通过自助/参数仿真生成 K/g/Quadrat 的包络，报告次数与随机种子。

VIII. 工程化流程 Mx-94（事件流 → 强度图）

• 输入与对齐
  读取 {x_i, t_i, meta}；执行时间对齐（tau_mono 基线，保留 ts），必要时引用 T_arr 两口径并记录 delta_form。
• 窗口与网格
  确定空间窗口 W 与（可选）时窗 T；构造评估网格与 mask。
• 带宽与核
  选择 K_d、K_t 与 H_s、h_t（可用第4章 Mx-93 规则或交叉验证）；记录 CV/LCV。
• 边界修正
  计算 c_edge(x)（translation/iso/border），发布修正口径与参数。
• 估计与归一
  计算 lambda_hat(x) 或 lambda_hat(x,t)；校验单位与 Z = ( ∫_W lambda_hat dV ) 对 N(W) 的一致性。
• 二阶统计
  计算 K_ripley/K_inhom、g(r)，输出诊断图与包络。
• 模型拟合（可选）
  对 Hawkes：设 H(u,τ) 族，估计 mu, κ, σ, β，并计算 eta 与残差。
• 发布与清单
  写入 intensity.tiff|parquet（或矢量），输出 manifest 与不确定度字段。

IX. 接口契约与返回形制（对齐 I90 3）

1. intensity_estimate(points:any, kernel:str, h:float, domain:any) -> IntensRef
   • 输入：points = {(x_i,t_i?)}、kernel={"gaussian","epanechnikov",...}、h or H_s & h_t、domain={W,(T)}。
   • 返回：{"lambda":"grid|tensor", "H_s":..., "h_t":..., "c_edge":"method+params", "support":"mask", "units":"count/area(/time)", "qc":{"Z":..., "N_obs":...}}。
2. hawkes_fit(events:any, kernel:str="exp", opts:dict|None=None) -> HawkesRef
   返回：{"mu":..., "kappa":..., "sigma":..., "beta":..., "eta":..., "diagnostics":{"rescale_pvals":..., "AIC":..., "BIC":...}}。

X. 数据清单与质量阈值（最小集合）

• intensity = {"type":"spatial|spatiotemporal", "kernel":{"space":"gaussian|...","time":"exp|box|..."},"bandwidth":{"H_s":...,"h_t":...}, "edge":{"method":"translation|iso|border","params":...}, "grid":{"shape":...,"spacing":...,"crs":...}, "units":"count/area(/time)"}
• qc = {"Z_vs_N":{"Z":∫ lambda_hat dV,"N_obs":N(W),"rel_err":...}, "K_test":{"method":"inhom","envelope_p":...}, "residuals":{"transform":"time-rescaling","KS_p":...}, "sync":{"tau_mono":...,"ts_ref":"UTC","delta_form":...}}

XI. 跨卷与跨章一致性

• 与第4章核口径共享 K(u)、H_s/h_t 选择与 CV/LCV 策略；与《Core.Sea》第3章时间基准与第8章 T_arr 对齐。
• 统计术语与不确定度报告沿用本卷第3/10章：I_F、CRLB、u(x)、U = k * u_c。
• 单位与坐标参照《Core.Metrology》；数据管线与入湖参照《Core.Sea》第7章。

XII. 本章要点回顾

• 以计数测度与强度为核心，固化 S92-7、S92-23、S92-24…S92-27，给出空间与时空核强度估计、边界修正与二阶统计的统一口径。
• 提供了工程流程 Mx-94 与接口 I90 3 的落地形制与清单字段，确保从事件流到强度图的可追溯、可审计与跨卷一致性。