09-EFT.WP.Core.Density v1.0 | 第6章 谱密度与时频

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第6章 谱密度与时频

I. 目标与范围

• 建立 S_xx(f)（功率谱密度，PSD）与时频分析（STFT/多分辨）的统一口径，保证能量一致性与单位自洽：unit( S_xx ) = unit(x)^2 / Hz。
• 固化窗口归一与带宽指标 U_w、ENBW_Hz，给出单/双侧谱的换算规则、频带功率计算与不确定度报告方法。
• 给出工程流程 Mx-95 与接口约定 I90 6 的输入/输出形制，并与《Core.Sea》第5章、附录C（窗函数库）对齐。

II. 记号与口径

1. 序列与采样：x[n]，n=0..N-1；采样率 fs；分段长度 L；重叠步长 H；段数 M。
2. DFT 频点：f_k = k * ( fs / L )，k=0..L-1；单侧频点 k=0..L/2（L 偶数）。
3. 窗函数与归一：w[n]，窗口功率 U_w 与等效噪声带宽 ENBW_Hz：
   • S92-9 : U_w = ( 1 / L ) * ∑_{n=0}^{L-1} w[n]^2。
   • S92-8 : ENBW_Hz = fs * ( ∑ w[n]^2 ) / ( ∑ w[n] )^2。
4. 频率分辨率：Delta_f = fs / L。报告时注明单侧/双侧口径与 Delta_f。

III. PSD 定义、单/双侧换算与能量一致性

1. 加窗 DFT：X_w[k] = ∑_{n=0}^{L-1} x[n] * w[n] * exp( -j * 2 * pi * k * n / L )。
2. 周期图估计（单段）：
   S92-30 : P_xx[k] = ( 1 / ( fs * L * U_w ) ) * | X_w[k] |^2（双侧口径）。
3. Welch 估计（分段平均，重叠可选）：
   • 对第 m 段 x_m[n] = x[n+mH]，X_m[k] = ∑ x_m[n] * w[n] * exp( -j * 2 * pi * k * n / L )；
   • S92-31 : S_xx[k] = ( 1 / M ) * ∑_{m=0}^{M-1} ( 1 / ( fs * L * U_w ) ) * | X_m[k] |^2（双侧口径）。
4. 单/双侧换算（实信号约定）：
   • S1_xx[0] = S2_xx[0]，若 L 偶数则 S1_xx[L/2] = S2_xx[L/2]；
   • S1_xx[k] = 2 * S2_xx[k]，k = 1..(L/2 - 1)。
5. 能量一致性与方差核对（零均值假设）：
   连续口径：S92-34 : var(x) ≈ ( ∫_0^{fs/2} S1_xx(f) df )；离散实现：var(x) ≈ ∑_{k=0}^{L/2} S1_xx[k] * Delta_f。
6. 频带功率与幅度谱密度：
   S92-36 : P_band(B) = ( ∑_{k∈B} S_xx[k] ) * Delta_f；ASD(f) = sqrt( S_xx(f) )。

IV. 窗口归一、泄漏与刻面误差

• 窗口归一以 U_w、ENBW_Hz 为核心指标：发布 S_xx 时必须同步给出两者。
• 泄漏控制：选择较大主瓣/较低旁瓣折衷的窗口（如 hann、blackman）；连续谱下的刻面误差（scalloping）由 ENBW_Hz 与主瓣宽度共同决定。
• 当 fs < 2 * f_max 时必须在元数据中声明 H(f) 的抗混叠特性与残余混叠估计（见《Core.Sea》第4章）。

V. 时频分析：STFT 与谱图

1. STFT：
   • S92-32 : STFT_x(m,k) = ∑_{n=0}^{L-1} x[n+mH] * w[n] * exp( -j * 2 * pi * k * n / L )。
   • 时间标记 t_m = ( m * H ) / fs，频率 f_k = k * ( fs / L )。
2. 谱图（能量归一到 PSD）：
   S92-33 : S_xx(m,k) = ( 1 / ( fs * L * U_w ) ) * | STFT_x(m,k) |^2（双侧口径；单侧按上节规则换算）。
3. 能量守恒（帧平均意义下）：∑_{m,k} S_xx(m,k) * Delta_f * ( H / fs ) ≈ ( 1 / N ) * ∑ x[n]^2（需注明窗口与重叠造成的冗余修正）。

VI. 互谱、相干与相位

• 互谱（Welch 口径）：
  S92-37 : S_xy[k] = ( 1 / M ) * ∑_{m} ( 1 / ( fs * L * U_w ) ) * X_m[k] * conj( Y_m[k] )。
• 幅值相干：
  S92-38 : Coh_xy[k] = | S_xy[k] |^2 / ( S_xx[k] * S_yy[k] )，范围 [0,1]。
• 相位与群时延：相位 angle( S_xy[k] ) 与群时延 tau_g(f) = - d( arg H(f) ) / d( 2 * pi * f )（调理链参照《Core.Sea》第4章）。

VII. 不确定度与自由度（概略）

1. Welch 估计的有效自由度 nu 与段数、窗口与重叠相关。报告建议：
   • nu ≈ 2 * M_eff，其中 M_eff ≤ M；M_eff 可由段间相关估计得到，或由实现库以窗口自相关近似。
   • 置信区间（对数正态近似）：10*log10( S_xx ) ± z * sqrt( var_hat )，并在清单中给出 nu 与近似口径。
2. 交叉谱相干的偏差校正需声明方法（随机置换/相位随机化等）。

VIII. 工程化流程 Mx-95（谱密度 → 能量核对器）

• 预处理
  去均值/去趋势；必要时带通或抗混叠滤波（记录 H(f) 与群时延补偿）。
• 分段与窗口
  选择 L、H、w[n]；计算并记录 U_w、ENBW_Hz、Delta_f。
• 估计与口径
  计算 S_xx[k]（Welch）；注明单/双侧与 DC/Nyquist 处理；如做相干，同步计算 S_xy[k]、Coh_xy[k]。
• 能量核对
  计算 sigma_hat^2 = ∑ S1_xx[k] * Delta_f，与时域方差对比，输出 rel_err = | sigma_hat^2 - var(x) | / var(x)。
• 时频扩展（可选）
  计算 S_xx(m,k)；对感兴趣频带输出 P_band(t) = ∑_{k∈B} S_xx(m,k) * Delta_f。
• 报告与清单
  发布 spec.parquet|nc，并写入 fs,L,H,window,Delta_f,U_w,ENBW_Hz,nu,side,units,rel_err。
• 对齐与到达时（如涉及多源）
  时间轴以 tau_mono 为基线，发布外部时间戳 ts；若用路径口径对齐，记录 T_arr 两口径与 delta_form。

IX. 接口契约（对齐 I90 6）

• spectral_density(sig:any, method:str="welch", window:str="hann") -> SpecRef
  期望字段：{"S_xx":"array|tensor", "fs":..., "L":..., "H":..., "window":"...", "U_w":..., "ENBW_Hz":..., "Delta_f":..., "side":"one|two", "nu":..., "qc":{"rel_err":...}}。
• spec_to_energy(spec:SpecRef, band:any) -> float
  输入 band = {"f_lo":..., "f_hi":...} 或索引集合；返回 P_band 并保留单位。

X. 实施细则与建议

• 窗口选择：
  垂询泄漏优先：blackman；综合折衷：hann；幅值精度优先（幅顶补偿）：flattop（注意 ENBW_Hz 较大）。
• 段长选择：
  L 决定 Delta_f；当需解析窄带成分时，优先加大 L 而非过度平滑。
• 重叠率：
  常用 50%–75%；必须在清单记录 H/L。重叠增大并不线性提升自由度，需报告 nu 或 M_eff。
• 单位自洽：
  发布 S_xx 时，显式给出 unit(x) 与 unit( S_xx ) = unit(x)^2/Hz；ASD 的单位为 unit(x)/sqrt(Hz)。

XI. 跨卷与跨章一致性

• 窗函数与 ENBW_Hz、U_w 口径与《Core.Sea》附录C一致；到达时 T_arr 与路径记号 gamma(ell)、d ell、c_ref、n_eff 见《Core.Sea》第8章；同步与抖动指标见《Core.Sea》第3章。
• 本章 S92-8、S92-9、S92-30..S92-38 的编号纳入全卷 S92-* 体系；流程 Mx-95 与接口 I90 6 为跨卷复用锚点。

XII. 本章要点回顾

• 以 U_w、ENBW_Hz 统一窗口归一；以 Welch 口径给出稳定的 S_xx；单/双侧换算与 DC/Nyquist 处理显式。
• STFT 谱图采用 PSD 归一，与时间-频率能量守恒保持一致；互谱与相干用于跨通道依赖诊断。
• 工程流程 Mx-95 确保“频谱 → 能量”可核对、可追溯；接口 I90 6 保证实现绑定与跨系统一致性。