09-EFT.WP.Core.Density v1.0 | 第7章 离散化与直方图

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第7章 离散化与直方图

I. 目标与范围

• 统一直方图与体素化在本卷的记号、归一与守恒口径，区分概率密度 p(x) 与物理密度 rho(x) 的离散化表示。
• 给出等宽与变宽 bin、加权样本、1D/2D/3D 情形的密度估计式，建立守恒校核与再取样（细化/粗化）流程 Mx-96。
• 与《Core.Sea》第2/4/5章在采样、抗混叠 H(f) 与 S_xx(f) 口径一致；变量变换含雅可比的规则与本卷第9章一致。

II. 记号与约定

• 数据与样本：样本数 N，样本 x_i，权重 w_i ≥ 0（若无则省略，默认 w_i = 1）。
• 边界与 bin：边界数组 edges = {e_0, ..., e_K}，第 j 个 bin 为区间 [e_j, e_{j+1})（最后一 bin 可闭区间）；宽度 Delta_j = e_{j+1} - e_j；等宽情形写作 Delta。
• 计数与体素：计数 count_j；多维体素体积 V_i；物理密度网格值 rho_i。
• 缺失掩膜：m_i ∈ {0,1}；仅计入 m_i = 1 的样本与质量。

III. 一维直方图密度估计（概率口径）

• 等宽直方图的密度估计：
  S92-10 : p_hat(x ∈ bin j) = count_j / ( N * Delta )。
• 变宽直方图的密度估计：
  S92-18 : p_hat(x ∈ bin j) = count_j / ( N * Delta_j )。
• 加权样本（权重和为 W = ∑ w_i）的变宽估计：
  S92-19 : p_hat(x ∈ bin j) = ( ∑_{i ∈ bin j} w_i ) / ( W * Delta_j )。
• 归一化检查：
  ∑_{j=0}^{K-1} p_hat_j * Delta_j = 1，否则视为实现错误或边界外溢未处理。
• 建议输出元数据：{K, edges, Delta_j 或 Delta, weighted:bool, W, underflow, overflow}。

IV. 多维直方图与体素化（概率口径与物理口径）

• 2D 概率密度直方图（等宽示例）：
  S92-20 : p_hat[j,k] = count_{j,k} / ( N * Delta_x * Delta_y )。
• 物理密度体素守恒：
  S92-11 : mass_preserve = ( ∑_i rho_i * V_i )，发布时给出目标 M_ref = ( ∫ rho dV ) 或基线质量以便核对。
• 单元质量与分片常数重建：
  S92-25 : M_c = ( ∫_{cell c} rho(x) dV )；S92-26 : rho_tilde(x ∈ cell c) = M_c / V_c。
• 变换到曲线坐标（离散版需含雅可比）：
  rho_u(u) = rho_x( x(u) ) * | det( ∂x/∂u ) |；网格体积 V_i 按目标坐标系计算。

V. bin 选择规则与推荐

• Freedman–Diaconis（稳健、抗尾部）：
  S92-22 : Delta_FD = 2 * IQR_x / N^(1/3)，IQR_x = Q3 - Q1。
• Scott（高斯最优均方误差）：
  S92-23 : Delta_Scott = 3.5 * sigma_x / N^(1/3)。
• Sturges（规则化 bin 数）：
  S92-24 : K_Sturges = ceil( log2(N) + 1 )。
• 选择建议：
  样本量中等且分布未知优先 Delta_FD；近似高斯优先 Delta_Scott；小样本可参考 K_Sturges 起步并以 CV(h) 或似然准则微调。

VI. 边界处理、溢出与缺失

• 边界约定：默认 [e_j, e_{j+1}) 左闭右开；最后一 bin 可设为闭区间以容纳最大值。
• 溢出：记录 underflow = count( x < e_0 )、overflow = count( x ≥ e_K )，形成单独桶或在报告中剔除并注明。
• 缺失：m_i = 0 的样本不计入 N 与 W；报告 missing_rate = 1 - ( ∑ m_i / N_raw )。
• 去趋势与尺度：必要时对 x 做 z = ( x - mu_x ) / sigma_x（见 S92-14，第9章），但发布时应回写到原单位以避免量纲混淆。

VII. 误差、偏差与不确定度（直方图口径）

• 领先阶 binning 偏差（1D、平滑 p(x)，等宽）：
  S92-27 : bias(x) ≈ ( Delta^2 / 24 ) * p''(x)。
• 单 bin 方差近似（伯努利计数、变宽）：
  S92-28 : var( p_hat_j ) ≈ p_j * ( 1 - p_j ) / ( N * Delta_j^2 )，其中 p_j = ( ∫_{bin j} p(x) dx )。
• 加权情形：以 W 代替 N 并替换 p_j 为权重归一概率质量，说明近似独立的假设（见全书“质量闭环”条款）。

VIII. 守恒与再取样（细化/粗化）

• 细化（coarse→fine）：单元质量不变，将 M_c 按体积或重叠比例分配到子单元 c'，保持 ∑ M_{c'} = M_c。
• 粗化（fine→coarse）：将细网格 rho_i * V_i 汇总到 coarse 单元并再除以 V_c 得到 rho_coarse，保持 S92-11。
• 跨网格变换（含坐标变换）：先计算重叠体积或使用保守重映射，确保 | M_target - M_source | / M_source ≤ tol（建议 tol ≤ 1e-6）。
• 质量核对：报告 mass_rel_err = | ( ∑ rho_i V_i ) - M_ref | / M_ref；若 > tol 必标注异常并回退。

IX. 工程流程 Mx-96（网格细化/粗化保持总量）

• 输入
  mode ∈ {"hist-pdf","grid-phys"}；edges 或目标网格；m_i 与权重 w_i；参考质量 M_ref（物理口径）。
• 预处理
  剔除 m_i = 0；处理溢出样本；可选标准化与去趋势（发布时回写单位）。
• bin/网格选择
  依据 Delta_FD/Delta_Scott/K_Sturges 或外部策略确定 edges；计算 Delta_j 与元数据。
• 统计与估计
  概率口径：p_hat_j 按 S92-18/19；物理口径：计算 rho_i 与 M_c/M_ref。
• 守恒校核
  概率口径：∑ p_hat_j * Delta_j = 1；物理口径：校核 S92-11，输出 mass_rel_err。
• 再取样（可选）
  细化/粗化到目标网格，采用保守重映射，重复守恒校核。
• 报告与落盘
  输出 hist.parquet|nc，字段建议：edges, centers, Delta_j, counts, p_hat, weighted, W, underflow, overflow, mass_rel_err, qc{}。
• 追溯与跨卷对齐
  记录 ts、tau_mono、fmt、chan；如时间轴经 T_arr 对齐，附 delta_form（见《Core.Sea》第8章）。

X. 接口契约（对齐 I90 4）

1. bin_edges(domain:any, rule:str="fd") -> array
   rule ∈ {"fd","scott","sturges","fixed"}；返回 edges 与 Delta_j（可变宽则数组）。
2. hist_density(data:any, edges:any, normalize:bool=True) -> PdfRef
   • 输入可含 weights、mask；输出建议字段：
   • {"edges":..., "centers":..., "counts":..., "p_hat":..., "Delta":..., "weighted":..., "underflow":..., "overflow":..., "qc":{"sum_pDelta":..., "mass_rel_err":...}}。

XI. 跨卷与跨章一致性

• 采样与抗混叠约束见《Core.Sea》第2/4章；直方图视为一种核密度（矩形核）估计，与第4章 kde_h(x) 的带宽 h 对应 Delta。
• 变量变换与归一化参见本卷第9章 S92-14/15；不确定度传播对接第10章。
• 若对直方图频谱化，应使用第6章 S92-30..S92-38 的 PSD 规范，并同步发布 ENBW_Hz 与 U_w。

XII. 发布清单最小必填（建议）

XIII. 本章要点回顾

• 直方图/体素化以 S92-10/18/19/20 为密度估计核心式，以 S92-11 为质量守恒约束。
• bin 选择以 S92-22/23/24 为规则基线，发布时必须给出边界、宽度与归一性检查。
• 流程 Mx-96 保证细化/粗化均守恒、可追溯，并与接口 I90 4 无缝对接。