09-EFT.WP.Core.Density v1.0 | 第9章 归一化与校准

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第9章 归一化与校准

I. 目标与范围

• 建立密度类对象在跨单位、跨设备与跨域场景下的归一化与校准规范，覆盖标量/向量、单变量/多变量、时空与频域情形。
• 统一使用 S92-14、S92-15 作为基础变换与密度守恒锚点，并给出到达时 T_arr 的两口径校准与一致性度量 delta_form。
• 提供流程 Mx-98（多源密度对齐管线），与接口 I90 5/6/8 对齐；与第2章 S92-2/11 守恒、 第6章 S92-8/9 频域度量、 第8章正则与先验保持一致。

II. 记号与对象

• 数据与域：观测 x 或向量 x∈R^d，目标域 y，体积元 dV，坐标元 dx；概率密度 p(·)，物理密度 rho(·)。
• 标准统计量：mu_x、sigma_x、median(x)、MAD(x)、F_x（cdf），Q_x(u)（分位函数）。
• 映射与雅可比：y = g(x)，J(x) = ∂x/∂y，|det(J)|。
• 时间对齐：路径 gamma(ell)、测度 d ell、参考速度 c_ref、有效折射率 n_eff(x,t)、到达时 T_arr。

III. 基础归一化（标量单变量）

1. 标准化（z-score）：
   S92-14 : z = ( x - mu_x ) / sigma_x。用于量纲去除与数值稳定；回写 x = sigma_x * z + mu_x。
2. 仪器线性校准与线性变换：
   • S92-59 : y = a * x + b，逆变换 x = ( y - b ) / a。
   • 概率密度与物理密度在此变换下的一致式：p_Y(y) = ( 1 / |a| ) * p_X( ( y - b ) / a )，rho_Y(y) = ( 1 / |a| ) * rho_X( ( y - b ) / a )。
3. 鲁棒标准化（MAD）：
   S92-60 : z_mad = ( x - median(x) ) / ( 1.4826 * MAD(x) )。

IV. 变量变换与密度守恒（坐标口径）

1. 一般可微单调映射：
   • S92-15 : p_Y(y) = p_X( x(y) ) * | det( ∂x/∂y ) |。
   • 物理密度同形：rho_Y(y) = rho_X( x(y) ) * | det( ∂x/∂y ) |，以保证 ( ∫_A rho_X dV_x ) = ( ∫_{g(A)} rho_Y dV_y )。
2. 分位匹配（非参数单调对齐）：
   S92-61 : y = Q_ref( F_src(x) ) = F_ref^{-1}( F_src(x) )，伴随 p_Y(y) = p_X(x) * | dx/dy |。
3. 多变量白化与回写：
   S92-62 : y = W * ( x - mu ) , W Σ_x W^T = I；p_Y(y) = p_X(x) * | det( W^{-1} ) |；回写 x = W^{-1} y + mu。

V. 单位与量纲校准（计量口径）

• 物理单位换算保持总量不变：
  S92-63 : M = ( ∫ rho dV ) = ( ∫ rho' dV' )。单位变换等价于尺度因子与坐标变换的组合，需同时更新 rho 与 dV 以满足 S92-63。
• 频域归一化一致性检查（与第6章对齐）：
  S92-67 : var(x) ≈ ( ∫ S_xx(f) df )（报告 ENBW_Hz 与 U_w，见 S92-8/9）。

VI. 到达时校准（两口径并行发布）

• 常量外提口径（路径与测度显式）：
  T_arr^A = ( 1 / c_ref ) * ( ∫_{gamma(ell)} n_eff d ell )。
• 一般口径：
  T_arr^B = ( ∫_{gamma(ell)} ( n_eff / c_ref ) d ell )。
• 一致性差异度量（必须记录）：
  S92-68 : delta_form = | T_arr^A - T_arr^B | = | ( 1 / c_ref ) * ( ∫ n_eff d ell ) - ( ∫ ( n_eff / c_ref ) d ell ) |。
• 时间轴映射：t' = t - T_arr；使用 I90 8 : enforce_arrival_time_convention(trace) 固化元数据。

VII. 校准模型与估计

• 加权最小二乘估计线性增益与偏置：
  S92-65 : a_hat = cov_w(x,y) / var_w(x) , b_hat = mean_w(y) - a_hat * mean_w(x)。
• 单调非参校准（分段线性/样条，保持守恒）：
  S92-66 : g* = argmin_g ∑_i w_i * ( g(x_i) - y_i )^2 + lambda * TV(g) , s.t. g' ≥ 0。
• 先验与正则（与第8章对齐）：对不适定校准叠加 R_L2/R_L1/TV 并以 Mx-97 选型。

VIII. 网格与采样归一（离散口径）

• 直方图密度与守恒（与第7章对齐）：
  S92-10 : p_hat = count / ( N * Delta )；S92-11 : mass_preserve = ( ∑_i rho_i * V_i )。
• 重采样/重网格时保持 S92-11：在插值或体素聚合后验证总量变化不超过门限 tol_mass。

IX. 多源对齐流程 Mx-98（归一化与校准管线）

• 数据审计
  读取单位 unit(x) 与维度 dim(x)，构建基准域与基准测度；若跨时间域，先执行到达时预对齐 t' = t - T_arr 并记录 delta_form。
• 量纲归一
  对标量或每通道执行 S92-14 或 S92-60，缓存 (mu_x, sigma_x) 或 (median, MAD) 以便回写。
• 坐标变换
  根据需求选择 S92-59 线性映射、S92-61 分位匹配、或多变量白化 S92-62；同步应用 S92-15 更新 p/rho。
• 单位校准
  应用单位尺度与坐标联合变换，显式验证 S92-63 与 S92-11；频域任务同时核对 S92-67。
• 模型估计
  若需监督标定，估计 (a,b) 用 S92-65，或求解 S92-66 的单调校准；对不适定情形与第8章联合求解。
• 质检与回写
  计算残差、cdf 偏差 ||F_src - F_ref||_∞、质量相对误差、能量一致性差；通过后回写到物理单位与原坐标。
• 产出与追溯
  落盘 alpha/path/units/Jacobian 与 delta_form、ENBW_Hz/U_w、网格与测度元数据；绑定 I90 5/6/8 的调用指纹。

X. 报告规范（最小必报集）

• 变换族与次序：{S92-14/59/61/62} 实际采用者与顺序。
• 守恒与一致性：S92-11 质量偏差、S92-63 单位一致性、S92-67 能量核对结果。
• 到达时：T_arr^A/T_arr^B 与 S92-68 的 delta_form。
• 不确定度：关键标定参数的协方差或置信区间；必要时给出 I90 7 的 I_F/CRLB。

XI. 跨章与接口对齐

• 与第2章：任何校准后均需复核 S92-2 的总量与边界条件；源汇项不应被归一化吞没。
• 与第6章：频域归一与窗函数度量采用 S92-8/9；能量一致性用 S92-67。
• 与第7章：离散化/重采样后的 S92-11 必通过。
• 与第8章：若归一化嵌入目标函数，建议联合 S92-41 优化并用 Mx-97 选参。
• 与接口：I90 5 : change_of_variables / renormalize，I90 6 : spectral_density/spec_to_energy，I90 8 : enforce_arrival_time_convention。

XII. 关键公式索引