09-EFT.WP.Core.Density v1.0 | 第10章 不确定度与信息界

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第10章 不确定度与信息界

I. 目标与范围

• 定义与统一 u(x)、u_c、U 的计量学口径，建立由密度模型到参数与函数值不确定度的传播规则（Delta/蒙特卡洛），并给出 Fisher 信息与 CRLB 的可执行表述。
• 与本卷 S92-14/15（变换与守恒）、S92-8/9（频域度量）、S92-10/11（离散守恒）、S92-41（正则化目标）联动；实现接口对齐 I90 7 : fisher_information / crlb。

II. 记号与对象

• 参数向量 theta∈R^p，极大似然 theta_hat，对数似然 ell(theta)，得分 s(theta) = ∂_theta ell(theta)。
• 协方差与不确定度：cov(z)、u(z)（标准不确定度）、u_c（合成标准不确定度）、U = k * u_c（扩展不确定度）。
• 映射与雅可比：phi = h(theta)，J_{theta→phi} = ∂theta/∂phi；函数量 g(theta) 的梯度 G = ∂g/∂theta、Hessian H_g。

III. 计量学不确定度体系

• 合成标准不确定度（线性近似，含相关项）：
  S92-72 : u_c^2( y ) = G * cov(theta_hat) * G^T，其中 y = g(theta_hat)，G = ∂g/∂theta |_{theta_hat}。
• 扩展不确定度（置信覆盖因子 k）：
  S92-73 : U = k * u_c（常用 k≈2 对应约 95% 覆盖）。
• 总体方差分解：
  S92-74 : var(X) = E[ var( X | Z ) ] + var( E[ X | Z ] )。

IV. Fisher 信息：定义、性质与变换

• 定义（期望得分平方形式）：
  S92-16 : I_F(theta) = E[ s(theta)^T s(theta) ] = E[ ( ∂_theta log p(X | theta) )^T ( ∂_theta log p(X | theta) ) ]。
• 等价表述（负期望 Hessian）：
  S92-70 : I_F(theta) = - E[ ∂^2_{theta,theta} ell(theta) ]（正则条件下成立）。
• 独立同分布样本的信息可加性：
  S92-71 : I_F^{(N)}(theta) = N * I_F^{(1)}(theta)。
• 重新参数化协变性：
  S92-85 : I_F(phi) = J_{theta→phi}^T * I_F(theta) * J_{theta→phi}（phi = h(theta) 可逆）。

V. Cramer–Rao 类下界（CRLB）

• 无偏估计的矩阵界：
  S92-17 : cov( theta_hat ) ≥ I_F^{-1}(theta)（Löwner 偏序意义下的半正定不等式）。
• 带偏估计的均方误差界：
  S92-86 : MSE( theta_hat ) ≥ ( I + ∂b/∂theta ) * I_F^{-1}(theta) * ( I + ∂b/∂theta )^T + b b^T，其中 b = E[theta_hat] - theta。
• 可达性与效率：正则族下 theta_hat_MLE 渐近正态且渐近有效：sqrt(N) ( theta_hat - theta ) → N( 0 , I_F^{-1} )。

VI. 不确定度传播：Delta 与蒙特卡洛

• 一阶 Delta 法的方差传播见 S92-72；二阶偏差修正：
  S92-80 : bias( g(theta_hat) ) ≈ ( 1 / 2 ) * tr( H_g( theta ) * cov( theta_hat ) )。
• 组合量的协方差（多输出 y = g(theta)）：用雅可比 G 的行按输出排列，套用 G cov G^T。
• 蒙特卡洛评估：从 N( theta_hat , cov( theta_hat ) ) 或后验样本中抽取 {theta^(m)}，计算 {y^(m) = g(theta^(m))}，以样本方差/分位数形成区间；记录收敛准则与随机种子。

VII. 模型特例：密度/强度/谱的不确定度

• 非齐次 Poisson 过程强度参数的 Fisher 信息（空间域 A，测度 dV）：
  S92-78 : I_F( theta ) = ( ∫_A ( 1 / lambda(x;theta) ) * ( ∂_theta lambda ) ( ∂_theta lambda )^T dV )。
• 计数过程一般近似（时间域 [0,T]）：
  S92-79 : I_F( theta ) ≈ ( ∫_0^T E[ ( ∂_theta lambda(t;theta) / lambda(t;theta) ) ( ∂_theta lambda(t;theta) / lambda(t;theta) )^T ] dt )（Hawkes 等可作均场近似）。
• KDE 点估计的渐近方差（核 K，R(K) = ( ∫ K(u)^2 du )）：
  S92-81 : var( kde_h(x) ) ≈ ( 1 / ( N * h ) ) * R(K) * p(x)（与第4章带宽权衡一致）。
• Welch 谱密度估计的有效自由度与相对方差（K 段平均，窗 w[n]）：
  S92-75 : nu ≈ 2 * K * c_4 , c_4 = ( ( ∑ w[n]^2 )^2 ) / ( ∑ w[n]^4 )；
  S92-76 : var( S_hat(f) ) / S_xx(f)^2 ≈ 1 / nu；
  S92-77 : var( log S_hat(f) ) ≈ 2 / nu（自然对数刻度）。
  需与第6章 S92-8/9 的 ENBW_Hz、U_w 一并报告。

VIII. 区间与域：似然与贝叶斯近似

• 似然比置信域（Wilks 渐近）：
  S92-82 : C_{1-α} = { theta : 2 ( ell( theta_hat ) - ell( theta ) ) ≤ chi2_{p, 1-α} }。
• 拉普拉斯近似的后验协方差：
  S92-83 : p( theta | data ) ≈ N( theta_hat , I_F^{-1}( theta_hat ) )（弱先验）；强先验时可用 I_post ≈ I_F + I_prior。
• Jeffreys 先验：
  S92-84 : pi_J( theta ) ∝ sqrt( det( I_F( theta ) ) )（与参数化无关）。

IX. 流程 Mx-99：密度估计 → 不确定度 → 信息界

• 建模与校准
  依据第3/4/5/6/9章得到 p(·) 或 lambda(·)、S_xx(f)；同步完成单位与到达时对齐，保留 delta_form。
• 估计与协方差
  以 I90 2/3/6 获得估计量与残差；用数值 Hessian 或 I90 7 : fisher_information 计算 I_F，令 cov( theta_hat ) ≈ I_F^{-1}。
• 传播到关注量
  对任意 y = g(theta) 应用 S92-72 与（必要时）S92-80；频谱任务按 S92-75/76/77 生成频点置信带。
• 界与区间
  报告 S92-17/86 的界，给出 S92-82 的似然比域或拉普拉斯近似区间 S92-83。
• 质检与出卷
  复核 S92-74 的方差分解闭合，核对守恒 S92-11/63 与能量一致性；产出 U = k u_c 并写入元数据。

X. 报告规范（最小必报集）

• 模型与数据：样本规模、加权与独立性假设；窗与分段信息（若为谱）。
• Fisher 信息：I_F(theta_hat)、计算口径（得分/负 Hessian）、是否用 I90 7。
• 协方差与区间：cov(theta_hat)、关键函数量的 u_c/U 与覆盖因子 k；似然比域或后验近似域。
• 传播依据：给出 g(theta)、梯度 G 的计算口径；若使用蒙特卡洛，报告重复次数与收敛准则。
• 频谱专属：nu、var(S_hat)/S^2、ENBW_Hz、U_w。
• 互检：守恒与能量一致性、delta_form。

XI. 跨章与接口对齐

• 与第2章：源汇与边界不确定度通过 S92-72/74 传播到总量 M。
• 与第6章：nu/ENBW_Hz/U_w 的不确定度口径严格一致。
• 与第8章：正则化参数的不确定度可用 I_F 的观测 Hessian近似；选参流程见 Mx-97。
• 与第9章：变量变换后 I_F 按 S92-85 映射；到达时差异记入 delta_form。
• 与接口：I90 7 : fisher_information / crlb 为首选实现绑定；其余函数见 I90 2/3/6/8。

XII. 关键公式索引