09-EFT.WP.Core.Density v1.0 | 附录A 符号与单位对照

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附录A 符号与单位对照

I. 使用约定与阅读提示

• 单位体系采用 SI；量纲符号用 M（mass）、L（length）、T（time）、I（electric current）、Theta（thermodynamic temperature）、N（amount of substance）、J（luminous intensity）。
• 若变量维度为 d 维，则体元 dV 的单位为 m^d，相应密度单位随 d 自适应（例如三维 m^3、二维 m^2、一维 m）。
• 概率密度与物理密度严格区分：p(x) 与测度 dx 搭配后无量纲；物理密度 rho(x,t) 搭配 dV 后产生可测总量。
• 频谱采用 X(f) = ( ∫ x(t) * exp( -j 2π f t ) dt ) 约定；S_xx(f) 为单侧 PSD，需配报 ENBW_Hz 与 U_w。

II. 基本量与测度

• Omega : sample space ; unit=1 ; dim=1
• X : random variable ; unit=unit(x) ; dim=dim(x)
• mu : base measure ; unit=依域而定 ; dim=依域而定
• dx / dS / dV : line/area/volume element ; unit=m / m^2 / m^d ; dim=L / L^2 / L^d
• d ell : path element ; unit=m ; dim=L
• gamma(ell) : path in domain ; unit=1 ; dim=1
• L_gamma = ( ∫ 1 d ell ) : path length ; unit=m ; dim=L

III. 物理密度与流

• rho(x,t) : generic density ; unit=quantity per m^d ; dim=Q L^-d（Q 为相应物理量的量纲）
• rho_m(x,t) : mass density ; unit=kg m^-d（常用 d=3→kg m^-3） ; dim=M L^-d
• rho_q(x,t) : charge density ; unit=C m^-d ; dim=I T L^-d
• n(x,t) : number density ; unit=1 m^-d ; dim=L^-d
• J(x,t) : flux ; unit=unit(rho) * m s^-1 ; dim=dim(rho) L T^-1（常见数通量 1 m^-2 s^-1）
• s(x,t) : source/sink term in continuity ; unit=unit(rho) s^-1 ; dim=dim(rho) T^-1
• 连续性方程 ∂_t rho + ∇·J = s : 见第2章 S92-1；各项单位一致为 unit(rho) s^-1

IV. 概率与统计

• p(x) : probability density function ; unit=unit(x)^-d ; dim=dim(x)^-d
• F(x) : cumulative distribution function ; unit=1 ; dim=1
• P(A) : probability ; unit=1 ; dim=1
• theta : parameter ; unit=依模型 ; dim=依模型
• L(theta) : likelihood ; unit=1 ; dim=1
• ell(theta) : log-likelihood ; unit=1 ; dim=1
• I_F(theta) : Fisher information ; unit=unit(theta)^-2 ; dim=dim(theta)^-2
• CRLB : Cramer-Rao lower bound（参数协方差下界）; unit=unit(theta)^2 ; dim=dim(theta)^2
• cov(z) : covariance ; unit=unit(z)^2 ; dim=dim(z)^2

V. 估计与核（KDE/平滑）

• K(u) : kernel（∫ K(u) du = 1）; unit=1 ; dim=1
• h : bandwidth ; unit=unit(x) ; dim=dim(x)
• kde_h(x) : kernel density estimator ; unit=unit(x)^-d ; dim=dim(x)^-d
• R(K) = ( ∫ K(u)^2 du ) : kernel energy ; unit=1 ; dim=1
• CV(h) : cross-validation score ; unit=1 ; dim=1
• MISE(h) : mean integrated squared error ; unit=unit(p)^2 * unit(x)^d ; dim=dim(p)^2 * dim(x)^d

VI. 空间与时空强度（点过程）

1. lambda(x) : spatial intensity ; unit=1 m^-d ; dim=L^-d
2. lambda(x,t) : spatio-temporal intensity ; unit=1 ( m^-d s^-1 ) ; dim=L^-d T^-1
3. Lambda(A) = ( ∫_A lambda dV ) : expected count in region ; unit=1 ; dim=1
4. g(r) : pair-correlation function ; unit=1 ; dim=1
5. H(·) : Hawkes kernel
   • 仅时间：unit=s^-1 ; dim=T^-1（∫ H(t) dt = n_branch 无量纲）
   • 时空：unit=m^-d s^-1 ; dim=L^-d T^-1（∫∫ H(x,t) dV dt = n_branch）
6. mu（在 Hawkes 中）: baseline intensity ; unit 同 lambda ; dim 同 lambda

VII. 频谱与能量（与《Core.Sea》对齐）

• x(t) : time-domain signal ; unit=unit(x) ; dim=dim(x)
• X(f) = ( ∫ x(t) * exp( -j 2π f t ) dt ) : Fourier transform ; unit=unit(x) * s ; dim=dim(x) T
• S_xx(f) : one-sided power spectral density ; unit=unit(x)^2 Hz^-1 ; dim=dim(x)^2 T
• fs : sampling rate ; unit=Hz ; dim=T^-1
• w[n] : analysis window ; unit=1 ; dim=1
• U_w = ( 1 / N ) * ∑ w[n]^2 : window power ; unit=1 ; dim=1
• ENBW_Hz = fs * ( ∑ w[n]^2 ) / ( ∑ w[n] )^2 : equivalent noise bandwidth ; unit=Hz ; dim=T^-1
• f_c : cutoff/center frequency ; unit=Hz ; dim=T^-1
• nu : effective degrees of freedom（Welch）; unit=1 ; dim=1
• SpecRef : spectral object reference（接口）; unit=meta ; dim=meta

VIII. 归一化与尺度

• z = ( x - mu_x ) / sigma_x : standard score ; unit=1 ; dim=1
• scale / shift : scaling/offset ; unit=与 x 同 ; dim=与 x 同
• unit(x) : unit function ; unit=unit(x) ; dim=dim(x)
• dim(x) : dimension function ; unit=dim(x) ; dim=meta

IX. 不确定度与界（计量学口径）

• u(x) : standard uncertainty of x ; unit=与 x 同 ; dim=与 x 同
• u_c : combined standard uncertainty ; unit=与输出同 ; dim=与输出同
• U = k * u_c : expanded uncertainty ; unit=与输出同 ; dim=与输出同
• k : coverage factor ; unit=1 ; dim=1
• G = ∂g/∂theta : sensitivity (Jacobian) ; unit=unit(g)/unit(theta) ; dim=dim(g) dim(theta)^-1
• H_g : Hessian of g ; unit=unit(g)/unit(theta)^2 ; dim=dim(g) dim(theta)^-2

X. 离散化与网格

• N : sample size / segment count ; unit=1 ; dim=1
• K（在 Welch/分段上下文）: segment number ; unit=1 ; dim=1
• edges : bin/voxel edges ; unit=与变量同 ; dim=与变量同
• Delta : bin width ; unit=与变量同 ; dim=与变量同
• V_i : voxel volume/area/length ; unit=m^d ; dim=L^d
• count_i : bin count ; unit=1 ; dim=1
• p_hat = count / ( N * Delta ) : histogram density（1 维）; unit=unit(x)^-1 ; dim=dim(x)^-1
• mass_preserve = ( ∑ rho_i * V_i ) : discretized total ; unit=unit(rho) * m^d ; dim=dim(rho) L^d

XI. 跨卷锚点与到达时两口径

• n_eff(x,t) : effective refractive index ; unit=1 ; dim=1
• c_ref : reference wave speed ; unit=m s^-1 ; dim=L T^-1
• T_arr = ( 1 / c_ref ) * ( ∫ n_eff d ell ) : arrival-time（常量外提）; unit=s ; dim=T
• T_arr = ( ∫ ( n_eff / c_ref ) d ell ) : arrival-time（一般口径）; unit=s ; dim=T
• delta_form = | ( 1 / c_ref ) * ( ∫ n_eff d ell ) - ( ∫ ( n_eff / c_ref ) d ell ) | : two-form disparity ; unit=s ; dim=T
• L_gamma = ( ∫ 1 d ell ) : path length ; unit=m ; dim=L

XII. 微分与算符

• ∂_t : partial derivative wrt time ; unit=s^-1 ; dim=T^-1
• ∇ : gradient/divergence operator ; unit=m^-1 / m^-1 ; dim=L^-1
• ∇·J : divergence of flux ; unit=unit(J) m^-1 ; dim=dim(J) L^-1
• ∫ : integral（需指明测度）; unit=随 integrand 与测度相消；dim=随 integrand 与测度相消

XIII. 正则化与最大熵（与第8章一致）

• lambda（正则化系数）: penalty weight ; unit=依目标函数配平 ; dim=使目标函数各项同量纲
• ||·||_2 / ||·||_1 : norms ; unit=继承自被测量；dim=继承
• TV : total variation ; unit=与 rho 同 ; dim=与 rho 同
• phi_k(x) : constraint features ; unit=依约束 ; dim=依约束
• A : forward operator ; unit=由模型定义 ; dim=由模型定义

XIV. 频域统计与区间（与第10章一致）

• nu : effective degrees of freedom ; unit=1 ; dim=1
• var( S_hat(f) ) / S_xx(f)^2 : relative variance ; unit=1 ; dim=1
• chi2_{p,1-α} : chi-square quantile ; unit=1 ; dim=1
• C_{1-α} : likelihood ratio region ; unit=parameter space ; dim=dim(theta)

XV. 接口与实现绑定（I90 概览符号）

• PdfRef / DensRef / SpecRef / IntensRef : typed references ; unit=meta ; dim=meta
• define_measure(…) : define measure ; unit=api ; dim=api
• pdf_fit(…) / kde_build(…) / kde_eval(…) : pdf-related ; unit=api ; dim=api
• intensity_estimate(…) / hawkes_fit(…) : intensity-related ; unit=api ; dim=api
• hist_density(…) / bin_edges(…) : discretization ; unit=api ; dim=api
• spectral_density(…) / spec_to_energy(…) : spectrum ; unit=api ; dim=api
• fisher_information(…) / crlb(…) : information/bounds ; unit=api ; dim=api
• bind_to_parameters(…) / bind_to_equations(…) / enforce_arrival_time_convention(…) : metadata/alignment ; unit=api ; dim=api

XVI. 快速一致性检查（发布前自检清单）

• 各 ∫ 是否明确测度（dx/dV/d ell）并与被积函数单位相消。
• 概率密度是否满足 ∫ p(x) dx = 1，物理密度是否报告总量 M = ( ∫ rho dV )。
• KDE 是否同时报告 K(·)、h、CV(h)，并标注估计维度 d。
• 频谱是否配报 ENBW_Hz、U_w、分段数 K 与 nu。
• 到达时是否给出两口径与 delta_form。
• 不确定度是否按 U = k * u_c 报告覆盖因子 k，并说明传播口径（Delta/MC）。