09-EFT.WP.Core.Density v1.0 | 附录C 核与窗函数库（密度卷）

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附录C 核与窗函数库（密度卷）

I. 范围与统一记号

• 本附录给出核函数 K(u)（用于 kde_h(x)，见 S92-5、S92-6）与离散谱窗 w[n]（用于 S_xx(f)，见 S92-8、S92-9）的标准化定义、常用性质与速查常数。全部符号沿用全书统一清单与规约。
• 核函数统一约定（1D 基元）
  ∫ K(u) du = 1，K(u) ≥ 0，对称核满足 K(u) = K(-u)，二阶矩 mu2(K) = ( ∫ u^2 K(u) du )，粗糙度 R(K) = ( ∫ K(u)^2 du )。在 d 维各向同性情形，kde_h(x) = ( 1 / (N h^d) ) * ∑ K( ||x - x_i|| / h )；各向异性情形见本附录 III。
• 窗函数统一约定（长度 N，采样率 fs）
  w[n] 定义于 n = 0,1,...,N-1；功率系数 U_w = ( 1 / N ) * ∑_0^{N-1} w[n]^2（见 S92-9）；等效噪声带宽 ENBW_Hz = fs * ( ∑ w[n]^2 ) / ( ∑ w[n] )^2（见 S92-8）；相干增益 CG = ( ∑ w[n] ) / N。若以“谱线宽（bins）”计，ENBW_bins = U_w / CG^2。

II. 核函数清单（1D，对称核，标准化）

1. Gaussian（无限支撑）
   • 定义：K(u) = ( 1 / sqrt(2*pi) ) * exp( - u^2 / 2 )
   • 支撑：u ∈ (-∞, +∞)；平滑性最高
   • 常数：mu2(K) = 1，R(K) = 1 / ( 2 * sqrt(pi) ) ≈ 0.282094
   • 备注：AMISE 近似中性基准；Scott 带宽在 d 维见本附录 III
2. Epanechnikov（紧支撑）
   • 定义：K(u) = ( 3 / 4 ) * ( 1 - u^2 ) * 1{|u| ≤ 1}
   • 常数：mu2(K) = 1/5 = 0.2，R(K) = 3/5 = 0.6
   • 备注：在满足 ∫K=1 与给定 mu2 的紧支撑对称核中 AMISE 最优
3. Uniform / Rectangular（紧支撑）
   • 定义：K(u) = ( 1 / 2 ) * 1{|u| ≤ 1}
   • 常数：mu2(K) = 1/3 ≈ 0.333333，R(K) = 1/2 = 0.5
   • 备注：边界可解释性强，但估计不够平滑
4. Triangular（紧支撑）
   • 定义：K(u) = ( 1 - |u| ) * 1{|u| ≤ 1}
   • 常数：mu2(K) = 1/6 ≈ 0.166667，R(K) = 2/3 ≈ 0.666667
5. Biweight / Quartic（紧支撑）
   • 定义：K(u) = ( 15 / 16 ) * ( 1 - u^2 )^2 * 1{|u| ≤ 1}
   • 常数：mu2(K) = 1/7 ≈ 0.142857，R(K) = 5/7 ≈ 0.714286
6. Triweight（紧支撑）
   • 定义：K(u) = ( 35 / 32 ) * ( 1 - u^2 )^3 * 1{|u| ≤ 1}
   • 常数：mu2(K) = 1/9 ≈ 0.111111，R(K) = 350/429 ≈ 0.815851
7. Cosine（紧支撑）
   • 定义：K(u) = ( pi / 4 ) * cos( ( pi / 2 ) * u ) * 1{|u| ≤ 1}
   • 常数：mu2(K) ≈ 0.18943，R(K) ≈ 0.61685
8. Laplace / Double-Exponential（无限支撑）
   • 定义：K(u) = ( 1 / 2 ) * exp( - |u| )
   • 常数：mu2(K) = 2，R(K) = 1/4 = 0.25
   • 备注：尾部较重；在 AMISE 框架下需要相应缩小 h 抑制方差

• 速查：AMISE 主导项（1D，平滑目标密度二阶可导）
  AMISE(h) ≈ ( R(K) / ( N * h ) ) + ( ( mu2(K)^2 / 4 ) * h^4 * R( f'' ) ) * c_dim，其中 c_dim = 1（1D），R(f'') = ( ∫ ( f''(x) )^2 dx )。带宽 h* 由上式平衡两项取得（见第4章与 Mx-93）。

III. 多维核与带宽矩阵

• 各向同性：kde_h(x) = ( 1 / ( N * h^d ) ) * ∑ K( ||x - x_i|| / h )。
• 各向异性（正定带宽矩阵 H）：
  kde_H(x) = ( 1 / ( N * |H|^{1/2} ) ) * ∑ K( || H^{-1/2} * ( x - x_i ) || )。
• 规则化带宽（Scott）：H_scott = h_scott^2 * Sigma，h_scott = ( 4 / ( d + 2 ) )^{ 1 / ( d + 4 ) } * N^{ -1 / ( d + 4 ) }，其中 Sigma 为样本协方差。
• 鲁棒带宽（Silverman, 1D）：h_silverman = 0.9 * min( sigma, IQR / 1.34 ) * N^{-1/5}。
• 说明：实际实现请在 kde_build(..., kernel:str, h:float|H:matrix) 中明确报告 K(·)、h 与评分准则 CV(h)（见 I90 2 与规则集 III）。

IV. 边界与离散网格的核修正

• 反射法（以边界 x_b 为镜像）：x_ref = 2 * x_b - x_i，使用 K( ( x - x_i ) / h ) + K( ( x - x_ref ) / h )，并保留归一化。
• 截断-重归一化：对 x ∈ D 仅积分 D 内贡献，并用 Z(x) = ( ∫_D K( ( x - u ) / h ) du ) 作局部归一化。
• 局部线性核（边界一致性更优）：以 K(u) 加入一次项修正以减小边界偏差。
• 与直方图体素化一致性：若从 rho_i 网格回推连续估计，需保持 mass_preserve = ( ∑ rho_i * V_i )（见 S92-11 与第7章）。

V. 窗函数清单（离散谱密度专用）

• 公共形式与量化
  • 余弦和窗：w[n] = ∑_{k=0}^K a_k * cos( 2*pi*k*n / (N-1) )（常见为交替符号 a0 - a1 cos + a2 cos2 - ...）
  • 典型近似（N 足够大）：U_w ≈ a0^2 + 0.5 * ∑_{k=1}^K a_k^2，CG ≈ a0，ENBW_bins ≈ U_w / CG^2。
  • 所列 ENBW_bins 为近似值；ENBW_Hz = ENBW_bins * ( fs / N )。

1. Rectangular
   • 定义：w[n] = 1
   • 常数：U_w = 1，CG = 1，ENBW_bins = 1.000；首旁瓣约 -13 dB
   • 备注：分辨率最高，泄漏最大
2. Bartlett / Triangular
   • 定义：w[n] = 1 - | ( 2*n / (N-1) ) - 1 |
   • 常数：U_w ≈ 1/3 = 0.3333，CG ≈ 0.5，ENBW_bins ≈ 4/3 = 1.333；首旁瓣约 -26 dB
3. Hann
   • 定义：w[n] = 0.5 - 0.5 * cos( 2*pi*n / (N-1) )
   • 常数：U_w ≈ 0.375，CG ≈ 0.5，ENBW_bins ≈ 1.500；首旁瓣约 -31 dB
   • 备注：泄漏抑制与分辨率权衡的默认推荐（见第6章）
4. Hamming
   • 定义：w[n] = 0.54 - 0.46 * cos( 2*pi*n / (N-1) )
   • 常数：U_w ≈ 0.3974，CG ≈ 0.54，ENBW_bins ≈ 1.3628；首旁瓣约 -43 dB
5. Blackman
   • 定义：w[n] = 0.42 - 0.5 * cos( 2*pi*n / (N-1) ) + 0.08 * cos( 4*pi*n / (N-1) )
   • 常数：U_w ≈ 0.3046，CG ≈ 0.42，ENBW_bins ≈ 1.7268；首旁瓣约 -58 dB
6. Blackman–Harris（4-term, 92 dB）
   • 定义：w[n] = a0 - a1 * cos( 2*pi*n / (N-1) ) + a2 * cos( 4*pi*n / (N-1) ) - a3 * cos( 6*pi*n / (N-1) )
     其中 a0=0.35875，a1=0.48829，a2=0.14128，a3=0.01168
   • 常数：U_w ≈ 0.25796，CG ≈ 0.35875，ENBW_bins ≈ 2.004；首旁瓣约 -92 dB
7. Nuttall（4-term）
   • 系数：a0=0.355768，a1=0.487396，a2=0.144232，a3=0.012604（同上式型）
   • 常数：U_w ≈ 0.25583，CG ≈ 0.355768，ENBW_bins ≈ 2.021；旁瓣抑制与 BH 相近
8. Flat-top（5-term，幅度精度优先）
   • 定义：w[n] = a0 - a1 * cos( 2*pi*n / (N-1) ) + a2 * cos( 4*pi*n / (N-1) ) - a3 * cos( 6*pi*n / (N-1) ) + a4 * cos( 8*pi*n / (N-1) )
     典型系数：a0=1.0，a1=1.93，a2=1.29，a3=0.388，a4=0.028
   • 常数：U_w ≈ 3.7702，CG ≈ 1.0，ENBW_bins ≈ 3.770；幅度测量偏差最小
9. Kaiser（参数窗）
   • 定义：w[n] = I0( pi*beta*sqrt( 1 - x^2 ) ) / I0( pi*beta )，其中 x = ( 2*n / (N-1) ) - 1，I0 为 0 阶第一类修正贝塞尔
   • 常数（经验）：beta=6 → ENBW_bins ≈ 1.9，beta=8 → ≈ 2.23，beta=10 → ≈ 2.5
   • 备注：通过 beta 在旁瓣与主瓣宽之间连续可调

• 实施提示：在 spectral_density(sig, method="welch", window="hann") 中应报告 U_w、ENBW_Hz 与 CG，并在能量核对（Mx-95）中使用相同窗的功率归一化（见第6章）。

VI. 核与窗的形状映射与选择建议

1. 形状同构：Uniform ↔ Rectangular，Triangular ↔ Bartlett，Cosine 核 ↔ Hann 窗，高阶多项式紧支撑核 ↔ 多项式余弦窗族（如 Blackman）。形状相近可在跨域（密度 ↔ 频谱）建模时保持一致的平滑风格。
2. 默认策略（跨卷一致口径）：
   • 密度估计优先 Epanechnikov 或 Biweight（紧支撑，AMISE 友好）；
   • 频谱估计优先 Hann（泄漏/分辨率权衡良好），幅度精度敏感任务用 Flat-top。

VII. 与 I90 接口的绑定与示例配置

• KDE：kde_build(data, kernel="epanechnikov", h=..., rule="cv") -> PdfRef；评估时保持 normalize=True 并记录 CV(h) 与核常数 mu2(K)/R(K)（见 I90 2）。
• 频谱：spectral_density(sig, method="welch", window="hann") -> SpecRef；随后用 spec_to_energy(spec, band) 做能量一致性核对（见 I90 6）。
• 强制元数据：将 K、h、U_w、ENBW_Hz、CG 作为估计产物的属性绑定（见 I90 8）。

VIII. 发布前自校验清单（核与窗）

• check_dim：核密度输出单位与输入测度匹配；谱密度报告 ENBW_Hz 与带宽 fs/N。
• 归一化：核需满足 ∫ K du = 1；窗需在能量核对中使用相同 U_w。
• 报告：KDE 必报 K(·)、h、评分准则；PSD 必报 window、U_w、ENBW_Hz、CG。
• 边界：若 D 有界，声明所用边界修正策略。
• 到达时轴：如频谱/时频指标与 T_arr 相关，给出两口径并记录 delta_form（见全书规则集与第9章）。

IX. 速查常数（摘要）

1. 核函数二阶矩与粗糙度
   • Gaussian：mu2=1，R=1/(2*sqrt(pi))≈0.282094
   • Epanechnikov：mu2=1/5，R=3/5
   • Uniform：mu2=1/3，R=1/2
   • Triangular：mu2=1/6，R=2/3
   • Biweight：mu2=1/7，R=5/7
   • Triweight：mu2=1/9，R=350/429≈0.815851
   • Cosine：mu2≈0.18943，R≈0.61685
   • Laplace：mu2=2，R=1/4
2. 常用窗的 ENBW_bins（近似）
   Rectangular=1.000，Bartlett=1.333，Hann=1.500，Hamming=1.363，Blackman=1.727，Blackman-Harris(4)=2.004，Nuttall(4)=2.021，Flat-top(5)=3.770，Kaiser(beta=8)≈2.23

X. 交叉引用与版本对齐

• 与第4章带宽选择 Mx-93、第6章谱密度口径 S92-8/S92-9/Mx-95、第7章守恒离散化 S92-11/Mx-96 直接复用。
• 与接口层 I90 2/4/6/8 绑定；与《Core.Sea》窗与能量口径完全一致；涉及到达时的指标请遵从两口径差异度 delta_form 的记录规范。