09-EFT.WP.Core.Density v1.0 | 附录D 公式表与推导

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附录D 公式表与推导

I. 使用说明与编号口径

• 本附录汇总全书核心公式并给出最短推导要点，统一沿用 P91-*、S92-*、Mx-9*、I90-* 编号。涉及积分一律显式标注测度与域，路径相关量显式给出 gamma(ell) 与 d ell。
• 变量、算符与函数在行文中均用反引号标注，如 rho(x,t)、p(x)、kde_h(x)、S_xx(f)、U_w、ENBW_Hz；公式行保留纯文本格式。

II. 公设与测度归一化（P91 系）

1. P91-1（measure 显式）
   ∫ p(x) dx = 1；( ∫_V rho(x,t) dV ) 定义物理总量。dx、dV 分别为基测度元。
2. P91-2（unit/dim 守恒）
   dim( ∫ rho dV ) = dim(rho) * dim(V)；禁止将无量纲 p(x) 与具量纲 rho(x,t) 混写。
3. P91-3（normalization discipline）
   离散情形 sum_i p_i = 1；直方图密度 p_hat = count / ( N * Delta )（见 S92-10）。
4. 推导要点
   • 以勒贝格积分的可加性与线性为基。
   • 通过单位齐次性 check_dim(expr) 验证守恒。

III. 连续性与守恒（S92-1, S92-2）

1. S92-1（连续性方程，含源汇）
   ∂_t rho(x,t) + ∇·J(x,t) = s(x,t)
2. S92-2（总量守恒判据）
   d/dt ( ∫V rho dV ) = - ( ∮{∂V} J·n dS ) + ( ∫_V s dV )
3. 推导要点
   • 对 S92-1 体积分并用散度定理 ( ∫_V ∇·J dV ) = ( ∮_{∂V} J·n dS )。
   • s=0 且 J·n|_{∂V}=0 时，总量 M = ( ∫_V rho dV ) 不随时变。

IV. 概率密度、似然与 Fisher 信息（S92-3, S92-4）

1. S92-3（独立样本的似然）
   L(theta) = ∏_{i=1}^N p( x_i | theta )
2. S92-4（Fisher 信息）
   I_F(theta) = E[ ( ∂_theta log p(X|theta) )^T ( ∂_theta log p(X|theta) ) ]
3. 推导要点
   • ∂_theta log L = ∑ ∂_theta log p(x_i|theta)；极大似然满足 ∂_theta log L = 0。
   • 对正则族，I_F = - E[ ∂^2_{theta} log p ] 与方差下界见 S92-17。

V. 核密度估计与误差（S92-5, S92-6）

1. S92-5（1D KDE）
   kde_h(x) = ( 1 / ( N h ) ) * ∑_{i=1}^N K( ( x - x_i ) / h )
2. S92-6（均方积分误差 MISE）
   MISE(h) = Var_term(h) + Bias_term(h)
   AMISE(h) ≈ ( R(K) / ( N h ) ) + ( ( mu2(K)^2 / 4 ) * h^4 * R( f'' ) )
3. 推导要点
   • E[ kde_h(x) ] = ( K_h * f )(x)，Bias ≈ ( mu2(K) * h^2 / 2 ) * f''(x)。
   • Var[ kde_h(x) ] ≈ ( f(x) * R(K) ) / ( N h )。
   • 令 d(AMISE)/dh = 0 得最优带宽阶 h* ∝ N^{-1/5}（1D）。

VI. 空间与时空强度（S92-7）

1. S92-7（强度到计数）
   Lambda(A) = ( ∫_A lambda(x) dV )，事件数 N(A) ~ Poisson( Lambda(A) )（Poisson 情形）
2. Hawkes 强度（参考本卷第5章）
   lambda(t) = mu + ( ∑_k H(t - t_k) )，其中 H(·) 为核，满足稳定性 ( ∫ H dt ) < 1。
3. 推导要点
   • Campbell 定理给出 E[ N(A) ] = Lambda(A)。
   • Hawkes 的均值强度解：E[lambda] = mu / ( 1 - ∫ H )。

VII. 谱密度与窗归一化（S92-8, S92-9）

1. S92-8（等效噪声带宽）
   ENBW_Hz = fs * ( ∑{n=0}^{N-1} w[n]^2 ) / ( ∑{n=0}^{N-1} w[n] )^2
2. S92-9（窗功率系数）
   U_w = ( 1 / N ) * ∑_{n=0}^{N-1} w[n]^2
3. 能量一致性（单侧 PSD 的经验口径）
   ∫_{0}^{fs/2} S_xx(f) df ≈ var(x)（在正确窗归一与去均值条件下）
4. 推导要点
   • Welch 法将段内方差经窗能量 U_w 与 ENBW_Hz 折算为谱密度。
   • 单侧谱在 f=0 与 f=fs/2 不乘以 2（见全书统一规则）。

VIII. 离散化与直方图守恒（S92-10, S92-11）

1. S92-10（直方图密度）
   p_hat[j] = count[j] / ( N * Delta )
2. S92-11（体素化总量守恒）
   mass_preserve = ( ∑_i rho_i * V_i )（应等于连续积分的数值近似）
3. 推导要点
   • ∑_j p_hat[j] * Delta = 1。
   • 网格细化/粗化需保持 ∑ rho_i V_i 不变（见 Mx-96）。

IX. 正则化与最大熵（S92-12, S92-13）

1. S92-12（变分型稀疏-平滑混合）
   argmin_rho || A rho - y ||_2^2 + lambda * || ∇rho ||_1
2. S92-13（最大熵解，矩约束）
   p*(x) ∝ exp( ∑_{k=1}^m lambda_k * phi_k(x) )
3. 推导要点
   • S92-12 以 rho 的一阶差分近似 ∇rho，通过 ADMM 或 PDHG 求解。
   • S92-13 建立 Lagrangian：L = -∫ p log p dx + ∑ lambda_k ( ∫ p phi_k dx - c_k ) + alpha ( ∫ p dx - 1 )，对 p 取变分得指数族形态。

X. 归一化与校准（S92-14, S92-15）与到达时两口径

1. S92-14（标准化）
   z = ( x - mu_x ) / sigma_x
2. S92-15（变量变换含雅可比）
   p_Y(y) = p_X( x(y) ) * | det( ∂x / ∂y ) |
3. 到达时两口径（跨卷锚点，与《Core.Sea》第8章一致）
   T_arr = ( 1 / c_ref ) * ( ∫{gamma(ell)} n_eff d ell )
   T_arr = ( ∫{gamma(ell)} ( n_eff / c_ref ) d ell )
   delta_form = | ( 1 / c_ref ) * ( ∫ n_eff d ell ) - ( ∫ ( n_eff / c_ref ) d ell ) |
4. 推导要点
   • S92-15 由概率守恒 P( x ∈ dx ) = P( y ∈ dy ) 推得。
   • delta_form 作为实现口径差异的记录量，必须随数据流传递（见 Mx-98）。

XI. 不确定度与信息界（S92-16, S92-17）与传播

1. S92-16（Fisher 信息，矩阵形式）
   I_F(theta) = E[ ( ∂_theta log p )^T ( ∂_theta log p ) ]
2. S92-17（Cramer–Rao 下界）
   cov( theta_hat ) ≥ I_F(theta)^{-1}
3. 传播与组合（计量学口径）
   u_c^2 = ∑i ( c_i^2 * u(x_i)^2 ) + 2 * ∑{i<j} c_i c_j * cov(x_i,x_j)
   U = k * u_c
4. 推导要点
   • 由 score 的零均值与信息等式得到 S92-17。
   • 线性近似 g(x) 的 Delta 方法给出灵敏度系数 c_i = ∂g/∂x_i。

XII. 典型核/窗的常数与等价（速查）

• 核（见附录C）：Gaussian、Epanechnikov、Biweight 等的 mu2(K) 与 R(K)；用于 S92-6 的 AMISE。
• 窗（见附录C）：U_w、ENBW_Hz、相干增益 CG；用于 S92-8/S92-9 的能量一致性与幅度修正。

XIII. 计算流程挂接（Mx-9 与 I90-)**

• Mx-93（带宽选择）：以交叉验证分数 CV(h) 最小化 AMISE 代理，输出 K(·)、h、误差报表。
• Mx-95（谱→能量核对器）：基于已知 U_w 与 ENBW_Hz 验证 ∫ S_xx df ≈ var(x)。
• Mx-96（网格细化/粗化）：保证 mass_preserve 不变。
• Mx-98（多源密度对齐）：记录并传播 delta_form。
• I90 关键接口：kde_build/...、spectral_density/...、hist_density/...、change_of_variables/...、crlb/... 需绑定相应 S92-* 公式与元数据。

XIV. 发布前一致性核对清单

• measure 显式、单位齐次、归一化闭合；∫ p dx = 1、∑ p_i = 1、∑ rho_i V_i 守恒。
• KDE 报告 K(·)、h、CV(h) 与误差口径（S92-5/6）。
• PSD 报告 window、U_w、ENBW_Hz、CG，并给出能量核对（S92-8/9）。
• 变换含雅可比（S92-15）；CRLB 报告 I_F 与下界（S92-16/17）。
• 涉及到达时的任何指标同步记录 delta_form 与路径 gamma(ell)。