10-EFT.WP.Core.Tension v1.0 | 第9章 识别、不确定度与信息界

第9章 识别、不确定度与信息界

I. 目标与范围

• 目标：从观测数据中识别张力场 T_fil(ell,t) 及其派生量，并给出统计不确定度与信息下界，使估计结果在实验设计、仿真与工程实现中可比、可核对、可复现。
  观测类型包含：到达时 T_arr、模态频率 f_n、频谱 S_xx(f)、结点反射 R_ref 与透射 T_trans（无量纲）。
• 范围：本章以参数向量 theta（例如 theta = { T0 , rho_l , ... } 或分段参数 { T_i , rho_{l,i} }）为对象，覆盖似然构造、估计器、Fisher 信息与 Cramér–Rao 下界（CRLB），以及多源融合与实验设计。
• 口径约束：变量与测度一律显式，沿路径 gamma(ell) 用 ( ∫ · d ell )；T_fil（N）不可与 T_trans（无量纲）混用；c = sqrt( T / rho_l ) 与 c = L_gamma / T_arr 的跨口径一致性见第4章与第8章。

II. 观测通道与前向模型

• 到达时通道（均值模型）：
  h_toa(theta) = ( ∫ ( 1 / c(ell;theta) ) d ell )，其中 c(ell;theta) = sqrt( T_fil(ell;theta) / rho_l(ell;theta) )。
  若采用两口径标定：T_arr 另可由 n_eff,c_ref 给出，见第8章。
• 模态频率通道（均匀弦近似）：
  f_n(theta) = ( n / ( 2 * L_gamma ) ) * sqrt( T0 / rho_l )，n = 1,2,...。
  非均匀弦用本征值问题 ∂_ell( T_fil ∂_ell u ) + rho_l (2*pi*f)^2 u = 0（配边界与归一化）求得离散谱。
• 反射/透射通道（连接处）：
  r_amp = ( Z2 - Z1 ) / ( Z2 + Z1 )，R_ref = | r_amp |^2，T_trans = 1 - R_ref（无损），Z = rho_l * c。
  由 R_ref 约束 Z 比，从而间接约束 T_fil 或 rho_l。
• 频谱通道（与《Core.Sea》一致）：
  S_vv(f) = ( 2 * pi * f )^2 * S_uu(f)，S_PP(f) = Z * S_vv(f)（无耗线段）。选定窗口校正 U_w 与 ENBW_Hz 后用于幅值与噪声刻画。

III. 噪声模型与似然

• 高斯误差的通道联合：
  观测堆叠为 y = [ y_toa , y_f , y_R , y_S ]^T，y = h(theta) + w，w ~ N(0, Σ)。
  对应负对数似然：-log L(theta) = (1/2) * ( y - h(theta) )^T Σ^{-1} ( y - h(theta) ) + const。
• 非高斯与稳健项：
  对脉冲噪声或离群点，采用 Huber 损失 rho_H(·) 或学生分布似然；对相位/包络到达时，使用环形或 Rice 似然。
• 谱泄漏与窗函数：
  在 S_xx(f) 口径中，将窗口校正因子 U_w 与等效噪声带宽 ENBW_Hz 显式并入 Σ 的频域对角线元素。

IV. 估计器（MLE / MAP / WLS）

• 极大似然估计（MLE）：
  theta_hat = argmin_theta ( y - h(theta) )^T Σ^{-1} ( y - h(theta) )。
  Gauss–Newton 迭代：theta_{k+1} = theta_k + ( J^T Σ^{-1} J )^{-1} J^T Σ^{-1} ( y - h(theta_k) )，J = ∂h/∂theta。
• 带先验的 MAP：
  -log p(theta|y) = -log L(theta) - log p(theta)；如 T0 有工程先验 T0 ~ N(μ_T, σ_T^2)，则在目标函数加二次正则项。
• 加权最小二乘（WLS）闭式子问题：
  在均匀弦模型下，令 g_n(theta) = f_n - ( n / ( 2 * L_gamma ) ) * sqrt( T0 / rho_l )，线性化后可得 ΔT0 的闭式更新；对 T_arr 通道亦可得到 Δc 的一阶解并回推 ΔT0。

V. Fisher 信息与 CRLB（核心方程）

• S72-15 : I_F(theta) = E[ ( ∂_theta log L )^T ( ∂_theta log L ) ] = - E[ ∂^2_{theta,theta} log L ]。
  高斯情形化为 I_F(theta) = J^T Σ^{-1} J。
• S72-16 : cov( theta_hat ) ≥ I_F^{-1}(theta)（Cramér–Rao 下界，任何无偏估计均受其约束）。
• 专项闭式示例（单一均匀弦，频率集 { f_n }，协方差 Σ_f = diag(σ_{f,n}^2)）：
  ∂ f_n / ∂ T0 = ( n / ( 4 * L_gamma ) ) * ( 1 / sqrt( T0 * rho_l ) )，
  ∂ f_n / ∂ rho_l = - ( n / ( 4 * L_gamma ) ) * sqrt( T0 ) / ( rho_l^{3/2} )。
  于是 I_F = J_f^T Σ_f^{-1} J_f，var( T0_hat ) ≥ [ I_F^{-1} ]_{T0,T0}。
  TOA 通道的单参界（c = L_gamma / T_arr）：
  ∂ c / ∂ T_arr = - L_gamma / T_arr^2，∂ T0 / ∂ c = 2 * rho_l * c，
  u^2( T0_hat ) ≥ ( 2 * rho_l * c )^2 * ( L_gamma^2 / T_arr^4 ) * u^2( T_arr )（一阶传播）。

VI. 可辨识性与实验设计

• 结构可辨识：rank( I_F ) = dim(theta) 为必要条件。若仅观测 { f_n }，T0 与 rho_l 成比例耦合，需引入 T_arr 或 R_ref/Z 以破除比例不辨识。
• 激励与采样：选择 n 的覆盖带宽与 L_gamma 的几何基线以最大化 trace( I_F ) 或最小化 det( I_F^{-1} )（D-最优）。
• 边界/连接：在结点处并行采集 R_ref 可提升对 Z 的敏感度，从而降低 var( T0_hat )；但需满足能量一致（见第6章）。

VII. 多源融合与联合似然

• 联合似然分解（条件独立假设）：
  log L_tot(theta) = log L_toa(theta) + log L_f(theta) + log L_R(theta) + log L_S(theta)。
  等价于块对角协方差的加权最小二乘，信息矩阵可加：I_F^{tot} = I_F^{toa} + I_F^{f} + I_F^{R} + I_F^{S}。
• Nuisance 参数剔除：使用 profile-likelihood 或 Schur 补消去 { rho_l , damping , ... }，得到对 T0 的边际信息与界。
• 跨设备权重：各通道 Σ 需包含窗口校正、带宽与时基配准不确定度（见第8章）。

VIII. 区间估计与不确定度传播

• 线性化置信区间：
  theta_hat ± z_{alpha/2} * sqrt( diag( I_F^{-1} ) )（近似 95% 时 z ≈ 1.96）。
• Delta 法到派生量：
  u^2( g(theta) ) ≈ ( ∂_theta g )^T cov(theta_hat) ( ∂_theta g )，常用于 c = sqrt( T0 / rho_l )、Z = rho_l * c、T_star = T0 / T_ref。
• 重采样与贝叶斯：对非线性强或小样本，采用自助法或后验抽样（例如随机游走 MH）报告置信带或可信区间。

IX. 偏差源与鲁棒性

• 模型偏差：未建模的弯曲刚度、预张力梯度、rho_l(ell) 变异将引入系统偏差；需在 theta 中扩展参数或在似然中加入惩罚项。
• 到达时口径偏差：两口径差异 delta_form 超阈时应将 T_arr 通道降权或剔除，并回溯 n_eff,c_ref 的来源（见第8章）。
• 鲁棒估计：在目标函数使用 Huber/Tukey 权函数，对 R_ref 的相位翻转与幅度饱和进行掩码处理。

X. 一致性与验证

• 能量一致核查：依据第6章，验证无损接口上 R_ref + T_trans = 1，并用该约束修正极端频点。
• 交叉口径校对：c_hat = L_gamma / T_arr 与 c_hat = ( 2 * L_gamma / n ) * f_n 的比值应接近 1；偏离则定位几何或时基误差。
• 外推与留一验证：用部分模态拟合、其余模态预测以检验模型泛化；计算标准化残差与谱域一致性误差 ΔE。

XI. 标准流程（Mx-78 张力估计→不确定度→信息界）

• 数据与元数据加载：trace、gamma(ell)、L_gamma、rho_l(ell)、边界与连接、窗口 U_w 与 ENBW_Hz。
• 通道提取：测 T_arr（两口径并记 delta_form）、模态 { f_n }、R_ref 与必要的 S_xx(f)。
• 构建似然：设定 y,h(theta),Σ；若存在离群，选稳健似然。
• 初值生成：由第4章与第8章给 c_init、T0_init = rho_l_mean * c_init^2；接口处以 R_ref 给出 Z 比初值。
• 迭代估计：解 theta_hat = argmin ( y - h(theta) )^T Σ^{-1} ( y - h(theta) )，直至步长与残差收敛。
• 协方差与界：计算 I_F = J^T Σ^{-1} J，输出 cov(theta_hat) ≈ I_F^{-1} 与 CRLB；对派生量应用 Delta 法。
• 一致性核查：能量与口径一致性、留一预测、残差正态性/独立性检验。
• 报告与绑定：发布 theta_hat、cov、CRLB、delta_form、质量指标；通过 I70 7 写入不确定度与界的接口对象。
• 决策与设计回路：基于 I_F 的灵敏度热图调整实验（模态选择、基线 L_gamma、接口布设）以降低 det( I_F^{-1} )。

XII. 接口与实现映射（I70 7 与相关）

• fisher_information_tension(model:any, theta:dict) -> matrix：返回 I_F = J^T Σ^{-1} J 或期望形式（支持多通道堆叠与块对角 Σ）。
• crlb_tension(model:any, theta:dict) -> matrix：返回 I_F^{-1} 与派生量的 Delta 法不确定度。
• 关联接口：estimate_tension_from_modes(...)、calibrate_tension_by_toa(...) 提供初值与通道分量；junction_solve(...) 和 transmission_coeff(...) 用于 R_ref/T_trans 约束注入。
• 产物字段：theta_hat、cov_theta、crlb_theta、u(T_star)、u(c)、u(Z)、delta_form、一致性指标。

XIII. 必记符号与交叉引用

• 必记符号：theta、J、Σ、I_F、CRLB、T0、rho_l、c、Z、f_n、T_arr、R_ref、T_trans、delta_form、L_gamma。
• 交叉引用：c = sqrt( T0 / rho_l ) 与波动方程见第4章；c = L_gamma / T_arr 与两口径见第8章；阻抗与透射见第6章；测度与几何见第1章；本构与静力先验见第2章；实现绑定与数据口径见附录E、附录B。
• 冲突名重申：T_fil（N）与 T_trans（无量纲）严格区分；任何积分表达显式标注路径与测度，如 ( ∫ n_eff d ell )、( ∫ ( 1 / c(ell) ) d ell )。