10-EFT.WP.Core.Tension v1.0 | 附录C 边界与连接库（张力卷）

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附录C 边界与连接库（张力卷）

I. 范围与约定

1. 目标：给出张力系统的标准边界条件与连接（结点/接口）算子库，覆盖线元、膜边界与多端口网络，统一到 S72-*、Mx-7*、I70-* 的口径。
2. 变量口径
   • 线元主变量：u(ell,t)、v = ∂_t u、T_fil(ell,t)、q(ell,t)。
   • 阻抗：Z = rho_l * c = sqrt( T0 * rho_l ) = T0 / c（均匀段，T0 常张力）。
   • 界面波幅采用力/压力类幅值，反射/透射使用 S72-9、S72-10、S72-11。
3. 基本守恒
   • 结点平衡：S72-7 : ∑ T_i * t_hat_i + f_ext = 0。
   • 能流一致：无损时 R_ref + T_trans = 1。

II. 端部边界条件（线元）

1. Dirichlet（位移约束）
   • 形式：u(ell_end,t) = u_bar(t)。
   • 等效阻抗：Z_bc -> ∞（刚性夹固，u_bar = 0）。
   • 反射（两介质模型取 Z2 = Z_bc）：r_amp = ( Z_bc - Z ) / ( Z_bc + Z ) -> +1。
2. Neumann（牵引/斜率约束）
   • 形式：T_fil * ∂_ell u |_{ell_end} = t_bar(t)；自由端取 t_bar = 0。
   • 自由端等效：Z_bc = 0，r_amp = ( 0 - Z ) / ( 0 + Z ) = -1。
3. Robin（混合边界）
   • 形式：alpha * u + beta * ( T_fil * ∂_ell u ) = g(t)。
   • 等效阻抗（频域 i*omega）：Z_bc(omega) = ( beta^{-1} ) * alpha / ( i * omega )（当 g=0）。

III. 端部元件库与等效阻抗

1. 弹簧支承（线性）
   • 条件：T_fil * ∂_ell u = K_s * u；Z_bc(omega) = K_s / ( i * omega )。
   • 匹配吸收低频反射：K_s << Z * | i * omega | ⇒ |r_amp| -> 1（软支承）。
2. 粘性阻尼
   • 条件：T_fil * ∂_ell u = C_s * ∂_t u；Z_bc = C_s。
   • 匹配终端：C_s = Z ⇒ r_amp = 0。
3. 端部质量
   • 条件：T_fil * ∂_ell u = M_t * ∂_tt u；Z_bc(omega) = i * omega * M_t。
   • 低频近自由端，高频近夹固（相位按 r_amp 连续变化）。
4. Kelvin-Voigt 端部（并联弹簧-阻尼-质量）
   Z_bc(omega) = K_s / ( i * omega ) + C_s + i * omega * M_t。
5. 端部外激励
   等效端力：t_bar(t)；叠加于上述 Z_bc 模型：T_fil * ∂_ell u = t_bar + Z_bc * v。

IV. 线元—导向/摩擦连接

1. 理想滑环（无摩擦导向）
   • 约束：通过导向环时 |T_fil| 连续，法向反力不做功；切向方向按几何更新 t_hat。
   • 能量：无额外耗散，路径仅改变方向。
2. 摩擦滑轮（Capstan）
   • 张力比：T_out = T_in * exp( ± mu_k * theta_wrap )（theta_wrap 为包角，弧度）。
   • 符号：沿摩擦阻滞方向取正号；耦合到 S72-7 时以反力闭合。
3. 线—线滑结（锁止/滑移混合）
   • 阈值：|ΔT| ≤ T_lock 锁止，|ΔT| > T_lock 进入 Capstan 模型。
   • 等效：分段 Z_joint(omega)，锁止段作为刚性约束，滑移段按上式耗散。

V. 膜/界面边界算子

• 固定边界（位移/法向位移为零）
  u|_{∂A} = 0 或 u · n_hat = 0；曲面能由 S72-3 与边界环积分 ∮ sigma_s d s 闭合。
• 自由边界（无外牵引）
  t = sigma · n_hat = 0；等效为边界线张力平衡。
• 接触角条件（杨方程）
  S72-4 : sigma_sv = sigma_sl + sigma_lv * cos(theta_c)；在边界求 theta_c 以确定几何。
• 边界线阻尼/质量分布
  线性模型：Z_line(omega) = K_line / ( i * omega ) + C_line + i * omega * M_line，沿 ∂A 分布。

VI. 两端口连接与界面透射

1. 两均匀段串接（阻抗 Z1 到 Z2）
   • 反射：S72-9 : r_amp = ( Z2 - Z1 ) / ( Z2 + Z1 )。
   • 透射：S72-10 : t_amp = 2 * Z2 / ( Z1 + Z2 )。
   • 无损守恒：S72-11 : R_ref = |r_amp|^2 , T_trans = 1 - R_ref。
2. 插入串联元件
   Z2' = Z2 + Z_series；在上式用 Z2' 替换 Z2。
3. 插入并联耗散（端口对地）
   Z_eq = ( (1/Z2) + Y_shunt )^{-1}；再用 Z_eq 代 Z2。

VII. N 端口星形结点（速度连续模型）

1. 假设
   • 端口集合 i = 1..N，各段特性阻抗 Z_i，入射幅 a_i，出射幅 b_i（力类）。
   • 结点速度连续：v_i = ( a_i - b_i ) / Z_i = v_node；结点力平衡：∑ ( a_i + b_i ) = 0。
2. 解的形式
   • 汇总阻抗：Z_sum = ∑_k Z_k。
   • 散射矩阵：b_i = a_i - ( 2 * Z_i / Z_sum ) * ( ∑_j a_j )。
   • 单入射于端口 m：r_mm = ( Z_sum - 2 * Z_m ) / Z_sum，t_im = - 2 * Z_i / Z_sum（i ≠ m）。
   • 方向统一时取 |t_im| = 2 * Z_i / Z_sum，功率加权保持无损。
3. 特例（3 端口等阻抗）
   Z_1 = Z_2 = Z_3 = Z0 ⇒ r = -1/3，|t| = 2/3，R_ref = 1/9，T_trans = 8/9。

VIII. 回路与分叉库（结构模式）

• 串接链路（ladder）
  每段 k 有 (Z_k, L_k)；整体用传递矩阵或逐段应用 S72-9..11 叠加。
• 环路（loop）
  相位闭合：∑_k k_k * L_k = 2 * π * m（驻波模式索引 m ∈ N+），与张力一致性 T_fil = rho_l * c^2 校核。
• 分叉（Y/T）
  使用 VII 之 N=3 星形结点；若存在端部元件，先更新端口 Z_i -> Z_i + Z_series 或并联修正。

IX. 功率与能量核查（接口级）

• 线元瞬时功率流
  P(ell,t) = ( T_fil * ∂_ell u ) * ( ∂_t u )（沿 +t_hat 为正）。
• 平均功率（简谐，幅值 U、速度幅 V）
  单向行波：P_avg = (1/2) * Z * |V|^2 = (1/2) * |F|^2 / Z，F = T_fil * ∂_ell u。
• 结点守恒（无源）
  ∑ P_in = ∑ P_out；两端口无损时 R_ref + T_trans = 1。

X. JSON 片段（与附录B一致）

• 端部阻抗与边界

{

"bc": [

{ "type": "dirichlet", "location": "path_end", "data": { "node_id": "n0", "u_bar": [0,0,0] } },

{ "type": "robin", "location": "path_end",

"data": { "node_id": "n1", "Z_bc": { "model": "KCM",

"K_s": 1.0e4, "C_s": 0.12, "M_t": 0.02 } } }

]

}

• 结点与散射

{

"junctions": [

{

"node_id": "J1",

"model": "star_v_cont",

"ports": [

{ "edge_id": "E1", "Z": 0.75 },

{ "edge_id": "E2", "Z": 0.50 },

{ "edge_id": "E3", "Z": 0.50 }

],

"scattering": { "type": "auto" }

}

]

}

• 摩擦导向（Capstan）

{

"guides": [

{ "id": "G1", "type": "capstan",

"theta_wrap_rad": 2.356, "mu_k": 0.20,

"in_edge": "E4", "out_edge": "E5" }

]

}

XI. 计算流程摘要（Mx-74 对应接口）

• 组装网络：载入路径 gamma(ell)、物性 E,A,rho_m，建图 graph(nodes,edges)。
• 计算各段 Z = rho_l * c 或频率依赖 Z(omega)。
• 将端部元件折算为 Z_bc(omega)，更新端口等效阻抗。
• 对每个结点应用 VII 的散射算子，得到 r_amp,t_amp。
• 检查功率守恒与 R_ref + T_trans = 1；若失配，回溯端部/结点参数。
• 输出网络级响应与边界反力，记录校核量 ΔE_rel 与 delta_form（若涉及 T_arr）。

XII. 常用终端与接口速查表

• 刚性端（夹固）：Z_bc -> ∞，r_amp = +1。
• 自由端（零牵引）：Z_bc = 0，r_amp = -1。
• 阻尼匹配端：Z_bc = Z，r_amp = 0。
• 弹簧端：Z_bc = K_s / ( i * omega )，|r_amp| = | ( K_s/(i*omega) - Z ) / ( K_s/(i*omega) + Z ) |。
• 质量端：Z_bc = i * omega * M_t，|r_amp| = | ( i*omega*M_t - Z ) / ( i*omega*M_t + Z ) |。
• 等阻抗三端结点：r = -1/3，|t| = 2/3，R_ref = 1/9。

XIII. 最小测试用例（单元）

• BC-01 固定-固定弦（长度 L，波速 c）
  基频：f_1 = c / ( 2 * L )；校核端部 r_amp ≈ +1。
• BC-02 自由-自由弦
  基频：f_1 = c / ( 2 * L )；端部 r_amp ≈ -1，但位移腹在端部。
• JC-03 三端等阻抗星结
  R_ref = 1/9 , T_trans = 8/9；功率守恒通过。
• TM-04 匹配阻尼端
  C_s = Z；测得反射峰消失（R_ref ≈ 0）。

XIV. 与主文公式的锚点

• 结点平衡与能量：S72-7、S72-8。
• 两端口反射/透射：S72-9、S72-10、S72-11。
• 动力学方程与波速：S72-5、S72-6。
• 稳定性与步进选取：S72-12（在含耗散边界的显式时间步中一并校核）。