10-EFT.WP.Core.Tension v1.0 | 附录D 公式表与推导

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附录D 公式表与推导

I. 结构与约定

• 本附录按主题分块给出 S72-* 最小方程与派生式，并在各节内提供从守恒律/变分到结果的最短推导路径。
• 统一测度与记号：线 d ell，面 dA，体 dV；路径 gamma(ell)；单位见附录A；数据/几何载体见附录B；边界与连接见附录C。

II. 快速索引（S72-* 一览）

• S72-1 : ∂_ell T_fil + q_tan = 0（线元切向平衡）
• S72-2 : T_fil(ell) = E * A * epsilon(ell) , epsilon = ∂_ell u（一维小应变本构）
• S72-3 : Δp = sigma_s * ( kappa1 + kappa2 )（Young-Laplace）
• S72-4 : sigma_sv = sigma_sl + sigma_lv * cos(theta_c)（Young 接触角）
• S72-5 : rho_l * ∂_tt u = ∂_ell( T_fil * ∂_ell u ) + q（广义弦波动）
• S72-6 : c = sqrt( T0 / rho_l )（均匀弦波速）
• S72-7 : ∑_i T_i * t_hat_i + f_ext = 0（结点力平衡）
• S72-8 : path_energy = ( ∫ ( T_fil * (∂_ell u)^2 / 2 ) d ell )（线元弹性能）
• S72-9 : r_amp = ( Z2 - Z1 ) / ( Z2 + Z1 )（幅度反射系数）
• S72-10 : t_amp = 2 * Z2 / ( Z1 + Z2 )（幅度透射系数）
• S72-11 : R_ref = |r_amp|^2 , T_trans = 1 - R_ref（无损功率守恒）
• S72-12 : Δt ≤ CFL * ( Δell / c_max )（显式稳定步长）
• S72-13 : T_star = T_fil / T_ref（无量纲张力）
• S72-14 : c = L_gamma / T_arr , T_fil = rho_l * c^2（到达时与张力）
• S72-15 : I_F(theta) = E[ (∂_theta log L)^T (∂_theta log L) ]（Fisher 信息）
• S72-16 : cov(theta) ≥ I_F^{-1}(theta)（CRLB）

III. 线元静力与本构（S72-1，S72-2）

1. 假设与控制体
   取线元区间 [ell, ell + d ell]，切向载荷密度 q_tan(ell)，内力为张力 T_fil(ell) 沿 t_hat。
2. 力平衡（忽略高阶）
   • T_fil(ell + d ell) - T_fil(ell) + q_tan(ell) * d ell = 0
   • 两端相减并除以 d ell，得 ∂_ell T_fil + q_tan = 0，即 S72-1。
3. 线性小应变本构
   • 轴向应变 epsilon = ∂_ell u，一维 Hooke 定律 sigma = E * epsilon，轴力 N = sigma * A。
   • 将轴力视为张力近似：T_fil = E * A * ∂_ell u，即 S72-2。
4. 量纲核查
   T_fil 单位 N；E Pa，A m^2，∂_ell u 无量纲；E*A*∂_ell u 为 N。

IV. 膜/界面：Young-Laplace 与接触角（S72-3，S72-4）

1. 曲面两侧压力差与曲率
   • 在小块曲面上取法向平衡：膜张量 sigma_s 对主曲率方向的分量产生等效法向力。
   • 得 Δp = sigma_s * ( kappa1 + kappa2 )，即 S72-3。
2. 接触线处的三相力平衡
   • 固-液-气三界面于接触线投影到固表面的切向平衡：
   • sigma_sv = sigma_sl + sigma_lv * cos(theta_c)，即 S72-4。

V. 动力学与波（S72-5，S72-6）

1. 动量平衡（线密度 rho_l）
   • 取线元 [ell, ell + d ell]，轴向惯性 rho_l * d ell * ∂_tt u。
   • 内力差与外分布力：( T_fil * ∂_ell u )|_{ell}^{ell+d ell} + q * d ell。
   • 推得守恒式：rho_l * ∂_tt u = ∂_ell( T_fil * ∂_ell u ) + q，即 S72-5。
2. 均匀常张力弦
   • 若 T_fil = T0 常数，且 q = 0，有 rho_l * ∂_tt u = T0 * ∂_ellℓ u（记 ∂_ellℓ = ∂_ell ∂_ell）。
   • 平面波 u ~ exp( i*(k*ell - omega*t) ) 代入得 omega^2 = ( T0 / rho_l ) * k^2，故 c = omega / k = sqrt( T0 / rho_l )，即 S72-6。
3. 能流与阻抗
   • 瞬时功率流：P = ( T_fil * ∂_ell u ) * ( ∂_t u )。
   • 单向行波平均功率：P_avg = (1/2) * Z * |V|^2 = (1/2) * |F|^2 / Z，Z = rho_l * c，F = T_fil * ∂_ell u。

VI. 连接、反射与透射（S72-9–S72-11）

1. 边界条件与波分解
   • 在界面处设两侧特性阻抗 Z1,Z2，位移速度连续，牵引平衡。
   • 用入/反/透三波叠加：F = Z * V（力类幅与速度幅关系）。
2. 幅度系数
   解二元线性方程得 r_amp = ( Z2 - Z1 ) / ( Z2 + Z1 )（S72-9），t_amp = 2 * Z2 / ( Z1 + Z2 )（S72-10）。
3. 功率守恒（无损）
   • R_ref = |r_amp|^2，T_trans = 1 - R_ref（S72-11）。
   • 对多端口星形结点，散射矩阵满足幺正性；等阻抗三端时 r = -1/3 , |t| = 2/3。

VII. 结点与路径能（S72-7，S72-8）

1. 结点平衡（静力/谐波等效）
   各分支张力沿切向叠加：∑_i T_i * t_hat_i + f_ext = 0（S72-7）。
2. 弹性能量沿线积分
   • 一维线弹性密度 w = (1/2) * sigma * epsilon = (1/2) * E * epsilon^2，且 epsilon = ∂_ell u。
   • 总能量：path_energy = ( ∫ ( T_fil * (∂_ell u)^2 / 2 ) d ell )（将 T_fil = E*A*epsilon 代入，S72-8）。

VIII. 显式离散与稳定性（S72-12）

1. 空间离散
   均匀网格 Δell，中心差分 ∂_ellℓ u ≈ ( u_{j+1} - 2*u_j + u_{j-1} ) / (Δell)^2。
2. 时间离散（显式二阶）
   • 记 c_j = sqrt( T0_j / rho_l_j )，c_max = max_j c_j。
   • Von Neumann 分析给出稳定条件
   • Δt ≤ CFL * ( Δell / c_max ) , 0 < CFL ≤ 1（S72-12）。
3. 离散能量核查（无源）
   定义离散能量 E^n = (1/2) * ∑_j [ rho_l * ( (u_j^{n+1} - u_j^{n}) / Δt )^2 + T0 * ( (u_{j+1}^{n} - u_j^{n}) / Δell )^2 ] * Δell，应满足 E^{n+1} - E^n ≤ 0（含阻尼/匹配端）。

IX. 归一化与到达时（S72-13，S72-14）

1. 无量纲化
   参考张力 T_ref 与尺度化：T_star = T_fil / T_ref（S72-13）。
2. 到达时标定与张力
   传播速度 c = L_gamma / T_arr；由 c^2 = T_fil / rho_l 得 T_fil = rho_l * ( L_gamma / T_arr )^2（S72-14）。
3. 到达时两口径与一致性
   • 常量外提：T_arr = ( 1 / c_ref ) * ( ∫ n_eff d ell )；一般口径：T_arr = ( ∫ ( n_eff / c_ref ) d ell )。
   • 记录差异：delta_form = | ( 1 / c_ref ) * ( ∫ n_eff d ell ) - ( ∫ ( n_eff / c_ref ) d ell ) |。

X. 端口等效阻抗与边界映射（与附录C一致）

• Dirichlet（夹固）：Z_bc -> ∞，r_amp -> +1。
• Neumann（自由）：Z_bc = 0，r_amp = -1。
• Robin：alpha * u + beta * ( T_fil * ∂_ell u ) = 0 ⇒ Z_bc(omega) = ( beta^{-1} ) * alpha / ( i * omega )。
• 端部元件合成：Z_bc(omega) = K_s / ( i * omega ) + C_s + i * omega * M_t；匹配端为 C_s = Z。

XI. 摩擦导向（Capstan）与滑移阈值

• 圆柱导向上平衡微元，切向摩擦 dT = ± mu_k * N，法向 N = T * d theta。
• 分离变量积分得 T_out = T_in * exp( ± mu_k * theta_wrap )。
• 线—线滑结阈值：|ΔT| ≤ T_lock 锁止，否则进入上式滑移。

XII. 两端口与多端口散射的统一推导

1. 两端口
   • 条件：V1 = V2（速度连续），F1 + F2 = 0（力平衡），F = Z * V。
   • 解得 S72-9，S72-10，并由功率定义证明 S72-11。
2. 星形 N 端口
   • 记入射幅 a_i、出射幅 b_i，V_i = ( a_i - b_i ) / Z_i，F_i = a_i + b_i。
   • 结点条件：V_i = v_node，∑_i F_i = 0。
   • 消元得 b_i = a_i - ( 2 * Z_i / Z_sum ) * ( ∑_j a_j ) , Z_sum = ∑_k Z_k。
   • 单端口入射 m：r_mm = ( Z_sum - 2 * Z_m ) / Z_sum , t_im = - 2 * Z_i / Z_sum (i ≠ m)。

XIII. 识别与信息界（S72-15，S72-16）

1. 似然与 Fisher 信息
   • 设观测 y 由模型 y ~ p( y | theta )（如到达时、模态频率或频域响应）。
   • I_F(theta) = E[ (∂_theta log L)^T (∂_theta log L) ]，L = p(y|theta)（S72-15）。
2. CRLB
   任意无偏估计 hat{theta} 的协方差下界：cov(hat{theta}) ≥ I_F^{-1}(theta)（S72-16）。
3. 到达时单参数示例（简化）
   • 模型 T_arr = L_gamma / sqrt( T_fil / rho_l )，观测噪声方差 sigma_T^2。
   • ∂_{T_fil} T_arr = - ( L_gamma / 2 ) * ( rho_l^{-1/2} ) * T_fil^{-3/2}。
   • I_F(T_fil) = ( (∂_{T_fil} T_arr)^2 ) / sigma_T^2，由此得 var(hat{T_fil}) ≥ 1 / I_F(T_fil)。

XIV. 量纲与一致性速查

• Z = rho_l * c：[kg/m] * [m/s] = [kg/s]，与力/速度比一致。
• path_energy：[N] * (无量纲)^2 * [m] = [J]。
• R_ref + T_trans = 1：无量纲功率比和为 1（无损）。

XV. 常用派生与替换表

• 将 S72-2 代入 S72-5（常 E,A）：rho_l * ∂_tt u = ∂_ell( E * A * ∂_ell u ) + q。
• 将 c = L_gamma / T_arr 代入 Z = rho_l * c：Z = rho_l * L_gamma / T_arr，用于到达时直接估算端口匹配。
• 有限段特性阻抗不均匀时的本地反射近似：r_loc(ell) ≈ ( Z(ell + Δell) - Z(ell) ) / ( Z(ell + Δell) + Z(ell) )（渐变假设）。

XVI. 推导所用前置公设与锚点

• 测度显式与单位守恒：P71-1，P71-2。
• 边界条件显式与无损守恒：P71-3，以及 R_ref + T_trans = 1 的强制校核。
• 与配套白皮书《能量丝》中的到达时两口径保持一致，并记录 delta_form。