02-EFT.WP.Core.Equations v1.1 | 第8章 统计与粗粒化

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第8章 统计与粗粒化

I. 章节目标与范围

• 统一 avg_t[·]、avg_V[·]、avg_gamma[·] 的严格定义、窗口参数与可交换条件。
• 从强式守恒方程推导平均后的最小方程 S80-*，并给出通量分解与封闭口径。
• 与第2章到达时、 第4/5章控制方程、 第7章弱式模板无缝对接；所有量纲按《Core.Terms》第6章执行。

II. 平均与滤波算子（S80-1）

• 时间平均
  avg_t[f; Δt](t) def= ( 1 / Δt ) * ( ∫_{t-Δt/2}^{t+Δt/2} f(τ) d τ )。
  要求 Δt > 0 且窗口对称，测度为 d τ。
• 体平均
  avg_V[f; V](x) def= ( 1 / |V| ) * ( ∫_{V} f(ξ) d V )，|V| def= ( ∫_{V} 1 d V )。
• 路径平均
  L_gamma def= ( ∫_{gamma(ell)} 1 d ell )；
  avg_gamma[f] def= ( 1 / L_gamma ) * ( ∫_{gamma(ell)} f d ell )。
• S80-1（标准化公理）
  avg_t[1]=1，avg_V[1]=1，avg_gamma[1]=1；线性与正性保持；窗口参数必须在式内显式标注。

III. Reynolds 分解与尺度分离（S80-2）

• 分解
  对任意标量或分量 q，定义 bar_q def= avg_t[q; Δt] 或 avg_V[q; V]；扰动 tilde_q def= q - bar_q。
  则 avg_t[tilde_q]=0、avg_V[tilde_q]=0。
• 乘积平均与子格项
  avg[ a * b ] = bar_a * bar_b + τ(a,b)，其中 τ(a,b) def= avg[ (a - bar_a) * (b - bar_b) ] 为子格协方差（封闭项）。

IV. 平均后的守恒母式（S80-3）

• 强式母式（见第5章）
  ∂_t q + div( J_q ) = S_q on Ω。
• S80-3（平均守恒式）
  在时间平均下：
  ∂_t bar_q + div( bar_J_q ) = bar_S_q + R_t，其中 bar_q def= avg_t[q; Δt]，bar_J_q def= avg_t[J_q; Δt]，
  R_t def= avg_t[∂_t q; Δt] - ∂_t avg_t[q; Δt] 为时间交换余项。
  在体平均下：
  ∂_t bar_q + div( bar_J_q ) = bar_S_q + ( 1 / |V| ) * ( ∫_{∂V} ( J_q · nu ) d A ) + R_x，
  R_x def= avg_V[ div(J_q); V ] - div( avg_V[J_q; V] )。

V. 通量分解与封闭（S80-4）

• 分解
  bar_J_q = J_q( bar_vars ) + J_sgs^q，其中 J_q( bar_vars ) 以平均量代入原型，J_sgs^q def= bar_J_q - J_q( bar_vars )。
• 最小梯度扩散封闭
  J_sgs^q approx - K_sgs^q * grad[ bar_q ]，K_sgs^q ≥ 0，dim(K_sgs^q) = [L]^2 / [T]。
  系数 K_sgs^q 可由经验或独立方程决定（见《Methods.*》），但不得与第4章的 K_T 混淆。

VI. 平均与微分的交换条件（P80-1，S80-5）

• P80-1（交换充分条件）
  当窗口常数、场 q 在窗口内连续可积且边界项满足第6章的零通量或周期条件，则
  avg_t[∂_t q; Δt] = ∂_t avg_t[q; Δt]，avg_V[ grad[q]; V ] = grad[ avg_V[q; V] ]。
• S80-5（一般残差表示）
  R_t = ( 1 / Δt ) * ( q(t+Δt/2) - q(t-Δt/2) ) - ∂_t bar_q；
  R_x = ( 1 / |V| ) * ( ∫_{∂V} ( ( q - bar_q ) * u_n ) d A )（当 J_q = u * q 型时，u_n def= u · nu）。

VII. 路径平均与到达时（S80-6）

• 等价重写
  T_arr = ( ∫_{gamma(ell)} ( n_eff / c_ref ) d ell ) = L_gamma * avg_gamma[ n_eff / c_ref ]。
  由此 S20-* 的可加性直接对应 gamma = ⋃ gamma_k 时的分段平均：
  T_arr = ( ∑_k L_{gamma_k} * avg_{gamma_k}[ n_eff / c_ref ] )。
• 离散实现（对接 I20-4）
  给离散段 ds_i 与样值 n_eff_i：
  T_arr = ( ∑_i ( n_eff_i / c_ref ) * ds_i ) = L_gamma * ( ∑_i ( ( n_eff_i / c_ref ) * ds_i ) / L_gamma )。

VIII. 窗口与体域的参数化卡片（S80-7）

• 时间窗口：Δt = α_t * t0，推荐 α_t ∈ [10, 100]。
• 空间体域：|V| = α_x * L0^d（d 为空间维数），推荐 α_x ∈ [10, 10^3]。
• 路径子段：ds_max ≤ β * L0，推荐 β ∈ [10^{-3}, 10^{-2}]。
  以上参数需在方程或表格中显式标注，避免隐式默认。

IX. 量纲与无量纲化（S80-8）

• 量纲闭合
  dim( avg_t[q] ) = dim(q)，dim( avg_V[q] ) = dim(q)，dim( avg_gamma[q] ) = dim(q)。
• 无量纲映射
  bar_t := ( t / t0 )，bar_x := ( x / L0 )，bar_q := ( q / q0 )，
  则 avg_{bar_t}[ bar_q ; Δbar_t ] = ( 1 / Δbar_t ) * ( ∫ bar_q d bar_t )，与有量纲形式同构。

X. 与弱式的接口（承接第7章，S80-9）

XI. 数值实现绑定（I20- 对齐）*

• 时间平均离散
  avg_t[q; Δt] ≈ ( 1 / N_t ) * ( ∑_{k=1}^{N_t} q^{n-k} )；N_t = round( Δt / Δt_num )。
• 体平均离散
  avg_V[q; V] ≈ ( 1 / |V| ) * ( ∑_{c ∈ V} q_c * |V_c| )。
• 路径平均离散
  avg_gamma[f] ≈ ( ∑_{i} f_i * ds_i ) / ( ∑_{i} ds_i )，随后用 propagate_time( n_eff_path, ds, c_ref ) 校核 T_arr。
• 接口对应
  将 K_sgs^q、窗口参数作为 coeffs 传入 assemble_operator；compare_solutions(..., metrics=["L2","L_inf","T_arr"]) 评估粗粒化误差。

XII. Lint 与禁用清单

• 禁止省略窗口与体域：avg_t[·] 必须写 Δt，avg_V[·] 必须写 V。
• 禁止非规范到达时：必须写 ( ∫_{gamma(ell)} ( n_eff / c_ref ) d ell ) 与 gamma(ell)、d ell。
• 禁止符号混用：n 与 n_eff、T_fil 与 T_trans 严禁互代。
• 禁止未闭合封闭：若出现 τ(a,b) 或 J_sgs^q，必须给出明确封闭或参数路径。

XIII. 可注册条目与示例

• register_equation("S80-1","definitions of avg_t/avg_V/avg_gamma (normalized integrals)","definition",anchors=["§II"],depends=[])
• register_equation("S80-3","∂_t bar_q + div(bar_J_q) = bar_S_q + R_t (+ boundary term for V)","strong",anchors=["§IV"],depends=["S50-*","S60-*"])
• register_equation("S80-4","bar_J_q = J_q(bar_vars) + J_sgs^q ; J_sgs^q approx - K_sgs^q * grad[bar_q]","model",anchors=["§V"],depends=["S50-*"])
• register_equation("S80-6","T_arr = L_gamma * avg_gamma[n_eff / c_ref]","identity",anchors=["§VII"],depends=["S20-*"])
• register_equation("S80-9","time-averaged weak form with J_sgs^q and R_t","weak",anchors=["§X"],depends=["S70-*","S50-*"])