02-EFT.WP.Core.Equations v1.1 | 第7章 变分与弱式

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第7章 变分与弱式

I. 章节目标与范围

• 统一本卷的变分记号、弱式模板与函数空间约定，覆盖 T_fil(x,t)、rho(x,t) 等主场量。
• 建立强式 → 弱式的一般化流程；明确 ∂Ω_D / ∂Ω_N / ∂Ω_R 在弱式中的角色，并与第6章保持一致。
• 给出可注册的最小方程编号 S70-* 与公设 P70-*，便于实现绑定 I20-* 与跨卷引用。

II. 变分记号与函数空间（S70-1）

• 试验空间 V def= { w | w = 0 on ∂Ω_D }；未知量空间 U def= { q | q = g_D^q on ∂Ω_D }。
• 体内积：inner_Ω[u,v] def= ( ∫_{Ω} u * v d V )。
• 边内积：inner_∂Ω[u,v] def= ( ∫_{∂Ω} u * v d A )。
• 泛函与变分：Lagr[q]；delta[Lagr; q](w) def= ( d/dε |_{ε=0} Lagr[q + ε w] )。

III. 强式到弱式的通用模板（S70-2）

• 强式母式（占位）
  ∂_t q + div( J_q ) = S_q on Ω，其中 J_q 与 S_q 可依具体物理定义（见第4/5章）。
• S70-2（弱式模板）
  取任意 w ∈ V，则
  weak= inner_Ω[w, ∂_t q] + ( ∫_{Ω} grad[w] · J_q d V ) - ( ∫_{∂Ω} w * ( J_q · nu ) d A ) = inner_Ω[w, S_q]。
  在 ∂Ω_N 或 ∂Ω_R 上用第6章给出的通量表达替代 J_q · nu；在 ∂Ω_D 上 w=0。

IV. 公设与符号隔离（P70-1 ~ P70-2）

• P70-1（符号隔离公设）
  T_fil 专指张力场；T_trans 专指透射系数；c_ref 专指参考传播上限；n 专指数密度；n_eff 专指有效折射率。上述符号在同一上下文中不得互换或重载。
• P70-2（弱式记号公设）
  weak= 用于分布意义的等式；inner_Ω[·,·]、inner_∂Ω[·,·] 分别表示 Ω 与 ∂Ω 上的 L2 内积；V 的定义必须蕴含 w=0 on ∂Ω_D。

V. 张度场弱式（承接第4章，S70-3）

• 强式示例（参考第4章）
  ∂_t T_fil + div( J_T ) = S_T on Ω，其中 J_T def= - K_T * grad[T_fil] + U_T * T_fil。
• S70-3（弱式）
  对 w ∈ V：
  weak= inner_Ω[w, ∂_t T_fil] + ( ∫_{Ω} grad[w] · ( - K_T * grad[T_fil] + U_T * T_fil ) d V ) = inner_Ω[w, S_T] + ( ∫_{∂Ω_N} w * g_N^{T} d A ) + ( ∫_{∂Ω_R} w * ( - h_T * ( T_fil - T_env ) ) d A )。
  其中 g_N^{T} def= ( J_T · nu ) on ∂Ω_N，h_T ≥ 0（见第6章）。

VI. 连续性与输运弱式（承接第5章，S70-4）

• 强式示例（参考第5章）
  ∂_t rho + div( J_rho ) = S_rho，J_rho def= - D_rho * grad[rho] + V_rho * rho。
• S70-4（弱式）
  对 w ∈ V：
  weak= inner_Ω[w, ∂_t rho] + ( ∫_{Ω} grad[w] · ( - D_rho * grad[rho] + V_rho * rho ) d V ) = inner_Ω[w, S_rho] + ( ∫_{∂Ω_N} w * g_N^{rho} d A ) + ( ∫_{∂Ω_R} w * ( - h_rho * ( rho - rho_env ) ) d A )。

VII. 由驻值原理得到弱式（S70-5）

• 能量型泛函（自伴随情形；系数可时变但在一时层内固定）：
  Lagr[q] def= ( 1/2 ) * ( ∫_{Ω} ( grad[q] · K * grad[q] + c_q * q * q ) d V ) - ( ∫_{Ω} f_q * q d V ) - ( ∫_{∂Ω_N} g_N^q * q d A )。
• S70-5（Euler-Lagrange 弱式）
  delta[Lagr; q](w) = 0 for all w ∈ V 等价于
  weak= ( ∫_{Ω} grad[w] · ( K * grad[q] ) d V ) + inner_Ω[w, c_q * q] = inner_Ω[w, f_q] + ( ∫_{∂Ω_N} w * g_N^q d A )。
  如需时变项 ∂_t q，可采用时层上的 inner_Ω[w, ( q^{n+1} - q^{n} ) / Δt ] 近似并入 Lagr 的离散化。

VIII. 路径约束与到达时挂接（S70-6）

1. 路径约束泛函
   对路径 gamma(ell) 与目标到达时 T_arr^*，引入乘子 λ：
   Lagr_path[q, λ] def= Lagr[q] + λ * ( ( ∫_{gamma(ell)} ( n_eff(q) / c_ref ) d ell ) - T_arr^* )。
2. S70-6（约束驻值条件）
   delta[Lagr_path; q, λ](w, μ) = 0 给出
   • delta[Lagr; q](w) + λ * ( ∫_{gamma} ( ( ∂ n_eff / ∂ q ) * w / c_ref ) d ell ) = 0；
   • ( ∫_{gamma} ( n_eff(q) / c_ref ) d ell ) - T_arr^* = 0。
     其中 ( ∂ n_eff / ∂ q ) 由 n_eff def= F_map(T_fil, ...) 的可导性给出（见第3章）。

IX. 量纲与无量纲弱式（S70-7）

• S70-7（量纲闭合）
  dim( inner_Ω[w, ∂_t q] ) = dim( inner_Ω[w, S_q] )；dim( ∫_{Ω} grad[w] · J_q d V ) = dim( inner_Ω[w, S_q] )。
• 无量纲化映射（与《Core.Terms》第6章一致）
  bar_x := ( x / L0 ), bar_t := ( t / t0 ), bar_q := ( q / q0 )，则弱式各项均按同一尺度变换；边界项出现 Bi_q（Biot 类量，见第6章）。

X. 数值离散与装配对接（I20-2）

1. 质量与刚度型算子：
   M[w,q] def= inner_Ω[w, q]；A[w,q] def= ( ∫_{Ω} grad[w] · K * grad[q] d V )；C[w,q] def= inner_Ω[w, c_q * q]。
2. 实现映射：
   • assemble_operator("mass", grid, coeffs={"ρ":1}) -> LinOp 映射 M；
   • assemble_operator("stiffness", grid, coeffs={"K":K}) -> LinOp 映射 A；
   • bc_dirichlet / bc_neumann 对应第6章边界项；Robin 通过等效通量加入。
3. 序列建议：离散路径 gamma(ell) 得 ( n_eff_path, ds ) → propagate_time(n_eff_path, ds, c_ref)，用于约束或后验评估 T_arr。

XI. Lint 与禁用清单

• 禁止省略域与边界：必须显式给出 Ω 与 ∂Ω_*。
• 禁止缺括号：例如 ( ∫ ( n_eff / c_ref ) d ell ) 必须成对括号并给出 gamma(ell) 与 d ell。
• 禁止符号混用：T_fil 与 T_trans、n 与 n_eff 不得互换（见 P70-1）。
• 禁止未约束的试验空间：V 必须包含 w=0 on ∂Ω_D 的条件（见 P70-2）。

XII. 可注册条目与实现绑定（I20- 对齐）*

1. 典型登记：
   • register_equation("S70-2", "weak= inner_Ω[w, ∂_t q] + ∫_Ω grad[w] · J_q d V - ∫_∂Ω w*(J_q·nu) d A = inner_Ω[w, S_q]", "weak", anchors=["§III"], depends=["S60-1"])
   • register_equation("S70-3", "weak form of T_fil", "weak", anchors=["§V"], depends=["S40-*","S60-*"])
   • register_equation("S70-6", "delta[Lagr_path]=0 with arrival-time constraint", "weak", anchors=["§VIII"], depends=["S20-*","S30-*"])
2. 量纲校验：check_dim_equation("inner_Ω[w, ∂_t q] = inner_Ω[w, S_q] - ∫_Ω grad[w] · J_q d V") -> "[w]*[q]/[t]"（与右端一致）。

XIII. 最小工作示例（从强式到弱式到装配）

1. 强式：∂_t q - div( K * grad[q] ) = f_q on Ω，q = g_D^q on ∂Ω_D，- K * grad[q] · nu = g_N^q on ∂Ω_N。
2. 弱式：
   weak= inner_Ω[w, ∂_t q] + ( ∫_{Ω} grad[w] · K * grad[q] d V ) = inner_Ω[w, f_q] + ( ∫_{∂Ω_N} w * g_N^q d A )。
3. 装配口径：
   • 质量算子 M 与刚度算子 A；载荷向量 b 由 f_q 与边界通量构成。
   • 施加 bc_dirichlet 于 ∂Ω_D；时间推进用 solve_linear / solve_nonlinear。
4. 到达时后验（如 n_eff = F_map(T_fil, ...)）：更新 n_eff(x,t) → 采样路径 gamma(ell) → 计算 T_arr = propagate_time(n_eff_path, ds, c_ref)，与目标对比或进入 S70-6 的约束循环。