02-EFT.WP.Core.Equations v1.1 | 第6章 边界与初始条件

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第6章 边界与初始条件

I. 章节目标与范围

• 统一给出 q(x,t)（覆盖 rho(x,t)、E(x,t)、T_fil(x,t) 等）在域 Ω 上的边界与初始条件模板，含强式、弱式、相容性与实现绑定。
• 边界分类采用 ∂Ω = ∂Ω_D ∪ ∂Ω_N ∪ ∂Ω_R；外法向为 nu；通量统一写作 J_q(x,t)，源项为 S_q(x,t)（见第5章）。

II. 边界分解与符号（S60-1）

III. Dirichlet 条件（S60-2）

1. S60-2（强式）
   q(x,t) = g_D^q(x,t) on ∂Ω_D × (0,t_end]
2. 适用与示例
   • 固定场值：T_fil = T_ref；密度钳制：rho = rho_ref。
   • 单位与量纲需与对应 q 一致（见《Core.Terms》第6章）。

IV. Neumann 条件（S60-3）

1. S60-3（强式）
   J_q(x,t) · nu(x) = g_N^q(x,t) on ∂Ω_N × (0,t_end]
2. 说明
   • 对扩散通量 J_q = - D_q * grad[q]，则 - D_q * grad[q] · nu = g_N^q。
   • 纯 Neumann 问题需配以积分约束以保证可解性（见 P60-2）。

V. Robin（对流换热式）条件（S60-4）

• S60-4（强式）
  J_q · nu + h_q * ( q - q_env ) = 0 on ∂Ω_R × (0,t_end]，其中 h_q ≥ 0。
• 实现化（与 I20-2 对齐）
  可重写为等效 Neumann：J_q · nu = - h_q * ( q - q_env ) 并在装配中并入边界线性算子。

VI. 界面与内边界条件（S60-5）

1. S60-5（跨介质界面 jump 条件）
   设界面 Γ_int 将 Ω 分为 Ω^- 与 Ω^+，取法向从 Ω^- 指向 Ω^+：
   • 场的连续性（可选）：[[ q ]]_Γ def= q^+ - q^- = 0。
   • 通量守恒（必选）：[[ J_q · nu ]]_Γ = 0。
2. 各向异性情形
   若 J_q = - K(x) * grad[q]，则需采用 nu · K * grad[q] 的连通条件。

VII. 初始条件与一致性（S60-6）

• S60-6（初始条件强式）
  q(x,0) = q_init(x) on Ω
• 与边界一致性
  q_init 在 ∂Ω_D 上应满足 q_init(x) = g_D^q(x,0)；在 ∂Ω_N 上满足 J_q(x,0) · nu = g_N^q(x,0)（若已定义）。

VIII. 弱式嵌入与自然边界（S60-7）

IX. 相容性与适定性（P60-1 ~ P60-3）

• P60-1（符号与量纲一致）
  dim( g_N^q ) = dim( J_q · nu )，dim( h_q * ( q - q_env ) ) = dim( J_q · nu )。
• P60-2（纯 Neumann 相容条件）
  若 ∂Ω = ∂Ω_N 且无源项，则需满足
  ( ∫_{∂Ω} g_N^q d A ) = ( ∫_{Ω} S_q d V )；否则解不存在或不唯一。
• P60-3（角点与边界交叠优先级）
  在 ∂Ω_D ∩ ∂Ω_N 的测度零集合上，优先级为 Dirichlet > Robin > Neumann；数值实现中以投影或惩罚一致。

X. 与张度场的特化（S60-8）

1. S60-8（T_fil(x,t) 的边界族）
   • Dirichlet：T_fil = T_ref（固定张度势）。
   • Neumann：grad[T_fil] · nu = g_N^{T}（指定张度梯度法向分量）。
   • Robin：- k_Tn * grad[T_fil] · nu + h_T * ( T_fil - T_env ) = 0。
2. 映射一致性
   若 n_eff def= F_map(T_fil, ...)（见第3章），边界上的 T_fil 与其法向梯度将通过 F_map 影响传播与 T_arr。

XI. 路径端点与到达时挂接（S60-9）

1. 端点条件
   对路径 gamma(ell)，端点记为 x_src = gamma(0)，x_rec = gamma(L_gamma)：
   • 起点规范：q( gamma(0), t ) = q_src(t) 或 J_q( gamma(0), t ) · tau = g_src(t)，其中 tau 为切向。
   • 终点规范：q( gamma(L_gamma), t ) = q_rec(t) 或 J_q( gamma(L_gamma), t ) · tau = g_rec(t)。
2. 与到达时 T_arr 的一致性
   当 T_arr = ( ∫_{gamma} ( n_eff / c_ref ) d ell )，若端点条件改变 n_eff，则需重新评估 ( n_eff_path, ds ) 并调用 propagate_time。

XII. 无量纲化的边界与初始条件（S60-10）

1. 尺度映射（与《Core.Terms》第6章一致）
   bar_x := ( x / L0 ), bar_t := ( t / t0 ), bar_q := ( q / q0 )。
2. 无量纲边界/初值
   • Dirichlet：bar_q = ( g_D^q / q0 )。
   • Neumann：( J_q · nu ) / J0 = ( g_N^q / J0 )，其中 J0 def= q0 * L0 / t0（扩散主导情形可取 J0 := D_char * q0 / L0）。
   • Robin：( J_q · nu ) / J0 + Bi_q * ( bar_q - bar_q_env ) = 0，Bi_q def= ( h_q * L0 / J0 )。
   • 初值：bar_q(x,0) = ( q_init(x) / q0 )。

XIII. Lint 与禁用写法

• 禁止使用裸 "c", "T", "n" 指代多义量；统一写作 c_ref, T_fil, n_eff 或在行内明确（见全局设定）。
• 禁止省略边界集合与法向，如写作 J_q = g_N；应写 J_q · nu = g_N^q on ∂Ω_N。
• 禁止缺括号与路径缺省的积分，如 ∫ n_eff d ell / c_ref；应写 ( ∫ ( n_eff / c_ref ) d ell ) 并标注 gamma(ell) 与 d ell。
• 禁止混用 T_fil 与 T_trans；n 不得替代 n_eff。

XIV. 实现绑定与装配（I20-2 对齐）

1. 边界接口
   • Dirichlet：bc_dirichlet(mask:any, value:any) -> BC。
   • Neumann：bc_neumann(mask:any, flux:any) -> BC。
   • Robin 通过等效 Neumann 实现：在 mask 上设置 flux := - h_q * ( q - q_env )，或在离散边界算子中加入 h_q 项。
2. 注册示例
   register_equation("S60-2", "q = g_D^q on ∂Ω_D", "bc", anchors=["§VI"], depends=["S50-1"])
   register_equation("S60-3", "J_q · nu = g_N^q on ∂Ω_N", "bc", anchors=["§IV"], depends=["S50-1"])
3. 量纲校验
   check_dim_equation("J_q · nu = g_N^q") -> "[J_q]"，应与 g_N^q 一致（见 P60-1）。

XV. 最小工作示例（密度输运的 BC/IC 套餐）

1. 强式方程（承接第5章）
   ∂_t rho - div( D_rho * grad[rho] ) = S_rho on Ω
2. 边界与初值
   • rho = rho_ref on ∂Ω_D；
   • - D_rho * grad[rho] · nu = g_N^{rho} on ∂Ω_N；
   • - D_rho * grad[rho] · nu + h_rho * ( rho - rho_env ) = 0 on ∂Ω_R；
   • rho(x,0) = rho_init(x) on Ω。
3. 弱式装配
   weak= ( ∫_{Ω} w * ∂_t rho d V ) + ( ∫_{Ω} D_rho * grad[w] · grad[rho] d V ) = ( ∫_{Ω} w * S_rho d V ) + ( ∫_{∂Ω_N} w * g_N^{rho} d A ) + ( ∫_{∂Ω_R} w * ( - h_rho * ( rho - rho_env ) ) d A )。
4. 实现序列
   • 用 bc_dirichlet 施加 ∂Ω_D；用 bc_neumann 施加 ∂Ω_N；
   • 将 Robin 改写为等效通量后并入 bc_neumann 或装配边界算子；
   • solve_* 时间推进；如需评估到达时，依据更新后的 n_eff(x,t) 沿 gamma(ell) 生成 ( n_eff_path, ds )，调用 propagate_time(n_eff_path, ds, c_ref)。