02-EFT.WP.Core.Equations v1.1 | 第5章 连续性与输运

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第5章 连续性与输运

I. 章节目标与范围

• 建立守恒量 q(x,t)（覆盖 rho(x,t) 与能量密度 E(x,t)）的连续性与输运最小方程，给出强式、弱式、边界模板与无量纲化口径。
• 统一通量记为 J_q(x,t)，源项记为 S_q(x,t)；所有符号与公式为英文纯文本，内联用反引号。

II. 通用守恒母式与命名（S50-1）

• S50-1（强式守恒母式）
  ∂_t q(x,t) + div[ J_q(x,t) ] = S_q(x,t) on Ω × (0,t_end]
• 对象与专名
  q ∈ { rho, E }；对应通量 J_rho, J_E 与源项 S_rho, S_E。避免与第4章的 J_T 混淆。

III. 质量密度连续性（S50-2 ~ S50-3）

1. S50-2（密度连续性强式）
   ∂_t rho + div[ J_rho ] = S_rho on Ω × (0,t_end]
2. S50-3（通量闭合族）
   • Diffusion（各向同性）：J_rho, diff def= - D_rho * grad[rho]，D_rho ≥ 0。
   • Anisotropic diffusion：J_rho, aniso def= - D_parallel * grad_parallel[rho] - D_perp * grad_perp[rho]，与第4章之平行/垂直分解一致：
     grad_parallel[f] def= ( p · grad[f] ) * p，grad_perp[f] def= grad[f] - grad_parallel[f]。
   • Tension-phoretic drift（与 T_fil 耦合）：J_rho, phor def= - chi_rhoT * rho * grad[T_fil]，chi_rhoT 为耦合系数。
   • 合成：J_rho def= J_rho, diff + J_rho, aniso + J_rho, phor（按需取子集）。

IV. 能量输运最小方程（S50-4 ~ S50-5）

1. 能量密度定义
   E(x,t) def= energy density（单位依所选计量体系，见《Core.Terms》第6章）。
2. S50-4（能量连续性强式）
   ∂_t E + div[ J_E ] = S_E on Ω × (0,t_end]
3. S50-5（能量通量闭合族）
   • Conduction（Fourier 型）：J_E, cond def= - k_E * grad[E]，k_E ≥ 0。
   • Cross-coupling to tension：J_E, cross def= - chi_ET * E * grad[T_fil]。
   • 合成：J_E def= J_E, cond + J_E, cross。

V. 边界与初始条件模板（S50-6）

• Dirichlet（定值）
  q(x,t) = g_D^q(x,t) on ∂Ω_D × (0,t_end]
• Neumann（通量）
  J_q(x,t) · nu = g_N^q(x,t) on ∂Ω_N × (0,t_end]
• Robin（对流换热式）
  J_q · nu + h_q * ( q - q_env ) = 0 on ∂Ω_R × (0,t_end]
• 初始条件
  q(x,0) = q_init(x) on Ω

VI. 全局守恒检核（P51-1）

VII. 弱式与装配（S50-7）

1. S50-7（弱式通用）
   取试验函数 w ∈ V：
   weak= ( ∫_{Ω} w * ∂_t q d V ) + ( ∫_{Ω} grad[w] · J_q d V ) = ( ∫_{Ω} w * S_q d V ) + ( ∫_{∂Ω_N} w * g_N^q d A )
2. 装配要点（与 I20-2/I20-3 对齐）
   • Diffusion 刚度项：( ∫_{Ω} grad[w_i] · ( D_eff * grad[w_j] ) d V )，D_eff 为 D_rho 或 k_E 等等。
   • Cross-coupling 非对称项：( ∫_{Ω} grad[w_i] · ( chi * q * grad[T_fil] ) d V )，注意数值稳定性。

VIII. 统计平均与粗粒化相容性（P51-2 ~ P51-3）

• P51-2（时间平均相容）
  在固定边界与充分平稳假设下：
  avg_t[ ∂_t q ; Δt ] approx 0，且 avg_t[ div[J_q] ; Δt ] = div[ avg_t[J_q ; Δt] ]。
• P51-3（体平均相容）
  d/dt ( avg_V[q; V=Ω] ) = ( - 1/|Ω| ) * ( ∫_{∂Ω} J_q · nu d A ) + ( 1/|Ω| ) * ( ∫_{Ω} S_q d V )。

IX. 无量纲化与特征群

• 映射（与《Core.Terms》第6章一致）
  bar_x := ( x / L0 ), bar_t := ( t / t0 ), bar_q := ( q / q0 )。
• 无量纲方程
  ∂_{bar_t} bar_q + div[ - Pe_q^{-1} * grad[bar_q] + Abar_q(·) ] = Da_q * Sbar_q，
  其中 Pe_q^{-1} := ( D_char * t0 / L0^2 )，Da_q := ( t0 / τ_src )。Abar_q(·) 汇集无量纲 drift 项。

X. 路径平均与到达时链接（S50-8）

• 路径平均密度
  avg_gamma[q] def= ( 1 / L_gamma ) * ( ∫_{gamma} q d ell )，L_gamma = ( ∫_{gamma} 1 d ell )。
• 一维路径输运母式（以弧长 ell 为参数）
  ∂_t q + D_ell J_q = S_q on gamma(ell)；
  当 J_q = - D_q * D_ell q 时，∂_t q - D_q * D_ell^2 q = S_q。
• 与到达时一致性（见第2章）
  若 n_eff 依赖 q，则 T_arr = ( ∫_{gamma} ( n_eff(q,...) / c_ref ) d ell ) 的灵敏度为
  delta[T_arr] = ( ∫_{gamma} ( ( ∂ n_eff / ∂ q ) * delta[q] / c_ref ) d ell )。

XI. 量纲闭合与正性条件（P51-4 ~ P51-5）

• P51-4（量纲闭合）
  dim( ∂_t q ) = dim( div[J_q] ) = dim( S_q )；dim( D_rho ) = [L^2]/[T]，dim( k_E ) = [L^2]/[T] * dim(E)/dim(E)。
• P51-5（最大值原理与非负性）
  纯扩散且 S_q ≥ 0 时，若 q_init ≥ 0 且 J_q · nu ≥ 0 on ∂Ω，则解保持非负。

XII. Lint 与禁用写法

• 禁止使用裸 "c", "T", "n" 指代多义量；写作 c_ref, T_fil, n 或 n_eff 并在行内明确。
• 禁止缺括号与路径缺省的积分表达，如 ∫ q d ell / c_ref；应写 ( ∫ ( q / c_ref ) d ell ) 并标注 gamma(ell) 与 d ell。
• 禁止未闭合的通量定义（如 J_q = - D * grad）；需写 J_q = - D * grad[q]。

XIII. 实现绑定与回归（I20- 对齐）*

• 注册与校验
  register_equation("S50-1", "∂_t q + div[J_q] = S_q", "strong", anchors=[...], depends=["S40-*","S20-*"])。
  validate_equation 与 check_dim_equation 检查符号与量纲闭合。
• 装配
  Diffusion 刚度由 assemble_operator("stiffness", grid, {D_char})；Neumann/Dirichlet 由 bc_neumann/bc_dirichlet。
• 路径与到达时回归
  当 n_eff(q,...) 给定，沿路径离散得到 n_eff_path 与 ds，调用 propagate_time(n_eff_path, ds, c_ref) 校核 T_arr 一致性。

XIV. 最小工作示例（密度输运）

• 强式
  ∂_t rho - div( D_rho * grad[rho] + chi_rhoT * rho * grad[T_fil] ) = S_rho on Ω。
• 弱式
  weak= ( ∫_{Ω} w * ∂_t rho d V ) + ( ∫_{Ω} D_rho * grad[w] · grad[rho] d V ) + ( ∫_{Ω} chi_rhoT * w * grad[T_fil] · grad[rho] d V ) = ( ∫_{Ω} w * S_rho d V ) + ( ∫_{∂Ω_N} w * g_N^rho d A )。
• 数值序列
  装配 M_rho, K_rho，施加边界，solve_* 时间推进；从解与第3/4章映射得到 n_eff，据 gamma(ell) 形成 n_eff_path, ds，以 propagate_time 计算 T_arr 并与基准比较（compare_solutions 指标含 "T_arr"）。