I. 章节目标与范围
- 建立 T_fil(x,t) 的最小方程族（稳态与非稳态），统一写法、边界条件与弱式形态，并与 n_eff 的本构映射 F_map(·)（见第3章）一致耦合。
- 所有公式与符号一律英文纯文本，内联用反引号；含除号、积分或复合算符的表达加括号，路径相关量显式 gamma(ell) 与测度 d ell。
II. 场、域与边界声明（P40 系列）
- P40-1（域与时间）
工作域 Ω ⊂ R^d（d ∈ {1,2,3}），时间区间 t ∈ (0, t_end]。 - P40-2（未知量与源）
未知场 T_fil(x,t)；源项 S_src(x,t)；通量 J_T(x,t) 在本文上下文专属于张度场。 - P40-3（边界分解与法向）
∂Ω = ∂Ω_D ∪ ∂Ω_N，二者不交；外法向记为 nu（避免与 n(x,t) 冲突）。
III. 强式母式与稳态子式（S40-1 / S40-2）
- S40-1（非稳态守恒型强式）
∂_t T_fil(x,t) + div[ J_T(x,t) ] = S_src(x,t) on Ω × (0,t_end] - S40-2（稳态强式）
div[ J_T(x) ] = S_src(x) on Ω
IV. 通量闭合与各向异性（S40-3）
- 各向同性扩散闭合
J_T def= - kappa_T * grad[T_fil]，其中 kappa_T ≥ 0。 - 各向异性扩散闭合（基于取向 p(x,t) 的分解）
grad_parallel[T_fil] def= ( p · grad[T_fil] ) * p
grad_perp[T_fil] def= grad[T_fil] - grad_parallel[T_fil]
J_T def= - K_parallel * grad_parallel[T_fil] - K_perp * grad_perp[T_fil]，K_parallel, K_perp ≥ 0。 - Poisson 型子式（各向同性稳态）
- kappa_T * lap[T_fil] = S_src on Ω
V. 边界与初始条件模板（S40-4）
- Dirichlet
T_fil(x,t) = g_D(x,t) on ∂Ω_D × (0,t_end] - Neumann
J_T(x,t) · nu = g_N(x,t) on ∂Ω_N × (0,t_end] - 初始条件
T_fil(x,0) = T_init(x) on Ω
VI. 量纲闭合与无量纲化
- 量纲闭合
对 S40-*，要求 dim( ∂_t T_fil ) = dim( div[J_T] ) = dim( S_src )；各向同性闭合下 dim( kappa_T ) = dim( L^2 / t ) 相对于 T_fil 的量纲。 - 无量纲化映射（与第6章口径一致）
bar_x := ( x / L0 ), bar_t := ( t / t0 ), bar_T := ( T_fil / T0 )
各式可写作：∂_{bar_t} bar_T + div[ - Pe_T^{-1} * grad[bar_T] ] = bar_S，其中 Pe_T^{-1} := ( kappa_T * t0 / L0^2 )，bar_S := ( S_src * t0 / T0 )。
VII. 与 n_eff 的耦合一致性（S40-5）
- 本构耦合
n_eff(x,t) def= F_map( z(x,t); theta )（见 S30-1），其中 z 可含 T_fil 与其梯度。 - 到达时一致性约束（见第2章）
若使用到达时口径：T_arr = ( ∫_{gamma} ( n_eff / c_ref ) d ell )，则任意改变 T_fil 导致的 delta[T_arr] 需通过 delta[n_eff] 传递，满足
delta[T_arr] = ( ∫_{gamma} ( ( ∂ n_eff / ∂ T_fil ) * delta[T_fil] / c_ref ) d ell )。
VIII. 弱式与变分形态（S40-6）
- 试验函数空间与测度
选取 w(x) 于适当的函数空间 V；体积分采用测度 d V。 - 非稳态弱式
weak= ( ∫_{Ω} w * ∂_t T_fil d V ) + ( ∫_{Ω} grad[w] · J_T d V ) = ( ∫_{Ω} w * S_src d V ) + ( ∫_{∂Ω_N} w * g_N d A )
其中边界项由分部积分得到，d A 为面积测度。 - 稳态弱式
weak= ( ∫_{Ω} grad[w] · J_T d V ) = ( ∫_{Ω} w * S_src d V ) + ( ∫_{∂Ω_N} w * g_N d A )
IX. 最小一致性与稳定性条件（P41 系列）
- P41-1（椭圆一致性）
各向同性稳态下 kappa_T ≥ kappa_min > 0，或各向异性张量等价成立，以保证弱式的 coercivity。 - P41-2（通量与源的可积性）
J_T ∈ L^2(Ω)^d，S_src ∈ L^2(Ω)，边界数据 g_N ∈ L^2(∂Ω_N)。 - P41-3（因果性）
若 J_T 或 n_eff 依赖历史核，则时间核满足 K_tau(s) = 0 for s < 0。
X. 典型方程卡（S40 摘要）
- S40-1 — 非稳态强式：∂_t T_fil + div[J_T] = S_src
- S40-2 — 稳态强式：div[J_T] = S_src
- S40-3 — 通量闭合（各向同性/各向异性）：
J_T = - kappa_T * grad[T_fil]
J_T = - K_parallel * grad_parallel[T_fil] - K_perp * grad_perp[T_fil] - S40-4 — 边界/初始模板：T_fil = g_D；J_T · nu = g_N；T_fil(·,0) = T_init
- S40-5 — 与到达时耦合：delta[T_arr] = ( ∫_{gamma} ( ( ∂ n_eff / ∂ T_fil ) * delta[T_fil] / c_ref ) d ell )
- S40-6 — 弱式（非稳态/稳态）：见上节写法
XI. 数值落地与装配对齐（I20-2 / I20-3）
- 半离散母式（有限元/体）
M_T 由 ( ∫_{Ω} w_i * w_j d V ) 装配；K_T 由 ( ∫_{Ω} grad[w_i] · ( kappa_T * grad[w_j] ) d V ) 或其各向异性推广装配；f_T 含体源与 Neumann 项。M_T * d/dt T_vec + K_T * T_vec = f_T - 实现绑定
assemble_operator 产出 K_T；bc_dirichlet/bc_neumann 施加边界；solve_* 与 adjoint_sensitivity 复用（见 I20-2/I20-3）。 - 到达时回归接口
从已解 T_fil 评估 n_eff，经 propagate_time(n_eff_path, ds, c_ref) 计算 T_arr 做一致性回归。
XII. Lint 与禁用写法
- 禁止将 T_fil 用作时间或温度符号；时间一律使用 t。
- 禁止使用裸 "c", "T", "n"；分别写作 c_ref, T_fil, n 或 n_eff，并在行内明确含义。
- 禁止缺括号与路径缺省的积分，如 ∫ n_eff d ell / c_ref；应写 ( ∫ ( n_eff / c_ref ) d ell ) 并附 gamma(ell)。
- 禁止未无量纲化的混合项（如 kappa_T * grad[T_fil] + T_fil）；需写入同一量纲或先归一化。
XIII. 发布前检查表
- Ω, ∂Ω_D, ∂Ω_N, nu 是否明确声明，且不与 n(x,t) 混淆。
- S40-1/S40-2 与所选 J_T 闭合是否通过 check_dim_equation。
- 边界与初始条件是否匹配算法实现（bc_dirichlet/bc_neumann）。
- 若与到达时耦合，是否给出 ∂ n_eff / ∂ T_fil 或等价敏感度，供 adjoint_sensitivity 调用。
- 无量纲化参数（如 Pe_T^{-1}）是否在同一问题族内固定并记录来源。
XIV. 最小工作示例（强式→弱式→装配）
- 强式选型
∂_t T_fil - div( kappa_T * grad[T_fil] ) = S_src on Ω；
T_fil = 0 on ∂Ω_D；( - kappa_T * grad[T_fil] ) · nu = g_N on ∂Ω_N。 - 弱式
weak= ( ∫_{Ω} w * ∂_t T_fil d V ) + ( ∫_{Ω} kappa_T * grad[w] · grad[T_fil] d V ) = ( ∫_{Ω} w * S_src d V ) + ( ∫_{∂Ω_N} w * g_N d A )。 - 装配与求解序列
assemble_operator("mass", grid, ...) -> M_T；assemble_operator("stiffness", grid, {kappa_T}) -> K_T；
形成 M_T * d/dt T_vec + K_T * T_vec = f_T，用 solve_linear 或 solve_nonlinear 演进；
取解 T_fil → 评估 n_eff → 通过 propagate_time 校核 T_arr 一致性。