02-EFT.WP.Core.Equations v1.1 | 第3章 本构与映射

目录 ／ 文档-技术白皮书 ／ 02-EFT.WP.Core.Equations v1.1

第3章 本构与映射

I. 章节目标与范围

• 建立 n_eff 与张度相关量之间的统一本构母式 F_map(·)，覆盖局部、各向异性、非局部、耗散与统计闭合等常见族，并给出可验证的正则性与物理约束。
• 所有公式、符号、定义一律英文纯文本，并用反引号包裹；含除号、积分或复合算符一律加括号并显式路径 gamma(ell) 与测度 d ell（如涉及）。

II. 本构公设（P31 系列）

• P31-1（可度量性）
  n_eff 必须为可测、非负、上界有限的函数：0 ≤ n_eff(x,t) ≤ n_max，几乎处处成立。
• P31-2（因果与局域选择）
  任一时刻 t 的 n_eff(x,t) 仅依赖于 t' ≤ t 的状态与控制量（包含历史核），并在所声明的作用域内（局部或非局部）取值。
• P31-3（量纲闭合）
  任一 F_map 需满足 dim( n_eff ) = 1；若出现带维量输入，需先通过无量纲化映射进入 bar_* 族（见第 VI 节）。

III. 通用本构母式（S30-1）

• z(x,t) := { T_fil(x,t), grad[T_fil](x,t), TensionPot(x,t), rho(x,t), p(x,t), ... }
• theta 为参数集合（标量、向量或核函数），随模型族而变。
• domain: F_map : Z → R_+；Z 为输入张量—标量混合空间，R_+ 为非负实数域。

IV. 模型族 A：局部代数型（S30-2）

1. S30-2（局部线性—饱和）
   n_eff def= clamp( a0 + a1 * bar_T + a2 * |bar_grad_T| , n_min , n_max )
   • bar_T := ( T_fil / T0 )，bar_grad_T := ( L0 * grad[T_fil] / T0 )。
   • clamp(u, u_min, u_max) := min( max(u, u_min), u_max )。
   • theta := { a0, a1, a2, n_min, n_max }；要求 0 < n_min ≤ n_max。
   • check_dim: 右端全为无量纲，满足 P31-3。
2. 各向异性扩展（S30-2a）
   n_eff def= clamp( a0 + a1 * ( p · hat_grad_T ) , n_min , n_max )
   • hat_grad_T := ( grad[T_fil] / |grad[T_fil]| )（若分母为 0，则取 hat_grad_T := 0）。
   • p(x,t) 为单位取向向量（见《Core.Terms》第 3 章）。

V. 模型族 B：非局部核与路径平均（S30-3）

1. S30-3（体邻域核）
   n_eff(x,t) def= n_bg + ( ∫_{B_r(x)} K_r( x - y ) * bar_T(y,t) d V )
   • K_r 为径向核，( ∫_{B_r(0)} K_r(ξ) d V ) = 1。
   • n_bg ≥ 0。
   • 当用于路径量时配合 avg_gamma[·] 或在 S20-* 中以 ( n_eff / c_ref ) 插值。
2. S30-4（路径函数核）
   与 T_arr = ( ∫_gamma ( n_eff / c_ref ) d ell ) 一致耦合（见第 2 章）。n_eff( gamma(ell), t ) def= n_bg + ( ∫_{ell'∈[0,L_gamma]} K_ell( | ell - ell' | ) * bar_T( gamma(ell'), t ) d ell' )

VI. 无量纲化与参数化规则

1. 基准与映射
   若 F_map 写成 F_map( bar_T , bar_grad_T , ... ; theta_bar )，则 theta_bar 为无量纲参数。bar_x := ( x / L0 )，bar_t := ( t / t0 )，bar_T := ( T_fil / T0 )。
2. 尺度选择准则
   • L0, t0, T0 需在同一问题族内固定；
   • 若跨域比较，须给出 {L0, t0, T0} 的来源与不确定度（见《Core.Terms》第 6 章）。

VII. 模型族 C：耗散—记忆与色散（S30-5）

• K_tau ≥ 0，( ∫_{0}^{∞} K_tau(s) d s ) = k_tau（常数）。
• 若 K_tau 指数核，可得 weak= 形式的等价常微分约化。

VIII. 模型族 D：统计闭合与不确定性（S30-6）

• 若需保守上界，采用 n_eff def= E[n_hat] + k_sigma * sqrt( Var[n_hat] )。
• k_sigma ≥ 0 由风险口径设定（见《Methods.Falsification》）。

IX. 物理约束与正则性（S30-7 / S30-8）

• S30-7（有界与单调片段）
  n_min ≤ n_eff(x,t) ≤ n_max；若定义了标量驱动 q(x,t)，则在工作区间要求
  ( ∂ n_eff / ∂ q ) ≥ 0 以保证能量—到达时一致单调性。
• S30-8（Lipschitz 正则）
  存在 L_map ≥ 0 使得 | n_eff(x,t) - n_eff(y,s) | ≤ L_map * ( |x - y| + |t - s| ) 于所选范数下，以保证弱式与数值装配的稳定性。

X. 弱式嵌入与母式对齐

• 弱式占位
  weak= inner_V( w , n_eff(·) ) 仅作为系数场进入；若 n_eff 依赖于未知场 u，则在变分中出现
  delta[ n_eff(u) ] = ( ∂ n_eff / ∂ u ) * delta[u ]，其链式由各族显式给出。
• 示例（S30-2 对应的 Gateaux 导数）
  ∂ n_eff / ∂ T_fil = ( a1 / T0 ) + ( a2 / T0 ) * ( grad · ( grad[T_fil] / |grad[T_fil]| ) )（在平滑区），并结合 clamp 的分段常数导数（饱和段导数为 0）。

XI. 敏感度与伴随接口

• 局部族敏感度
  ∂ n_eff / ∂ a_i = basis_i( z )；∂ n_eff / ∂ T_fil = G_loc( z )。
• 非局部族敏感度
  对 S30-3：∂ n_eff(x,t) / ∂ T_fil(y,t) = ( K_r( x - y ) / T0 )（当 y ∈ B_r(x)）。
• 这些导数作为 adjoint_sensitivity 的系数输入（见 I20-3）。

XII. 离散实现绑定（I20 对齐）

• 映射评估接口
  eval_map(z:any, theta:any) -> n_eff:any
  eval_map_grad(z:any, theta:any) -> dict（返回对 z 与 theta 的偏导）
• 路径耦合
  与 propagate_time(n_eff_path, ds, c_ref) 对齐：先在节点上评估 n_eff[k]，后用 S20-5 累加。

XIII. Lint 与禁用写法

• 禁止将 n 与 n_eff 互换；禁止使用裸 "c", "T", "n"；
• 禁止未无量纲化的代数叠加（如 n_eff = a0 + a1 * T_fil）——应写 T_fil / T0；
• 禁止缺括号的复合项（如 n_eff = a0 + a1 * grad[T_fil]/T0，应写 n_eff = a0 + a1 * ( grad[T_fil] / T0 )）。

XIV. 典型用例卡

• 用例 A（各向同性局部—到达时耦合）
  n_eff = clamp( a0 + a1 * ( T_fil / T0 ), n_min , n_max )；
  T_arr = ( ∫_gamma ( n_eff / c_ref ) d ell )（见 S20-1）。
• 用例 B（非局部平滑—路径积分）
  n_eff( gamma(ell) ) = n_bg + ( ∫ K_ell( | ell - ell' | ) * ( T_fil( gamma(ell') ) / T0 ) d ell' )；
  T_arr approx ( Σ_k ( n_eff[k] / c_ref[k] ) * ds[k] )。
• 用例 C（耗散记忆）
  n_eff(x,t) = n_bg + ( ∫_{0}^{t} K_tau( t - tau ) * ( T_fil(x,tau) / T0 ) d tau )；弱式按卷积展开。

XV. 发布前检查表

• 是否显式声明 F_map 的输入 z、参数 theta 与作用域（局部/非局部/时间记忆）。
• check_dim 是否通过（n_eff 无量纲）。
• 是否提供 n_min, n_max 或等价的上、下界。
• 是否给出敏感度项以对接 adjoint_sensitivity。
• 是否满足 P31-2 的因果性（时间核上限为当前时刻）。
• Lint：是否避免 n/n_eff 互换、缺括号与未无量纲化项。

XVI. 方程卡（S30 摘要）

• S30-1 — n_eff def= F_map( z(x,t); theta )
• S30-2 — 局部线性—饱和：n_eff def= clamp( a0 + a1 * bar_T + a2 * |bar_grad_T| , n_min , n_max )
• S30-2a — 各向异性：n_eff def= clamp( a0 + a1 * ( p · hat_grad_T ) , n_min , n_max )
• S30-3 — 非局部体核：n_eff def= n_bg + ( ∫_{B_r(x)} K_r * bar_T d V )
• S30-4 — 路径核：n_eff( gamma(ell) ) def= n_bg + ( ∫ K_ell * bar_T( gamma(·) ) d ell )
• S30-5 — 时间记忆：n_eff def= n_bg + ( ∫_{0}^{t} K_tau * bar_T d tau )
• S30-6 — 统计闭合：n_eff def= E[ n_hat( z; theta , eta ) ]
• S30-7 — 有界与单调片段：n_min ≤ n_eff ≤ n_max，并给出 ( ∂ n_eff / ∂ q ) ≥ 0
• S30-8 — Lipschitz 正则：全局或分片 Lipschitz 常数 L_map 存在