02-EFT.WP.Core.Equations v1.1 | 第2章 路径与到达时最小方程

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第2章 路径与到达时最小方程

I. 章节目标与范围

• 建立到达时的统一最小方程、常量外提判据、路径拼接可加性与重参数不变性；给出离散化与实现绑定接口对齐原则。
• 本章所有公式、符号、定义一律英文纯文本，并以反引号包裹；凡含除号、积分或复合算符，一律加括号并显式 gamma(ell) 与 d ell。

II. 符号与前置约定

• 路径与测度：gamma(ell) 为按弧长参数化的积分路径，ell ∈ [0, L_gamma]，d ell 为路径测度，L_gamma = ( ∫_gamma 1 d ell )。
• 介质口径：n_eff(x,t) 为有效折射率（无量纲），c_ref > 0 为 reference 传播上限（量纲 [L/T]），允许为常量或缓变函数 c_ref(x,t)。
• 维度闭合：dim( ( n_eff / c_ref ) * d ell ) = [T]，故 dim( T_arr ) = [T]。
• 冲突名约束：n 与 n_eff 严格区分；T_fil 不得与 T_trans 混用；禁止裸 "c", "T", "n"。

III. 最小方程定义（S20 系列）

1. S20-1（一般口径，路径—到达时）
   T_arr def= ( ∫_gamma ( n_eff / c_ref ) d ell )
   • domain: gamma(ell) 可分段光滑；n_eff ≥ 0 几乎处处有定义；c_ref > 0。
   • notes: 适用于空间与时间可变 n_eff(x,t) 与 c_ref(x,t) 的一般情形。
2. S20-2（常量外提口径）
   T_arr = ( 1 / c_ref ) * ( ∫_gamma n_eff d ell )
   • iff: c_ref 在 gamma 上为常数（例如仅依赖全局参考而与 x,t 无关）。
   • criterion: ∂_ell c_ref = 0 沿 gamma 成立时可用。
3. S20-3（路径拼接可加性）
   若 gamma = gamma_1 ⊕ gamma_2（连接点几何连续且测度一致），则
   T_arr[gamma] = T_arr[gamma_1] + T_arr[gamma_2]。
4. S20-4（重参数不变性）
   对任一严格单调参数映射 ell' = phi(ell)，有
   T_arr = ( ∫_gamma ( n_eff / c_ref ) d ell ) = ( ∫_{gamma'} ( n_eff / c_ref ) d ell' )。
5. S20-5（离散—求和近似）
   error: 随离散方案 scheme ∈ {trap, simpson, ...} 具有相应阶次 O(h^p)。在节点序列 {ell_k} 与段长 ds[k] 上，
   T_arr approx ( Σ_k ( n_eff[k] / c_ref[k] ) * ds[k] )。
6. S20-6（非负性与零条件）
   T_arr ≥ 0；且当且仅当 L_gamma = 0 或 n_eff = 0 几乎处处时，有 T_arr = 0。
7. S20-7（敏感度：离散形）
   ∂ T_arr / ∂ n_eff[k] = ( ds[k] / c_ref[k] )；∂ T_arr / ∂ c_ref[k] = ( - n_eff[k] * ds[k] / ( c_ref[k]^2 ) )。

IV. 证明与校核要点（强制口径）

1. 维度闭合检查：
   check_dim( ( n_eff / c_ref ) * d ell ) -> [T]；check_dim( T_arr ) -> [T]。
2. 可加性：
   • gamma = gamma_1 ⊕ gamma_2；
   • 线性可加的勒贝格积分与公共测度 d ell；
   • 推得 S20-3。
3. 重参数不变：
   • d ell' = ( d ell / d ell' )^{-1} d ell；
   • 积分替换变量，得 S20-4。
4. 常量外提充要：
   • 若 ∂_ell c_ref = 0，则由常量因子外提得 S20-2；
   • 反之若 S20-2 对任意 n_eff 成立，则 c_ref 不得依赖 ell，故为常数于 gamma。

V. 路径分段与参考路径

• 分段定义：gamma = ⋃_{k=1}^K gamma_k，各段满足几何连续与测度一致。
• 参考路径：gamma_ref(ell) 用于基准对照与回归测试，定义
  T_arr_ref def= ( ∫_{gamma_ref} ( n_eff / c_ref ) d ell )。
• 差分到达时：
  Δ T_arr = T_arr[gamma] - T_arr[gamma_ref] = ( ∫ ( ( n_eff / c_ref )_gamma - ( n_eff / c_ref )_ref ) d ell )。

VI. 边界与耦合（与母式对齐）

• 观测定义：J_T[u] def= T_arr[gamma; n_eff(u), c_ref]；
• 弱式出现处以 inner_V[·,·] 处理其对 u 的一阶变分；
• 统计口径需声明：avg_gamma[·] 或 avg_t[·; Δt]。

VII. Lint 与禁用写法

• ∫ n d ell / c（缺括号与符号非规范）；
• 省略路径或测度（如写成 ∫ n_eff / c_ref）；
• 裸 "c", "T", "n"；
• 将 n_eff 与 n 互换使用。

VIII. 实现绑定与接口对齐

1. 与 I20-4：
   • propagate_time(n_eff_path:list[float], ds:list[float], c_ref:float) -> float
   • 语义对齐 S20-2；若需要 S20-1 的空间变 c_ref[k]，实现应扩展为逐段 c_ref[k]。
2. 与 I20-2：
   • discretize_path(gamma, scheme, h) -> {nodes, ds} 生成 {ds[k]}；
   • 误差标注 O(h^p) 与 scheme 对齐记录在方程元数据 notes。
3. 与回归：
   • compare_solutions(x,y,metrics=["L2","L_inf","T_arr"]) -> dict；
   • 其中 T_arr 指标使用 gamma_ref 作为基准。

IX. 典型用例（一致性与边界情况）

• 用例 A（常量 c_ref，分段常数 n_eff）：
  T_arr = ( 1 / c_ref ) * ( Σ_k n_eff[k] * ds[k] )。
• 用例 B（变 c_ref 与平滑 n_eff）：
  T_arr approx ( Σ_k ( n_eff[k] / c_ref[k] ) * ds[k] )；提升阶次以 scheme="simpson"。
• 用例 C（零路径或透明段）：
  若 L_gamma = 0 或 n_eff = 0 几乎处处，则 T_arr = 0（见 S20-6）。

X. 方程卡（摘要列表）

• S20-1 — T_arr def= ( ∫_gamma ( n_eff / c_ref ) d ell )
• S20-2 — T_arr = ( 1 / c_ref ) * ( ∫_gamma n_eff d ell )（iff ∂_ell c_ref = 0）
• S20-3 — T_arr[gamma_1 ⊕ gamma_2] = T_arr[gamma_1] + T_arr[gamma_2]
• S20-4 — 重参数不变性
• S20-5 — 离散求和近似
• S20-6 — 非负性与零条件
• S20-7 — 离散敏感度公式

XI. 发布前检查表

• 是否显式 gamma(ell)、d ell、L_gamma。
• check_dim 是否给出 dim( T_arr ) = [T]。
• 若采用 S20-2，是否满足 ∂_ell c_ref = 0。
• 离散化是否标注 scheme 与误差阶 p。
• 是否避免禁用写法并通过 validate_equation 的 Lint 规则。
• 与 I20-* 的接口字段与语义是否一一对齐。