02-EFT.WP.Core.Equations v1.1 | 第1章 方程体系与编号

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第1章 方程体系与编号

I. 章节目标与范围

• 建立 Sxx-? 最小方程的统一编号、命名与引用口径；提供强/弱式模板与域—边界声明规范；定义与 I20-* 的实现绑定约束。
• 本章不新增符号与单位；所有公式、符号、定义一律使用英文与纯文本，并以反引号包裹。

II. 编号体系与命名规范

1. 代码结构：S<chapter two-digits>-<index>，如 S20-1、S40-3；index 从 1 连续递增，保留缺口以容纳未来插入。
2. 章节映射：
   • 第2章 路径与到达时 → S20-*
   • 第3章 本构与映射 → S30-*
   • 第4章 张度场最小方程 → S40-*
   • 第5章 连续性与输运 → S50-*
   • 第6章 边界与初始条件 → S60-*
   • 第7章 变分与弱式 → S70-*
   • 第8章 统计与粗粒化 → S80-*
   • 第9章 数值落地与一致性 → S90-*
3. 统一引用：跨卷采用固定写法：“见 配套白皮书《能量丝》 第x章 S/P/M/I…”。

III. 方程分类与元数据字段

1. kind ∈ {algebraic, ODE, PDE, integrodifferential, variational, constraint}
2. 必备元数据：
   • domain: Ω ⊂ R^d, time: (t0, t1], params: 列出外部参数；
   • bc: ∂Ω = ∂Ω_D ∪ ∂Ω_N 与对应数据；ic: 初始条件（如适用）；
   • dependencies: 依赖的 Sxx-?、Pxx-?、Ixx-?；
   • dim_check: 量纲闭合状态（pass/fail）；
   • weak_form: 是否提供弱式与试验空间；
   • notes: 适用域与近似等级（approx）。

Ω def= spatial domain; ∂Ω_D def= Dirichlet boundary; ∂Ω_N def= Neumann boundary; n(x) def= outward unit normal on ∂Ω.

IV. 强式与弱式书写模板

• 强式（保守母式，见 S10-0）：
  strong= ∂_t u(x,t) + div[ J(u, grad[u], x, t) ] = S_src(x,t) on Ω × (t0, t1]
• 边界与初始：
  u|_{∂Ω_D} = g_D(x,t)；n · J|_{∂Ω_N} = g_N(x,t)；u(x,t0) = u0(x)
• 弱式（内积与边界通量显式）：
  find u ∈ V : ∀ v ∈ V0, inner_V[ ∂_t u, v ] + inner_V[ J(u,grad[u]), grad[v] ] = inner_V[ S_src, v ] + inner_bdN[ g_N, v ]
• 试验/解空间：
  V def= { v | v satisfies bc on ∂Ω_D }；V0 def= { v | v = 0 on ∂Ω_D }
  inner_V[a,b] def= ∫_Ω ( a * b ) dV；inner_bdN[a,b] def= ∫_{∂Ω_N} ( a * b ) dS

V. 域与边界声明卡片

• domain: Ω, t ∈ (t0,t1], d ∈ {1,2,3}
• bc: ∂Ω_D with g_D(x,t)；∂Ω_N with g_N(x,t)
• ic: u(x,t0) = u0(x)（如适用）
• measures: dV, dS；若含路径积分须显式 gamma(ell) 与 d ell

VI. 方程登记卡（Equation Card）模板

• code: Sxx-?
• title: concise English title
• kind: PDE/ODE/...
• strong: one-line strong form
• weak: one-line weak form or N/A
• domain/bc/ic: as §V
• dependencies: ["S..", "P..", "I.."]
• dim_check: pass/fail
• notes: applicability, approx level

VII. 统一书写与 Lint 规则

• 分数、积分、复合算符一律加括号，示例：( a / b )，( ∫ ( n_eff / c_ref ) d ell )。
• 路径—到达时表达必须显式 gamma(ell) 与 d ell，并给出路径长度 L_gamma = ∫_gamma 1 d ell。
• 禁止样式："∫ n d ell / c"、省略路径测度、裸 "c", "T", "n"。
• 量纲闭合：check_dim_equation(eqn) 必须返回 pass；被积项 ( n_eff / c_ref ) * d ell 无量纲。
• 统计窗口必须声明：avg_t[f; Δt]、avg_V[f; V=Ω]、avg_gamma[f]。

VIII. 公设（本章）

• P11-1（唯一锚点）：每一最小方程必须拥有唯一代码 Sxx-? 与稳定标题；代码一经发布不得复用。
• P11-2（成对呈现）：如弱式存在，必须与强式成对呈现，并显式给出 V、V0 与内积定义。
• P11-3（域—边界显式）：强式声明必须同时给出 Ω、∂Ω_D、∂Ω_N、(t0,t1]；缺失任一视为不合规。
• P11-4（路径显式）：凡含路径积分的方程，必须显式 gamma(ell) 与 d ell，并说明 c_ref 是否为常数。

IX. 示例与占位

• title: Conservation mother form
• kind: PDE
• strong: ∂_t u(x,t) + div[ J(u, grad[u], x, t) ] = S_src(x,t)
• weak: inner_V[ ∂_t u, v ] + inner_V[ J(u,grad[u]), grad[v] ] = inner_V[ S_src, v ] + inner_bdN[ g_N, v ]
• domain/bc/ic: Ω ⊂ R^d, u|_{∂Ω_D} = g_D, n·J|_{∂Ω_N} = g_N, u(x,t0) = u0(x)
• dependencies: []
• dim_check: pass
• notes: baseline template for S50-* family

X. 实现绑定：登记与校验最小序列

• register_equation(code="S10-0", eqn="∂_t u + div[J] = S_src", kind="PDE", anchors=["P11-1","P11-2"], depends=[]) -> IRef
• validate_equation(eqn="...", allowed={ "u","J","S_src","grad","div","inner_V","inner_bdN" }) -> bool
• check_dim_equation(eqn="...") -> "pass"
• （若含路径项）propagate_time(n_eff_path, ds, c_ref) 供一致性回归
• export_equations("yaml") 归档

XI. 质量与发布检查表

• id: 唯一且与章节映射一致（如本章示例使用 S10-0 作为母式）。
• forms: 强/弱式成对且一致；试验空间与内积定义齐备。
• domain: Ω, ∂Ω_D, ∂Ω_N, (t0,t1] 全显式。
• paths: 若出现路径积分，gamma(ell)、d ell、L_gamma 明示，且 ( n_eff / c_ref ) 括号完备。
• dims: check_dim_equation 通过；禁止裸 "c", "T", "n"。
• stats: 使用 avg_* 时声明窗口或体域。
• refs: dependencies 与跨卷引用完整、可追溯。