03-EFT.WP.Core.Parameters v1.0 | 第3章 边界、约束与变换

目录 ／ 文档-技术白皮书 ／ 03-EFT.WP.Core.Parameters v1.0

第3章 边界、约束与变换

I. 章节目标与范围

• 建立参数边界 lb/ub、约束 C_eq/C_ineq 与变换 T_map 的统一口径，保证参数集 Theta 的可行性、可辨识性与数值稳定性。
• 所有参数名、集合名与公式一律使用英文与纯文本；内联符号统一以反引号包裹。
• 本章输出锚点：公设 P33-*，流程 Mx-1，实现用例 I30 2 与 I30 4。跨卷引用见《Core.Equations》之 S20-*、S40-* 等。

II. 对象与符号

• 参数与域：theta = (theta_1, ..., theta_p)，Theta 为参数域；D_valid 有效域，D_forbid 禁域。
• 边界：lb = (lb_1, ..., lb_p)，ub = (ub_1, ..., ub_p)，默认 lb_i = -inf 或 ub_i = +inf 视情形明确。
• 约束：C_eq(theta) = 0，C_ineq(theta) ≤ 0；可行集 Theta = { theta | C_eq = 0, C_ineq ≤ 0, lb ≤ theta ≤ ub }。
• 变换：phi = T_map(theta)，分量式 phi_i = T_i(theta_i)；可选族含 identity、log、logit、softplus、zscore(x; mu, sigma)。
• 导数与信息：J = ∂f/∂theta，H = ∂^2 f/∂theta^2，Fisher(theta)。

III. 边界声明规范

• P33-1 唯一性：任一 theta_i 必须显式声明边界 lb_i ≤ theta_i ≤ ub_i 或声明无界并给出理由（如对称先验、尺度不确定）。
• P33-2 闭包性：闭区间/开区间须一致书写，示例：theta_i ∈ (0, +inf)；切勿以混合语义替代形式边界。
• P33-3 继承性：派生参数 theta_j def= g(theta_k) 的边界由 g 的像域推导并显式给出。
• P33-4 量纲闭合：lb/ub 的单位须与 theta_i 一致，禁止使用裸常数；必要时调用 check_dim(expr:str)。

IV. 约束表达与可行集

1. 约束母式：Theta = { theta | C_eq(theta) = 0, C_ineq(theta) ≤ 0, lb ≤ theta ≤ ub }。
2. 约束优先级：
   • C_eq（硬约束）
   • lb/ub（硬边界）
   • C_ineq（硬或软，软约束需注明惩罚/屏障参数）
3. 组合约束范式：
   • 线性等式：A theta - b = 0
   • 线性不等式：G theta - h ≤ 0
   • 非线性：g(theta) = 0 或 g(theta) ≤ 0，须给出 ∂g/∂theta 的可获得性
4. 共享与耦合：共享关系必须显式写作 theta_a = theta_b 或 theta_a def= r * theta_b（r 给定或纳入 theta）。

V. 变换库与性质

1. identity：phi = theta，域/值域同构，可逆性平凡。
2. log（正域映射）：phi = log(theta - lb)，域 (lb, +inf)，逆 theta = lb + exp(phi)，d theta/d phi = exp(phi)。
3. logit（有界区间）：令 s = (theta - lb)/(ub - lb)，phi = log(s / (1 - s))；逆 theta = lb + (ub - lb) * (1 / (1 + exp(-phi)))，d theta/d phi = (ub - lb) * σ(phi) * (1 - σ(phi))，其中 σ(·) 为 logistic。
4. softplus（无界到正域）：phi = log(exp(theta) + 1)；常用于参数化 ub = +inf、lb = 0 的非负量，逆 theta = log(exp(phi) - 1)。
5. zscore（标准化）：phi = (theta - mu)/sigma，逆 theta = mu + sigma * phi；用于数值尺度归一。
6. 选择指引：
   • 仅下界（如尺度/速率）：优先 log(theta - lb)
   • 上下界已知：优先 logit 区间映射
   • 需平滑近零但允许零：softplus 搭配偏移 theta = softplus(raw) + lb

VI. 变换对先验与似然的影响

1. 密度变换（一维）：若 phi = T(theta) 可逆，则
   p_phi(phi) = p_theta(theta(phi)) * | d theta / d phi |。
2. 多维雅可比：
   p_phi(phi) = p_theta(theta(phi)) * | det( ∂theta / ∂phi ) |。
3. 区间先验映射：theta ∈ (lb, ub) 上的均匀先验，经 logit 变换得到
   p_phi(phi) = Uniform(0,1)(σ(phi)) * (ub - lb) * σ(phi)*(1-σ(phi))，其中 Uniform(0,1)(·) 表示区间密度指示。
4. 建议准则：
   • 在实现 set_prior 与 set_transform 时由系统自动注入雅可比修正，避免人工漏乘。
   • 对数后验书写：log post(phi | data) = log L(data | theta(phi)) + log prior_theta(theta(phi)) + log | det( ∂theta / ∂phi ) | - log Z。

VII. 链式法则与敏感度

• 一阶链式：∂f/∂phi = (∂f/∂theta) * (∂theta/∂phi)。
• 二阶链式（方向式）：H_phi = J^T H_theta J + Σ_i (∂f/∂theta_i) * (∂^2 theta_i / ∂phi ∂phi^T)，其中 J = ∂theta/∂phi。
• Fisher 在变换下：F_phi = J^T F_theta J（忽略二阶项的常用近似）。

VIII. 到达时相关参数的路径显式

1. 凡与 T_arr 相关之参数（如 c_ref、n_eff 的超参数），推导与校准时必须采用括号完整形式并显式路径与测度：
   • 常量外提：T_arr = ( 1 / c_ref ) * ( ∫ n_eff d ell )
   • 一般口径：T_arr = ( ∫ ( n_eff / c_ref ) d ell )
2. 路径记号：声明 gamma(ell) 与测度 d ell，并给出 L_gamma = ∫_gamma 1 d ell；禁止书写 ∫ n d ell / c 与缺括号形式（由 validate_equation 拒绝）。

IX. 可行性检查流程（Mx-1）

• 收集候选参数集 theta_free，导入边界 lb/ub 与约束 C_eq/C_ineq。
• 选择并登记变换 T_map，完成 phi = T_map(theta) 与逆 theta = T_map^{-1}(phi) 的可用性校验。
• 构造可行集 Theta，运行 validate_param_set(codes) 与 add_constraint 的语义检查。
• 对样本或初值执行 proj_Theta(theta_0)，若违反约束则给出最小校正或返回可诊断信息。
• 生成校准/推断所需的雅可比与边界在变换域的像：lb_phi/ub_phi = T_map(lb/ub)。
• 输出检查报告：边界覆盖率、约束残差、变换数值稳定性（溢出/下溢统计）。

X. 实现绑定用例（I30 2 / I30 4）

1. 边界与约束（I30 2）：
   • set_bounds(code="n_eff.alpha", lb=0.0, ub=+inf)
   • add_constraint(code="n_eff.alpha", kind="ineq", expr="theta - 1.0 ≤ 0")
   • validate_param_set(codes=["n_eff.alpha","c_ref"]) -> true
2. 变换与可逆（I30 4）：
   • set_transform(code="n_eff.alpha", name="log", args={"lb":0.0})
   • forward_transform(code="n_eff.alpha", x=1.2) -> phi
   • inverse_transform(code="n_eff.alpha", y=phi) -> 1.2

XI. 边界-变换构造模板

• 仅下界 lb：
  规范：phi = log(theta - lb)；逆：theta = lb + exp(phi)；初始化建议：phi_0 = log(max(theta_0 - lb, eps))
• 上下界 (lb, ub)：
  规范：phi = log( (theta - lb) / (ub - theta) )；逆：theta = lb + (ub - lb) * σ(phi)
• 无界但需标准化：
  规范：phi = (theta - mu)/sigma；逆：theta = mu + sigma * phi

XII. 误用与冲突清单

• 禁止混用 T_fil（张力）与 T_trans（透射系数）。
• 严禁将 n 与 n_eff 互换使用。
• 禁止写作 ∫ n d ell / c 或省略括号的积分表达；一律写作 ( ∫ ( n_eff / c_ref ) d ell ) 或 ( 1 / c_ref ) * ( ∫ n_eff d ell )。
• 变换域不一致：若声明 theta_i ∈ (0,1)，不得使用 log；应使用 logit。
• 忽略雅可比修正：变换后做 MAP/MCMC 必须包含 |det(∂theta/∂phi)|。

XIII. 跨卷绑定与示例

• 与《Core.Equations》第2章（S20-* 到达时）绑定：c_ref、n_eff 的超参数经本章 T_map 变换后进入 propagate_time(n_eff_path, ds, c_ref)；一致性指标含 T_arr。
• 与《Core.Equations》第4章（S40-* 张度场）绑定：若 n_eff def= F_map(T_fil, ...)，则 F_map 的参数边界与变换遵循本章规范，并在弱式与离散化中保持量纲闭合。

XIV. 输出锚点与复用

• 公设：P33-1…P33-4（边界唯一性、闭包性、继承性、量纲闭合）。
• 流程：Mx-1（可行性检查流程）。
• 实现：I30 2、I30 4（接口用例）。
• 以上锚点可在参数词条、推断脚本与回归基线中直接引用。