03-EFT.WP.Core.Parameters v1.0 | 第4章 先验、似然与后验

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第4章 先验、似然与后验

I. 章节目标与范围

• 建立 prior(theta)、L(data | theta)、post(theta | data) 与证据 Z 的统一书写与实现口径。
• 给出常用似然模板、先验族与超参数规范，并说明与变换 T_map 的耦合及雅可比修正。
• 输出锚点：最小方程 S41-1…S41-3；实现接口用例 I30 3、I30 5；流程 Mx-2（校准流水线）。

II. 符号与对象

• 参数与数据：theta ∈ Theta，data = { y_k, x_k }_{k=1..N}；可分组数据 data = ⋃_g data_g。
• 先验/似然/后验：prior(theta)，L(data | theta)，post(theta | data)，Z。
• 变换与雅可比：phi = T_map(theta)，J_T = ∂theta/∂phi。
• 噪声与尺度：sigma(x)（异方差尺度），tau（精度），Corr（相关矩阵），Cov（协方差）。
• 窗口与体域（与统计卷一致）：avg_t[·; Δt]，avg_V[·; V]。
• 路径到达时引用（跨卷）：gamma(ell)，d ell，T_arr = ( ∫ ( n_eff / c_ref ) d ell )。

III. Bayes 母式与证据（最小方程 S41-1）

1. S41-1（Bayes 母式）
   • post(theta | data) = L(data | theta) * prior(theta) / Z
   • Z = ∫_Theta L(data | theta) * prior(theta) d theta
   • log post(theta | data) = log L(data | theta) + log prior(theta) - log Z
2. 极值点定义：
   • theta_MLE = argmax_theta L(data | theta)
   • theta_MAP = argmax_theta post(theta | data)
3. 量纲闭合要求：
   prior(theta) 与 L(data | theta) 为密度或概率质量；Z 为归一化常数；检查使用 check_dim(expr:str)。

IV. 似然构造模板

1. 条件独立分解（显式声明）：
   • L(data | theta) = ∏_{k=1}^N L_k(y_k | x_k, theta)
   • 若分组：L(data | theta) = ∏_g ∏_{k ∈ g} L_{g,k}(y_k | x_k, theta)
2. 加性高斯噪声：
   • 观测模型 y_k = f(x_k; theta) + ε_k，ε_k ~ Normal(0, sigma_k^2)
   • L_k = Normal(y_k | f(x_k; theta), sigma_k)
3. 异方差高斯：
   sigma_k = sigma(x_k)；其似然同上，仅 sigma_k 随 x_k 变。
4. 乘性 LogNormal 噪声：
   • y_k = f(x_k; theta) * η_k，log η_k ~ Normal(0, s^2)
   • L_k = LogNormal(y_k | log f(x_k; theta), s)
5. 计数型：
   L_k = Poisson(y_k | λ_k(theta)) 或 Binomial(y_k | n_k, p_k(theta))
6. 路径-到达时测量（跨卷对齐）：
   • 预测量 f(x_k; theta) def= T_arr(theta) = ( ∫ ( n_eff / c_ref ) d ell )，须显式给出 gamma(ell) 与 d ell
   • 观测模型 y_k = T_arr(theta) + ε_k，常用 ε_k ~ Normal(0, sigma^2)
7. 组合/混合：
   分量混合 L_k = Σ_j w_j * L_{k,j}，w_j ≥ 0，Σ_j w_j = 1；w 的先验见 Dirichlet。

V. 先验族与超参数（规范口径）

1. 实数无界：
   • Normal(mu, sigma)；超参数 {mu, sigma>0}
   • Laplace(mu, b)（L1 正则等价）；b>0
2. 正域（(0, +inf)）：
   LogNormal(mu, sigma)；Gamma(shape, rate)；HalfNormal(sigma)
3. 有界区间（(lb, ub)）：
   Beta(a, b) 对 s ∈ (0,1)；区间映射 theta = lb + (ub - lb) * s
4. 协方差/相关结构：
   InvWishart(ν, S) 或分解型先验 Sigma = D * R * D，R ~ LKJ(η)，D 对角元素 HalfNormal
5. 比例与混合权：
   Dirichlet(alpha_vec)；alpha_vec > 0
6. 先验写作公设：
   每个先验族必须给出全部超参数与支持域；例如 prior(c_ref) = LogNormal(mu_c, sigma_c)，并注明单位。

VI. 变换域中的后验（最小方程 S41-2）

1. 设 phi = T_map(theta) 可逆，J_T = ∂theta/∂phi，则
   log post(phi | data) = log L(data | theta(phi)) + log prior_theta(theta(phi)) + log | det(J_T(phi)) | - log ZS41-2（变换域 log 后验）
2. 常用特例：
   • log 变换（正域）：theta = lb + exp(phi)，log | det(J_T) | = Σ_i phi_i
   • logit 变换（区间）：theta = lb + (ub - lb) * σ(phi)，log | det(J_T) | = Σ_i [ log(ub_i - lb_i) + log σ(phi_i) + log(1 - σ(phi_i)) ]

VII. 正则化等价与选择指南

• 岭型（L2）：prior(theta_i) = Normal(0, σ^2) 等价于目标函数加项 (1/(2σ^2)) * theta_i^2
• 套索（L1）：prior(theta_i) = Laplace(0, b) 等价于加项 (1/b) * |theta_i|
• 稀疏尺度：Horseshoe(λ, τ) 适合强稀疏先验；实现用局部-全局层次分解。

VIII. 层次化与共享参数

1. 组层先验（部分汇聚）：
   • theta_g | mu, tau ~ Normal(mu, tau^{-1})
   • mu ~ Normal(mu0, s0)，tau ~ Gamma(a0, b0)
2. 共享/系数耦合：
   若 theta_a = r * theta_b，可对 r 设 LogNormal 或 Normal 先验并纳入推断。

IX. 模型比较与信息准则（最小方程 S41-3）

1. S41-3（信息准则简表）
   • AIC = 2k - 2 log L(data | theta_MLE)
   • BIC = k * log N - 2 log L(data | theta_MLE)
   • DIC approx= 2 * avg_theta[ -log L(data | theta) ] - ( -2 log L(data | theta_hat) )
2. 证据与贝叶斯因子：
   Z = ∫ L * prior d theta，两模型 M1,M2 的比值 BF_{12} = Z_1 / Z_2（数值上可用桥采样/热力学积分估计）。

X. 实现绑定与最小工作示例（I30 3 / I30 5）

1. 先验登记（I30 3）：
   • set_prior(code="c_ref", family="LogNormal", hyper={"mu":mu_c, "sigma":sigma_c})
   • set_prior(code="n_eff.alpha", family="Gamma", hyper={"shape":a, "rate":b})
2. 推断与采样（I30 5）：
   • theta_mle = infer_mle(model=S20_arrival, data=D, params=["c_ref","n_eff.alpha"])
   • theta_map = infer_map(model=S20_arrival, data=D, params=[...])
   • samples = posterior_sample_mcmc(model=S20_arrival, data=D, params=[...], n=2000, burn=500, method="NUTS")
3. 证据近似与比较：
   在采样后调用信息准则或桥采样模块；报告 AIC/BIC 与 BF。

XI. 校准流水线（Mx-2）

• 选择似然模板并声明独立性或相关结构；若相关，给出 Cov 或 Corr 的先验。
• 为每个参数设定 prior(theta_i) 与边界/变换 T_map，并通过 validate_param_set。
• 进行先验预测检验：从 prior 采样生成伪数据并对比观测尺度。
• 运行 infer_mle 作为初值，再执行 infer_map 或 posterior_sample_mcmc。
• 进行后验预测检验与残差诊断；必要时调整先验或似然。
• 计算信息准则与（可选）证据比，对方案进行模型选择或加权。

XII. 到达时相关专栏（跨卷一致）

1. 若参数影响 T_arr，所有公式必须保持括号完整并显式路径：
   T_arr = ( 1 / c_ref ) * ( ∫ n_eff d ell ) 或 T_arr = ( ∫ ( n_eff / c_ref ) d ell )
2. 与实现绑定：
   • propagate_time(n_eff_path, ds, c_ref) -> float
   • 由后验样本传播到 T_arr 的不确定性：avg_gamma 可作为路径平均的统计窗口。

XIII. 误用与冲突清单

• 禁止写作 ∫ n d ell / c，一律使用 ( ∫ ( n_eff / c_ref ) d ell ) 或 ( 1 / c_ref ) * ( ∫ n_eff d ell )。
• 先验族不得省略超参数；prior(theta_i) = Normal(mu_i, sigma_i) 而非仅 Normal。
• 变换域推断必须包含 log | det(∂theta/∂phi) |；避免把 phi 与 theta 的密度混用。
• 严禁 T_fil 与 T_trans 混用；严禁 n 与 n_eff 互换。
• 信息准则的 k 应为有效参数数（考虑变换与约束后）；样本量 N 为点位总数或经窗口聚合后的有效计数，须在文中声明。

XIV. 输出锚点与引用

• 最小方程：S41-1（Bayes 母式）、S41-2（变换域 log 后验）、S41-3（信息准则）。
• 实现接口：I30 3（先验登记）、I30 5（推断与采样）。
• 流程：Mx-2（校准流水线）。
• 跨卷引用：与《EFT.WP.Core.Equations》之 S20-*（到达时）与 S40-*（张度场）保持一致。