03-EFT.WP.Core.Parameters v1.0 | 第5章 识别度与灵敏度

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第5章 识别度与灵敏度

I. 章节目标与范围

• 建立参数识别度与灵敏度的统一度量，覆盖局部导数型、信息型（Fisher）与全局方差分解（Sobol）三类指标。
• 明确到达时 T_arr 与路径 gamma(ell) 的敏感度表达，保证与《Core.Equations》之 S20-*、S40-* 一致。
• 输出锚点：最小方程 S51-1…S51-4；实现接口 I30 6、I30 10；流程要点与误用清单。

II. 记号与对象

• 参数与模型：theta ∈ Theta，y = f(x; theta)，观测 data = { y_k, x_k }_{k=1..N}。
• 导数与矩阵：J = ∂f/∂theta（Jacobian），H = ∂^2 f/∂theta^2（Hessian）。
• 噪声与协方差：ε ~ Normal(0, Σ)，Σ = Cov[ε]，W = Σ^{-1}。
• 统计窗口：avg_t[·; Δt]，avg_V[·; V]，路径平均 avg_gamma[·]。
• 路径与测度：gamma(ell)，d ell；到达时 T_arr = ( ∫ ( n_eff / c_ref ) d ell ) 或 T_arr = ( 1 / c_ref ) * ( ∫ n_eff d ell )。

III. 局部灵敏度与归一化（最小方程 S51-1）

1. S51-1（点态与归一化灵敏度）
   • 点态灵敏度：S_loc,i(x; theta) def= ∂f(x; theta) / ∂theta_i
   • 归一化灵敏度：S_norm,i(x; theta) def= ( theta_i / f(x; theta) ) * ( ∂f(x; theta) / ∂theta_i )
   • 多点聚合：S_norm,i^2 agg def= avg_t[ avg_V[ S_norm,i(x; theta)^2; V ]; Δt ]
2. 向量形式与数据栈：
   • J_{k,i} = ∂f(x_k; theta) / ∂theta_i
   • S_norm,i data = ( theta_i / ||y||_2 ) * ||J_{:,i}||_2（需声明数据度量与窗口）

IV. Fisher 信息与可识别性（最小方程 S51-2）

1. S51-2（高斯噪声近似下的 Fisher）
   • F(theta) = J(theta)^T * W * J(theta)，其中 W = Σ^{-1}
   • 对角逼近：若 Σ = diag(σ_k^2)，则 F = Σ_k ( J_{k,:}^T J_{k,:} / σ_k^2 )
2. 局部可识别充要条件（线性化）：
   • rank( F(theta) ) = dim(theta_free) 则局部结构可识别
   • 近奇异：存在 v ≠ 0 使 F v approx 0，则 v 属于不可识别方向（近零空间）
3. 不确定性与相关：
   • Cov[theta] approx F^{-1}（Laplace 近似）
   • 相关矩阵 Corr[theta] = D^{-1/2} * Cov[theta] * D^{-1/2}，D = diag(Cov)
4. 实现锚点：
   • fisher_information(model, theta, data) -> F
   • check_identifiability(F, tol) -> {rank, nullspace}

V. 全局灵敏度（Sobol 方差分解，最小方程 S51-3）

1. S51-3（方差分解定义）
   • 设输出 Y = g(theta)，全方差 Var(Y) = V
   • 一阶指数：S_i = Var( E[ Y | theta_i ] ) / V
   • 总效应：S_Ti = 1 - Var( E[ Y | theta_{-i} ] ) / V
2. 估计与采样：
   • 使用两套样本矩阵 A,B 与置换矩阵 A_B^{(i)} 的蒙特卡罗估计（Saltelli 方案）
   • 与窗口兼容：对时空输出先以 avg_t/avg_V 聚合，再进行方差分解

VI. 到达时与路径敏感度（跨卷一致）

1. 设 y(theta) def= T_arr(theta) = ( ∫ ( n_eff(x,t; theta) / c_ref(theta) ) d ell )
2. 链式与积分交换（正则条件下）：
   ∂T_arr/∂theta_i = ( ∫ ( ( ∂ n_eff / ∂theta_i ) / c_ref ) d ell ) + ( ∫ ( - n_eff * ( ∂ c_ref / ∂theta_i ) / ( c_ref^2 ) ) d ell )S51-4（到达时梯度）
3. 特例：
   • 对 theta_i = c_ref：∂T_arr/∂c_ref = ( ∫ ( - n_eff / c_ref^2 ) d ell )
   • 对仅影响 n_eff 的参数 alpha_j：∂T_arr/∂alpha_j = ( ∫ ( ( ∂ n_eff / ∂alpha_j ) / c_ref ) d ell )
4. 路径统计与稳定性：
   • S_norm,i path = ( theta_i / T_arr ) * avg_gamma[ ∂( n_eff / c_ref ) / ∂theta_i ] * L_gamma
   • 路径声明：必须给出 gamma(ell)、d ell 与 L_gamma = ∫_gamma 1 d ell

VII. 线性化与伴随梯度（方程耦合摘要）

1. 残差型模型：R(u, theta) = 0，目标 J(u, theta)
2. 一阶驻值条件（弱式记号）：
   • weak= inner_V[ ∂R/∂u · δu, λ ] + ∂J/∂u · δu = 0 给出伴随 λ
   • 梯度：∂J/∂theta = - inner_V[ λ, ∂R/∂theta ] + ∂J/∂theta|explicit
3. 实现锚点：
   • compute_jacobian(eqn:IRef, params:list[str]) -> array
   • 用于高维 theta 的高效梯度评估与 F 的构造

VIII. 多重共线性与解耦策略

• 尺度化与无量纲化：以 bar_theta_i = theta_i / s_i 进入灵敏度与优化，减少病态尺度。
• 重新参数化：对近零空间方向 v，引入正交基 Q 使 theta = Q * z，只在可识别子空间优化。
• 约束与绑定：使用 tie_params 固定比值或等式关系，降低自由度。
• 先验正则：在 prior(theta) 中加入结构化先验（如 Laplace、层次先验）抑制共线性漂移。
• 协方差整形：regularize_cov(Cov, "shrinkage", alpha) 以稳健估计相关矩阵。

IX. 实现绑定与最小工作示例（I30 6 / I30 10）

• 计算局部 Jacobian：J = compute_jacobian(eqn=S20_arrival, params=["c_ref","n_eff.alpha",...])
• Fisher 与识别度：F = fisher_information(model=S20_arrival, theta=θ_hat, data=D)；check_identifiability(F, tol=1e-8)
• 局部灵敏度场：local_sensitivity(model, theta=θ_hat, outputs=["T_arr"])
• 全局 Sobol：global_sensitivity_sobol(model, ranges=R, outputs=["T_arr"], n=Nsamples)
• 结果治理：对高相关参数调用 tie_params 或 freeze，并回写 derive_param 更新派生量。

X. 误用与冲突清单

• 严禁将 n 与 n_eff 互换；涉及路径时必须显式 gamma(ell) 与 d ell。
• 禁止写作 ∫ n d ell / c；统一为 ( ∫ ( n_eff / c_ref ) d ell ) 或常量外提形式。
• Fisher 使用错误权重 W 会导致虚假可识别；W 必须与观测噪声 Σ 一致。
• 归一化灵敏度不得在 f(x; theta) ≈ 0 处直接使用；需改用尺度 s_ref 或加截断。
• Sobol 分析前须完成时空聚合口径的一致性声明（avg_t/avg_V/avg_gamma）。

XI. 输出锚点与引用

• 最小方程：S51-1（局部与归一化灵敏度）、S51-2（Fisher 与识别度）、S51-3（Sobol 指数）、S51-4（到达时梯度）。
• 实现接口：I30 6（识别度与灵敏度）、I30 10（跨卷 Jacobian）。
• 跨卷引用：见《EFT.WP.Core.Equations》S20-*（到达时）、S40-*（张度场）