03-EFT.WP.Core.Parameters v1.0 | 第6章 校准与推断流程

目录 ／ 文档-技术白皮书 ／ 03-EFT.WP.Core.Parameters v1.0

第6章 校准与推断流程

第6章 校准与推断流程

I. 章节目标与范围

• 统一定义 MLE、MAP、MCMC 与联合校准的数学口径与流程接口，保证与 I30 5、I30 6、I30 10 的一致对接。
• 给出信息准则与交叉验证的评估规则与早停策略，形成可复现实验流水线 Mx-2。
• 典型耦合场景：基于到达时 T_arr = ( ∫ ( n_eff / c_ref ) d ell ) 的参数校准，显式声明路径 gamma(ell) 与测度 d ell。

II. 输入输出与口径

1. 输入集合
   • 模型：y = f(x; theta) 或约束型 R(u, theta) = 0 附带观测映射 y = G(u).
   • 数据：data = { (x_k, y_k) }_{k=1..N }，噪声协方差 Σ，权重矩阵 W = Σ^{-1}。
   • 先验与边界：prior(theta)，lb ≤ theta ≤ ub，C_eq(theta)=0，C_ineq(theta) ≤ 0。
2. 输出集合
   • 点估计：theta_MLE，theta_MAP；后验样本：{ theta^{(s)} }_{s=1..S}。
   • 诊断：Fisher(theta_hat)，Cov[theta]，Corr[theta]，信息准则与交叉验证分数。
   • 报告工件：无量纲化参数表、收敛曲线、残差与灵敏度摘要。

III. 极大似然（MLE）目标与约束（最小方程 S61-1）

1. 定义加权负对数似然：
   • l(theta) def= - log L(data | theta) = ( 1 / 2 ) * Σ_{k=1..N} ( r_k(theta)^T * W_k * r_k(theta) ) + const
   • 残差：r_k(theta) = y_k - f(x_k; theta)
2. 约束型 MLE：
   minimize_theta l(theta) subject to lb ≤ theta ≤ ub, C_eq(theta)=0, C_ineq(theta) ≤ 0
3. 高斯近似下的梯度与 Hessian：
   • ∂l/∂theta = - J^T * W * r
   • ∂^2 l/∂theta^2 approx J^T * W * J（忽略二阶项 ∂J/∂theta）

IV. 最大后验（MAP）与正则化（最小方程 S61-2）

1. 后验与负对数后验：
   • post(theta | data) def= L(data | theta) * prior(theta) / Z
   • U(theta) def= - log post(theta | data) = l(theta) - log prior(theta) + const
2. 典型先验示例：
   • prior(theta_i) = Normal(mu_i, sigma_i) ⇒ - log prior(theta_i) = ( 1 / 2 ) * ( (theta_i - mu_i)^2 / sigma_i^2 ) + const
   • 结构稀疏：prior(theta_i) = Laplace(b) ⇒ - log prior(theta_i) = |theta_i| / b + const
3. MAP 优化问题：
   minimize_theta U(theta) subject to lb ≤ theta ≤ ub, C_eq=0, C_ineq ≤ 0

V. 贝叶斯采样（MCMC）与后验估计（最小方程 S61-3）

1. 目标密度：π(theta) ∝ exp( - U(theta) )
2. 采样策略：
   • 梯度驱动：NUTS/HMC，需提供 ∂U/∂theta（由 I30 10 的 compute_jacobian 与先验梯度组成）。
   • 难以求导时：RandomWalk Metropolis 或 Adaptive Metropolis（效率次优）。
3. 后验统计：
   • E[theta_i | data] approx ( 1 / S ) * Σ_{s=1..S} theta_i^{(s)}
   • Cov[theta] approx covariance( { theta^{(s)} } )
   • 区间：CI_{1-α}[theta_i] 取样本分位数或正态近似。

VI. 多数据集联合校准（最小方程 S61-4）

1. 数据簇 data = { data_m }_{m=1..M } 与权重 w_m ≥ 0：
   • log L_joint(data | theta) = Σ_{m=1..M} w_m * log L_m(data_m | theta)
   • U_joint(theta) = - log L_joint - log prior(theta) + const
2. 权重策略：
   • 噪声同质：w_m = 1
   • 噪声异质：w_m = 1 / σ_m^2 或按样本数归一 w_m = n_m / Σ n_m
3. 场景化治理：在 create_scenario 中记录 { data_m, w_m } 与版本，以保证可复现。

VII. 到达时耦合的专用口径（与 S20- 一致）*

• 若观测为到达时 y_k = T_arr( gamma_k; theta )：
  T_arr( gamma_k; theta ) = ( ∫_{gamma_k} ( n_eff(x; theta) / c_ref(theta) ) d ell )
• 残差：
  r_k(theta) = y_k - ( ∫_{gamma_k} ( n_eff / c_ref ) d ell )
• 梯度（见 S51-4）：
  ∂r_k/∂theta_i = - ( ∫_{gamma_k} ( ( ∂ n_eff / ∂theta_i ) / c_ref - n_eff * ( ∂ c_ref / ∂theta_i ) / ( c_ref^2 ) ) d ell )
• 计算接口：
  路径离散化 discretize_path，积算接口 propagate_time，导数由 compute_jacobian 汇总。

VIII. 信息准则与交叉验证（最小方程 S61-5）

1. 以 θ_hat 表示点估计，p = dim(theta_free)，N = 样本量。
2. AIC 与 BIC：
   • AIC = 2 * p - 2 * log L(data | θ_hat)
   • BIC = p * log(N) - 2 * log L(data | θ_hat)
3. WAIC（后验平均对数密度）：
   • lppd = Σ_{k=1..N} log( ( 1 / S ) * Σ_{s=1..S} p(y_k | theta^{(s)}) )
   • p_waic = Σ_{k=1..N} Var_{s}( log p(y_k | theta^{(s)}) )
   • WAIC = -2 * ( lppd - p_waic )
4. LOO-CV（近似）：
   ELPD_LOO = Σ_{k=1..N} log( p_{-k}(y_k) )（可用 Pareto-smoothed importance 近似）
5. 早停判据（验证集 val）：
   若 Δ log L(val | θ_t) < ε_ll 持续 K 轮，或 Corr[theta]_t 持续恶化，则触发早停。

IX. 无量纲化与变换策略（与第3章对齐）

• 参数进入优化前一律变换到实线：
  phi_i = T_map(theta_i)，如 log、logit、softplus
• 目标函数在 phi 空间：
  U_phi(phi) = U( T_map^{-1}(phi) ) - log | det( ∂ T_map^{-1} / ∂ phi ) |
• 数据与输出采用基准：
  bar_y = y / y0，bar_t = t / t0，bar_L = L / L0；检查 check_dim(expr) 通过后再优化。

X. 校准流水线 Mx-2（标准步骤）

• 数据治理：切分 train/val/test，构造 Σ 与 W，声明窗口 avg_t/avg_V/avg_gamma。
• 参数注册：register_param、设置 bounds/constraints/prior/transform，形成 theta_free。
• 可识别性预检：fisher_information 与 check_identifiability，必要时 tie_params 或 freeze。
• 初值生成：sample_prior 与启发式（无量纲域内的中位数或 zscore 标准点）。
• MLE 预热：最小化 l(theta) 获取 theta_MLE，用于 MAP 与 MCMC 的初值。
• MAP 精化：最小化 U(theta)，记录 Cov approx F^{-1} 与 Corr。
• 后验采样：posterior_sample_mcmc（建议 NUTS），计算 ELPD_LOO/WAIC，生成 CI。
• 联合校准：如有多数据集，最小化 U_joint 或在 MCMC 中混合似然。
• 早停与选择：以验证集 log L、信息准则与误差阈值决策，产出最佳场景快照。
• 报告与回归：export_params("yaml") 与 compare_param_sets 建立回归基线；记录 Mx-2 元数据。

XI. 实现绑定与最小工作示例（I30 5 族）

1. 点估计：
   • theta_mle = infer_mle(model, data_train, params=theta_free)
   • theta_map = infer_map(model, data_train, params=theta_free)
2. 后验：
   samples = posterior_sample_mcmc(model, data_train, params=theta_free, n=S, burn=B, method="NUTS")
3. 联合：
   calibrate_joint(datasets=[D1,...,DM], weights=[w1,...,wM], params=theta_free)
4. 诊断：
   fisher_information(model, theta_map, data_train)；regularize_cov(Cov, "shrinkage", alpha)
5. 跨卷梯度：
   J = compute_jacobian(eqn=S20_arrival, params=[...]) 对接到 infer_* 的一阶与二阶信息。

XII. 误用与冲突清单

• 严禁将 n 与 n_eff 互换；所有到达时公式必须写为 ( ∫ ( n_eff / c_ref ) d ell ) 并声明 gamma(ell)。
• 禁止省略变换的 Jacobian 项：在 phi 空间优化 MAP 时必须包含 log |det( ∂ T_map^{-1} / ∂ phi )|。
• 以错误噪声模型设置 W 将导致偏置估计；如未知应并行校准 σ 或采用稳健似然。
• 在 f(x; theta) ≈ 0 区域直接使用归一化灵敏度会不稳定，应改用参考尺度或截断。
• 多数据集联合时权重不可与样本重复计数叠加；需显式归一化或在似然层建模异质性。

XIII. 输出锚点与引用

• 最小方程：S61-1（MLE 负对数似然）、S61-2（MAP 负对数后验）、S61-3（后验采样密度）、S61-4（联合校准）、S61-5（信息准则与交叉验证）。
• 标准流程：Mx-2（校准流水线）。
• 实现接口：I30 5（推断与校准）、I30 6（识别度）、I30 10（跨卷 Jacobian）。
• 跨卷引用：见《EFT.WP.Core.Equations》S20-*（到达时）、S40-*（张度场）与本卷第3章（变换）。