03-EFT.WP.Core.Parameters v1.0 | 第7章 不确定性与传播

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第7章 不确定性与传播

I. 章节目标与范围

• 建立参数不确定性到输出不确定性的映射口径，覆盖线性化（Delta）与采样（MC/QMC）两类方法，输出 mean/std/Cov/Corr/CI/VaR/CVaR 等指标。
• 给出与到达时 T_arr = ( ∫ ( n_eff / c_ref ) d ell ) 的专用传播式，并显式声明路径 gamma(ell) 与测度 d ell。
• 对接实现接口 I30 7/8/10 与流程 Mx-3，保证与识别度（第5章）和校准（第6章）的量纲与符号一致。

II. 不确定性分类与记号

1. 源头分类
   • 参数不确定性（epistemic）：theta ~ post(theta | data) 或先验 prior(theta)。
   • 观测/过程噪声（aleatoric）：y = f(x; theta) + ε，ε ~ N(0, Σ) 或其他族。
2. 输出对象
   • 点函数：g(theta)（如 T_arr(gamma; theta)）。
   • 场/向量输出：y = f(x; theta)，在域 Ω 或离散网格上评估。
3. 统计量
   E[·]，Var[·]，Cov[·]，Corr[·]，CI_{1-α}[·]，VaR_α[·]，CVaR_α[·]。

III. 线性化传播（Delta 方法，最小方程 S71-1）

1. 设标量输出 z = g(theta)，在 theta_hat 处一阶近似：
   Var[z] approx grad_theta[g]^T * Cov[theta] * grad_theta[g]
2. 设向量输出 y = f(theta) ∈ R^m：
   • Cov[y] approx J_f * Cov[theta] * J_f^T
   • 其中 J_f = ∂ f / ∂ theta |_{theta=theta_hat}（见第5章 S51-1 与接口 compute_jacobian）。
3. 适用域
   f 在 theta_hat 邻域近似线性；Cov[theta] 有界且可估（由第6章 MCMC 或 Fisher 近似）。

IV. 到达时的不确定性传播（最小方程 S71-2）

1. 连续口径
   • g(theta) = T_arr( gamma; theta ) = ( ∫_{gamma} ( n_eff(x; theta) / c_ref(theta) ) d ell )
   • ∂ g / ∂ theta_i = ( ∫_{gamma} ( ( ∂ n_eff / ∂ theta_i ) / c_ref - n_eff * ( ∂ c_ref / ∂ theta_i ) / ( c_ref^2 ) ) d ell )
   • Var[g] approx grad_theta[g]^T * Cov[theta] * grad_theta[g]
2. 离散实现（与 discretize_path、propagate_time 对接）
   • T_arr approx Σ_{j=1..N_γ} ( n_eff(x_j; theta) / c_ref(theta) ) * Δ ell_j
   • ∂ g / ∂ theta_i approx Σ_{j} ( ( ∂ n_eff(x_j) / ∂ theta_i ) / c_ref - n_eff(x_j) * ( ∂ c_ref / ∂ theta_i ) / ( c_ref^2 ) ) * Δ ell_j
3. 量纲校验
   被积项 ( n_eff / c_ref ) * d ell 无量纲；使用 check_dim(expr) 通过后入库。

V. 非线性传播：蒙特卡罗与准蒙特卡罗（最小方程 S71-3）

1. 采样方案
   • 后验采样：theta^{(s)} ~ post(theta | data)；先验传播：theta^{(s)} ~ prior(theta)。
   • 采样族：MC、QMC（Sobol）、LHS；优先 QMC/LHS 以降低方差。
2. 估计量
   • μ_y approx ( 1 / S ) * Σ_{s=1..S} f(theta^{(s)})
   • Cov[y] approx covariance( { f(theta^{(s)}) } )
   • CI_{1-α}[y] 用分位数或正态近似给出。
3. 收敛与预算
   • 监测标准误 SE(μ_y) 与稳定分位数；当 max_j |Δ q_j| < ε_q 持续 K 轮则收敛。
   • 成本约束下优先提高覆盖度（S）而非网格加密。

VI. 预测不确定性与区间（最小方程 S71-4）

1. 预测分布
   • p(y_new | data) = ∫ p(y_new | theta) * post(theta | data) d theta
   • 近似：{ y_new^{(s)} ~ p(· | theta^{(s)}) }，得 CI_{1-α}[y_new] 与 PI_{1-α}[y_new]。
2. 风险指标
   • VaR_α[y] = quantile_α(y)；CVaR_α[y] = E[ y | y ≥ VaR_α[y] ]
   • 用于到达时超限风险、能量预算越限等场景。

VII. 不确定性预算与贡献度（最小方程 S71-5）

1. 线性化方差分解（参数级）
   • Var[z] approx Σ_i Σ_j g_i * Cov[theta]_{ij} * g_j，其中 g_i = ∂ g / ∂ theta_i
   • 参数组 theta_g 贡献：Var_g[z] = g_g^T * Cov[theta_g] * g_g + cross_terms
2. Sobol 指数（全局）
   • S_i = Var( E[ z | theta_i ] ) / Var(z)；S_{Ti} 为总效应。
   • 实现建议：global_sensitivity_sobol 与 propagate_uncertainty_mc 共享样本库复用。

VIII. 窗口化与粗粒化的一致性

• 时间平均：bar_y_t = avg_t[y; Δt]
  若 y 平稳且相关时间为 τ_int，则 Var[ bar_y_t ] approx Var[y] * ( τ_int / Δt )
• 体域平均：bar_y_V = avg_V[y; V=Ω]
  Var[ bar_y_V ] 受相关体积影响；数值上用分块重采样或空间对偶网格估计。
• 路径平均：bar_y_γ = avg_gamma[y]
  与离散路径节点相关，需与 discretize_path 的 Δ ell_j 一致。

IX. 无量纲化、变换与反变换

1. 变换域协方差
   • 设 phi = T_map(theta)，theta = T_map^{-1}(phi)，则
   • Cov[theta] approx G * Cov[phi] * G^T，G = ∂ T_map^{-1} / ∂ phi |_{phi_hat}
2. 输出缩放
   采用 bar_y = y / y0 报告 Cov[bar_y]，再按需恢复到物理量纲。
3. MAP/MCMC 在 phi 空间进行时，传播到 theta 空间必须包含 Jacobian 项（见第3章）。

X. 不确定性传播流水线 Mx-3（标准步骤）

• 明确目标与窗口：声明输出 g(·) 与 avg_t/avg_V/avg_gamma 的窗口或体域。
• 收敛后的参数分布：获取 Cov[theta]（Fisher 或后验样本）与 Corr[theta]。
• 线性化快速评估：用 compute_jacobian 得 J_f，计算 Cov[y] approx J_f Cov[theta] J_f^T。
• 选择采样策略：按非线性强度与约束选择 MC/QMC/LHS 并设样本预算。
• 生成样本：posterior_sample_mcmc 或 sample_prior，通过 inverse_transform 回到物理域并施加 lb/ub。
• 前向传播：批量调用模型或 propagate_time（到达时）生成 { f(theta^{(s)}) }。
• 汇总与诊断：计算 mean/Cov/CI/VaR/CVaR，检查收敛与极端值稳定性。
• 预算与贡献：生成参数/参数组贡献表与 Sobol 指数。
• 报告与版本：export_params("yaml") 与场景快照，记录随机种子与采样族。
• 回归基线：用 compare_param_sets 与历史不确定性曲线对比。

XI. 实现绑定与接口映射

• 统计与协方差：covariance(samples)，correlation(samples)，regularize_cov(Cov, "shrinkage", alpha)
• 传播：propagate_uncertainty_mc(model, prior_spec, n)（或以后验样本替代 prior_spec）
• 全局敏感度：global_sensitivity_sobol(model, ranges, outputs, n)
• 跨卷梯度：compute_jacobian(eqn:IRef, params:list[str]) 对接 S71-1/2 的线性化计算
• 量纲校验：check_dim(expr)；路径离散：discretize_path；到达时：propagate_time

XII. 误用与冲突清单

• 将 n 与 n_eff 混用；或将到达时写成 ∫ n d ell / c（违反括号与口径，见全局设定与第6章）。
• 省略 gamma(ell) 与 d ell 的路径声明；或路径离散的 Δ ell_j 与报告窗口不一致。
• 在强非线性区仅用线性化结论；或用 Fisher 近似替代非高斯后验的真实不确定性。
• 忽略参数相关性，仅以对角线近似 Cov[theta]；或未做协方差收缩导致数值不稳定。
• 在变换域优化后传播到物理域时遗漏 Jacobian；或未做量纲归一导致优化与传播尺度错配。

XIII. 输出锚点与引用

• 最小方程：S71-1（Delta 线性化），S71-2（到达时线性化专用式），S71-3（采样传播），S71-4（预测区间），S71-5（方差分解与贡献）。
• 标准流程：Mx-3（不确定性传播流水线）。
• 实现接口：I30 7/8/10 与 compare_param_sets。
• 跨卷引用：见《EFT.WP.Core.Equations》S20-*（路径与到达时）、S50-*（连续性与输运）、S80-1（统计窗口）。