18-EFT.WP.Methods.CrossStats v1.0 | 第5章 重采样与交叉验证（Bootstrap/Jackknife/K-fold）

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第5章 重采样与交叉验证（Bootstrap/Jackknife/K-fold）

一句话目标：以统一口径实现不确定度评估与泛化误差估计，覆盖 Bootstrap/Jackknife/K-fold 及其加权、分层与时序变体，并将产出纳入 manifest.stats.*。

I. 范围与对象

1. 范围
   适用于指标 theta = g(D) 的方差/区间估计与模型 f 的泛化误差评估。包含加权样本、复杂抽样、分层与时序阻塞场景。
2. 对象
   • 输入：数据 D = { (x_i, y_i, w_i, t_i) }，抽样信息 pi(i) 或复制权重，窗口 Delta_t，度量函数 L( f(x), y )，折数 K，抽样次数 B。
   • 输出：{est, SE, CI}、cv_score, var_cv, 诊断与契约报告 report.C30-5xx。
   • 约束：sum(w_i)/N_hat ≈ 1；所有窗口运算在 tau_mono 上评估，以 ts 发布；涉及 T_arr 的量并行记录两口径与 delta_form。

II. 名词与变量

• 样本与权重：N, w_i, pi(i), W_norm = ( ∑ w_i ) / N_hat。
• 指标与度量：theta = g(D), hat{theta}, SE, CI_{1-alpha}，损失 L。
• 交叉验证：K, S_k（第 k 折索引），f_{-k}（去第 k 折训练的模型），cv_score。
• 重采样：B（重复次数），D^{*b}（第 b 次 Bootstrap 样本），theta^{*b}。
• 时序与到达时：tau_mono, ts, offset/skew/J, T_arr, delta_form。

III. 公设 P305-*

• P305-1（可再现性）：重采样与分折必须记录 seed, rng_impl, fold_assign。
• P305-2（权重一致）：加权重采样遵循生成口径，W_norm 需满足阈值；分层/整群结构在采样阶段保持不破坏设计。
• P305-3（时基一致）：任何窗口化重采样/交叉验证在 tau_mono 执行；发布映射至 ts 并附 offset/skew/J。
• P305-4（泄漏防护）：特征工程、标准化、选择/调参必须在折内拟合并外推至验证集；禁止跨折信息泄漏。
• P305-5（到达时并行口径）：指标依赖 T_arr 时，记录两口径与 delta_form，并执行阈值断言。
• P305-6（预算与收敛）：B ≥ B_min，K ≥ K_min；对自助法与 MCMC 后验抽样需记录 mcse 或稳定性诊断。

IV. 最小方程 S305-*

1. S305-1（Bootstrap 点估计与方差）
   • theta^{*b} = g( D^{*b} ), b = 1..B；hat{theta}_boot = ( 1 / B ) * ( ∑_{b=1}^B theta^{*b} )。
   • Var_boot( hat{theta} ) = ( 1 / (B - 1) ) * ( ∑ ( theta^{*b} - hat{theta}_boot )^2 )，SE_boot = sqrt( Var_boot )。
2. S305-2（Bootstrap 百分位与 BCa 区间）
   • 百分位区间：CI = [ q_{alpha/2}( theta^{*} ), q_{1-alpha/2}( theta^{*} ) ]。
   • BCa：CI = [ q_{Phi( z0 + ( z_{alpha/2} / ( 1 - a_hat * ( z_{alpha/2} - z0 ) ) ) )}, q_{Phi( z0 + ( z_{1-alpha/2} / ( 1 - a_hat * ( z_{1-alpha/2} - z0 ) ) ) )} ]，
     其中 z0 为偏倚校正项，a_hat 为加速项，Phi 正态分布函数。
3. S305-3（Jackknife 伪值、偏倚与方差）
   • 留一量：hat{theta}_{(i)} = g( D \ {i} )，均值 bar{theta}_{(.)} = ( 1 / N ) * ( ∑ hat{theta}_{(i)} )。
   • 偏倚估计：bias_hat = ( N - 1 ) * ( bar{theta}_{(.)} - hat{theta} )。
   • 方差：Var_jack( hat{theta} ) = ( ( N - 1 ) / N ) * ( ∑ ( hat{theta}_{(i)} - bar{theta}_{(.)} )^2 )，SE_jack = sqrt( Var_jack )。
4. S305-4（K-fold 交叉验证分数）
   • cv_score = ( 1 / K ) * ( ∑_{k=1}^K ( 1 / |S_k| ) * ( ∑_{i ∈ S_k} L( f_{-k}( x_i ), y_i ) ) )。
   • 重复 K-fold 的方差：Var( cv_score ) ≈ Var( scores_over_repeats )。
5. S305-5（分层/加权自助）
   分层：对每层 h 独立抽样大小 n_h，再合并；加权自助：m_i ~ Multinomial( N; p_i ∝ w_i ) 或 m_i ~ Poisson( w_i )。
6. S305-6（时序阻塞 CV）
   块划分 B_j 满足时间不逆向；滚动验证得分：cv_ts = ( 1 / J ) * ( ∑ L_j )，L_j 为第 j 块外推损失。
7. S305-7（交叉拟合 cross-fitting，用于因果/双稳健）
   将数据分 K 折，估计 eta_{-k} 于训练折，评估目标折的影响函数 phi( W_i; eta_{-k} )，
   hat{theta} = ( 1 / N ) * ( ∑ phi( W_i; eta_{-k(i)} ) )，SE 由折间方差或自助法给出。
8. S305-8（到达时两口径差）
   delta_form = | ( 1 / c_ref ) * ( ∫ n_eff d ell ) - ( ∫ ( n_eff / c_ref ) d ell ) |，并断言 delta_form ≤ tol_Tarr。

V. 统计流程 M30-5（就绪→抽样/分折→估计→诊断→发布）

• 就绪
  组装 D、w_i/replicate weights、Delta_t 与目标度量 g/L；执行 check_dim 与 W_norm 校核。
• 抽样/分折
  依据场景选择 Bootstrap/Jackknife/K-fold/Blocked-CV；分层与权重在抽样阶段生效；记录 seed、fold_assign。
• 估计
  计算 hat{theta}, SE, CI 或 cv_score、var_cv；若涉及 T_arr，并行两口径并产出 delta_form。
• 诊断
  自助稳定性（B 敏感度）、交叉验证泄漏检查、重复 K-fold 方差与折间漂移；时序阻塞检查逆向泄漏；记录 mcse/iter_resid。
• 发布
  写入 manifest.stats.resample.*：方法、B/K、分层/权重口径、SE/CI/cv_score、offset/skew/J、delta_form、阈值评估与签名。

VI. 契约与断言（C30-5xx）

• C30-501（样本与权重）：| W_norm - 1 | ≤ tol_w_norm；层内样本不足时降级或回退策略记录。
• C30-502（重复预算）：B ≥ B_min；若 B < B_min，不得发布为“强口径”。
• C30-503（折数下限）：K ≥ K_min；分类极端不均衡时启用分层分折并记录层级比例。
• C30-504（泄漏防护）：跨折拟合对象仅在训练折估计；leakage_checks == pass。
• C30-505（区间/方差一致）：SE_boot 与 SE_rep/SE_jack 的差异比 ≤ tol_var_gap；BCa 与百分位区间端点顺序正确。
• C30-506（时序阻塞）：验证集时间严格晚于训练集；逆序计数 = 0。
• C30-507（到达时差）：delta_form ≤ tol_Tarr。
• C30-508（数值稳定）：重复 K-fold 分数的 cv_var ≤ tol_cv_var；自助法 B 增量后指标变化 ≤ tol_boot_stab。

VII. 实现绑定 I30-*

• I30-51 bootstrap_metric(fn, ds, B, scheme, strata=None, weights=None, seed) -> {est, SE, CI, diag}
  scheme ∈ {pairs, residual, wild, weighted}；支持分层与复制权重；diag 含 bias_hat, bca_params。
• I30-52 jackknife_metric(fn, ds, weights=None) -> {est, SE, CI, bias_hat}
  支持 leave-one-out/leave-group-out；与复杂抽样的删除一群兼容。
• I30-53 cross_validate(model, ds, K, metric, stratified=False, repeated=1, groups=None, seed) -> {cv_score, var_cv, per_fold}
  折内拟合，折外评估；支持重复 K-fold 与组块不泄漏。
• I30-54 blocked_cv(model, ds, blocks, rolling=False) -> {cv_score, per_block}
  blocks 基于 tau_mono；支持滚动窗训练/验证。
• I30-55 crossfit_ate(ds, K, learner_outcome, learner_propensity) -> {ATE, SE, CI}
  交叉拟合双稳健估计，返回影响函数诊断。
• I30-56 emit_resample_manifest(results, policy) -> manifest.stats.resample
  将方法、口径、阈值、签名与 TraceID 落盘；与 manifest.stats.estim、manifest.stats.cv 关联。

不变量：unique(per_fold.id)；alpha_used ≤ alpha_budget；sum(weights_boot)/N_hat ≈ 1；no_leakage == true。

VIII. 交叉引用

• 抽样设计与权重来源：见本卷第3章。
• 点估计与区间口径、U = k * u_c：见本卷第4章。
• 多重比较与序贯监控：见本卷第6章。
• 漂移与稳定运行监测：见本卷第7章。
• 时间轴与到达时两口径：见《Methods.Cleaning v1.0》第5–6章。
• 计量与单位一致：见《Methods.Cleaning v1.0》第4章。

IX. 质量与风控

1. SLI/SLO
   SE_gap = | SE_boot - SE_ref | / SE_ref，width_p50/p90，cv_var，leakage_flags，latency_ms_p99，B_utilization。
2. 风控与回退
   • 触发：C30-502/503/504/506/507 失败或 cv_var > tol_cv_var。
   • 动作：提高 B 或重复次数；切换到 BCa/复制权重；改用阻塞 CV；降级发布为“实验”，回退上一签名清单并告警。

小结