18-EFT.WP.Methods.CrossStats v1.0 | 第6章 多重比较与错误控制（FWER/FDR/Sequential）

目录 ／ 文档-技术白皮书 ／ 18-EFT.WP.Methods.CrossStats v1.0

第6章 多重比较与错误控制（FWER/FDR/Sequential）

一句话目标：以统一 alpha_budget 与可审计阈值实现 FWER/FDR/序贯错误控制，覆盖离线与在线、分层与加权、依赖与非依赖场景，并将决策口径落盘到 manifest.stats.multiplicity.*。

I. 范围与对象

1. 范围
   适用于同一研究或运行窗口内的多指标、多切片、多时段假设集合 H = { H_i } 的错误控制。涵盖离线批次、在线流式与序贯监测。
2. 对象
   • 输入：p_i 或检验统计量 Z_i，目标家族错误率 FWER 或 FDR 控制水平 alpha 或 q，家族大小 m，权重 w_i，依赖假设类型 dep ∈ {indep, PRDS, arbitrary}，序贯查看点 t = 1..T 与 alpha_spending。
   • 输出：拒绝集 R，调整后 p_i_adj 或阈值 tau_i，序贯边界与停序决策，错误控制评估与契约报告。
   • 约束：所有统计窗口在 tau_mono 上计算，以 ts 发布；若指标涉及到达时度量 T_arr，并行记录两口径与 delta_form。

II. 名词与变量

• 家族与错误率：m（待检个数），V（错误拒绝数），R（总拒绝数），FWER = P(V ≥ 1)，FDR = E( V / max(R,1) )。
• 显著性与预算：alpha（FWER 控制目标），q（FDR 控制目标），alpha_budget，alpha_t（第 t 次查看消耗）。
• p 值序与权重：p_(1) ≤ ... ≤ p_(m)，w_i > 0，bar{w} = ( 1 / m ) * ( ∑ w_i )。
• 依赖性：dep ∈ {indep, PRDS, arbitrary}，c_m = ( ∑_{j=1}^m 1 / j )。
• 序贯：信息比例 info_t ∈ (0,1]，花费函数 A(t)，边界 z_t 或对数似然比 LLR_t。

III. 公设 P306-*

• P306-1（统一预算）：任意家族内错误预算满足 ( ∑_t alpha_t ) ≤ alpha_budget 或在线 FDR 目标 q 的资源约束。
• P306-2（依赖口径显式）：必须声明 dep 并选择相容的调整法；未证独立性时默认 dep="arbitrary"。
• P306-3（层级与权重可追溯）：分层/门控结构与权重来源记录于 manifest.stats.multiplicity.hierarchy 与 weights。
• P306-4（泄漏与调参隔离）：多重比较在固定分析集与冻结阈值下执行；在线场景调参与监测流隔离。
• P306-5（时基与到达时一致）：序贯/在线控制在 tau_mono 上推进；若指标含 T_arr，记录两口径与 delta_form 并断言阈值。
• P306-6（可复现实验）：记录 seed, alpha_spending, look_schedule, stopping_rule 与中止原因。

IV. 最小方程 S306-*

1. S306-1（Bonferroni FWER 控制）
   • 阈值：p_i ≤ alpha / m。
   • 调整 p 值：p_i_adj = min( 1, m * p_i )。
2. S306-2（Šidák FWER 控制，独立）
   阈值：p_i ≤ 1 - ( 1 - alpha )^( 1 / m )。
3. S306-3（Holm 步降 FWER）
   • 排序 p_(1) ≤ ... ≤ p_(m)，找最小 k 使得 p_(k) > alpha / ( m - k + 1 )；拒绝所有 i < k。
   • 调整 p 值：p_(i)_adj = max_{j ≤ i} ( ( m - j + 1 ) * p_(j) ) 截至 1。
4. S306-4（Hochberg 步升 FWER，独立或同方向依赖）
   找最大 k 使 p_(k) ≤ alpha / ( m - k + 1 )；拒绝所有 i ≤ k。
5. S306-5（BH FDR 控制）
   • 排序后取 k = max{ i : p_(i) ≤ ( i / m ) * q }；拒绝所有 i ≤ k。
   • 加权 BH：以权重 w_i（bar{w} = 1）替换为 p_i / w_i ≤ ( i / m ) * q。
6. S306-6（BY FDR 控制，任意依赖）
   使用 c_m = ( ∑_{j=1}^m 1 / j )，阈值 p_(i) ≤ ( i / ( m * c_m ) ) * q。
7. S306-7（门控与层级）
   家族序 F_1 → F_2 → ...，若 F_k 通过门槛，则将未用 alpha 转移至 F_{k+1}；保持 ( ∑ alpha_k ) ≤ alpha_budget。
8. S306-8（组序贯花费 Alpha Spending）
   • 花费函数 A(t) 非减，A(1)=alpha_budget；第 t 次查看消耗 alpha_t = A(info_t) - A(info_{t-1})。
   • 典型形式：A_Pocock(t) = alpha * log(1 + (e - 1) * t)，A_OBF(t) = 2 - 2 * Phi( z_alpha / sqrt(t) )（双侧示例，需与边界解耦求 z_t）。
   • 边界以 alpha_t 求得：P( |Z_t| ≥ z_t | H0 ) = alpha_t。
9. S306-9（序贯 GLRT / SPRT）
   似然比 LR_t = ( ∏_{s=1}^t f_1(X_s) ) / ( ∏_{s=1}^t f_0(X_s) )，若 LR_t ≥ A 接受 H1，若 LR_t ≤ B 接受 H0；阈值近似 A ≈ (1 - beta) / alpha, B ≈ beta / (1 - alpha)。
10. S306-10（在线 FDR 投资）
    预算 W_0，序列阈值 alpha_t = g( W_{t-1}, policy )；若第 t 次拒绝则 W_t = W_{t-1} - cost(alpha_t) + reward(p_t, policy)，否则 W_t = W_{t-1} - cost(alpha_t)；保证 FDR ≤ q 的 policy 需固定并记录。
11. S306-11（到达时两口径差）
    delta_form = | ( 1 / c_ref ) * ( ∫ n_eff d ell ) - ( ∫ ( n_eff / c_ref ) d ell ) |，并断言 delta_form ≤ tol_Tarr（当检验量依赖 T_arr）。

V. 统计流程 M30-6（就绪→建族→选择法→执行→评估→发布）

• 就绪
  明确家族 H、目标 FWER 或 FDR、依赖假设 dep、alpha_budget 或 q；冻结数据切片与特征工程版本。
• 建族与分层
  构造门控/层级结构与权重 w_i；声明是否需要在线或序贯查看 look_schedule 与 alpha_spending。
• 选择方法
  dep="arbitrary" 用 Holm/BY；dep ∈ {indep, PRDS} 可用 Hochberg/BH/weighted BH；在线或序贯选择 alpha_spending 或在线 FDR 投资策略。
• 执行
  计算 p_i 或 Z_i，应用所选校正；序贯计算时按 info_t 花费 alpha_t 并更新边界与停序判断。
• 评估
  估计 FDP_hat = V_hat / max(R,1)，序贯诊断包括实际花费轨迹 ∑ alpha_t、边界穿越次数、平均运行长度估计。
• 发布
  落盘 manifest.stats.multiplicity.*：method, dep, alpha_budget/q, weights, hierarchy, look_schedule, alpha_spent, R, FDP_hat、阈值与签名；若涉及 T_arr 同步记录 delta_form。

VI. 契约与断言（C30-6xx）

• C30-601（预算约束）：sum(alpha_t) ≤ alpha_budget + eps_alpha。
• C30-602（依赖匹配）：method_dep_compat == true（方法与 dep 相容）。
• C30-603（权重归一）：加权 BH 需 bar{w} = 1 ± tol_w。
• C30-604（层级闭包）：门控传递满足闭包性，未使用预算不得消失，alpha_rollover ≥ 0。
• C30-605（在线可审计）：在线 FDR 记录 W_t、alpha_t、decision_t，并断言 W_t ≥ 0。
• C30-606（序贯一致）：alpha_spent(t) 单调不减；边界解与计算精度误差 ≤ tol_boundary。
• C30-607（到达时差）：若检验依赖 T_arr，则 delta_form ≤ tol_Tarr。
• C30-608（泄漏防护）：多重比较前冻结数据；leakage_checks == pass。

VII. 实现绑定 I30-*

• I30-61 adjust_pvalues(pvals, method, alpha_or_q, weights=None, dep="arbitrary") -> {decision, p_adj, threshold}
  method ∈ {bonferroni, sidak, holm, hochberg, bh, by, wbh}。
• I30-62 gatekeeping_hierarchy(families, alpha_budget, transfer_policy) -> {decision_by_family, alpha_allocation}
  支持固定顺序与树形门控。
• I30-63 sequential_alpha_spending(looks, alpha_budget, spending_fn, stat_stream) -> {boundaries, alpha_spent, stop_time, decision}
  spending_fn ∈ {pocock, obf, custom}；计算 z_t 或 LLR 边界。
• I30-64 online_fdr_investing(p_stream, q, policy, seed) -> {alpha_t, decision_t, W_traj}
  policy 固化为版本号；返回预算轨迹与拒绝序列。
• I30-65 evaluate_multiplicity_contracts(results, rules) -> report
  检查 C30-6xx 并生成审计证据。
• I30-66 emit_multiplicity_manifest(results, policy) -> manifest.stats.multiplicity
  落盘方法口径、预算、依赖、权重/层级、阈值、决策与签名。

不变量：alpha_spent ≤ alpha_budget；bar{w} ≈ 1（加权法）；method_dep_compat 恒为真；序贯 stop_time ≤ max_looks。

VIII. 交叉引用

• 重采样与交叉验证用于不确定度与稳定性：见本卷第5章。
• 漂移监测触发多重比较家族的在线控制：见本卷第7章。
• A/B 与多臂试验中的多指标与停序：见本卷第8章。
• 时基与到达时两口径、发布与审计：见《Methods.Cleaning v1.0》第5–6章与第10章。

IX. 质量与风控

1. SLI/SLO
   alpha_overrun = max( 0, alpha_spent - alpha_budget )，fdr_est_gap = max( 0, FDP_hat - q )，boundary_error, latency_ms_p99，R_count，power_proxy（基于最小可检效应）。
2. 风控与回退
   • 依赖不明时回退至 Holm 或 BY；序贯边界不稳定时使用更保守 pocock；在线异常停止则冻结新假设并切回离线批次。
   • 任何 C30-601/602/606/607 失败触发回滚到上一个已签名的 manifest.stats.multiplicity。

小结