19-EFT.WP.Methods.SynthData v1.0 | 第4章 生成引擎 I：统计与显式模型（Copula/GLM/规则）

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第4章 生成引擎 I：统计与显式模型（Copula/GLM/规则）

I. 范围与对象

1. 目标
   • 以统计与显式建模方式实现可控、可审计的合成数据生成，覆盖表格、计数、比例与部分序贯事件。
   • 通过 copula 表达联合依赖，通过 GLM 表达条件分布，通过规则与约束确保业务与物理一致。
2. 输入
   规范化数据 D_ref（见第3章），模式 SRef，约束集 Rules 与 Constraints，时间/路径锚定 tau_mono, ts, gamma(ell)。
3. 输出
   • 统计生成引擎 engine_stat，含边缘分布 marginals、依赖结构 copula、条件模型 glm_family、规则编译产物 ruleset。
   • 合成样本 D_syn、评估与契约报告 report_stat、清单 manifest.synth.stat.*。
4. 适用边界
   中等维度与样本量、合规场景优先；对极高维或复杂纹理数据转至第5章深度生成或第6章物理/场景方法。

II. 名词与变量

• 数据与分布：x = (x_1,...,x_d), F_i, f_i, u_i = F_i(x_i), C(u; psi)。
• Copula：R（correlation for gaussian copula）, nu（dof for t copula）, tau_K（Kendall tau）。
• GLM：X ∈ R^{N×p}, y, eta = X beta, g(mu) = eta, mu = E[y|X], phi（dispersion）。
• 规则与约束：A x ≤ b, h(x) = 0, rule_k, domain_k，离散约束 x_j ∈ enum_j。
• 时基与到达时：tau_mono, ts, T_arr, gamma(ell), delta_form, offset/skew/J。
• 其他：seed, rng, w（权重），pi0（zero inflation），U = k * u_c（扩展不确定度）。

III. 公设 P404-*

• P404-1（测度显式）：联合用 copula 与边缘分布分解，测度与域显式声明。
• P404-2（量纲守恒）：unit(x), dim(x) 必填，check_dim(expr) 必过。
• P404-3（依赖分离）：依赖只由 copula 承担，边缘变换保持秩信息。
• P404-4（GLM 族优先）：优先使用指数族与规范链接；过度离散使用 NB 或准似然。
• P404-5（规则为先）：能构造性满足约束则不采用拒绝法；确需拒绝采样时记录接受率。
• P404-6（时基一致）：生成在 tau_mono 上执行，发布映射为 ts 并记录 offset/skew/J。
• P404-7（到达时两口径）：涉及 T_arr 必并行计算两口径并产出 delta_form。
• P404-8（可复现）：seed/rng 记录在清单中，保证复现实验。
• P404-9（隐私前置）：若引擎带 DP(eps,delta)，预算在本章即计入并透传到发布。
• P404-10（稳定性）：优化与拟合过程需给出收敛准则与失败回退策略。

IV. 最小方程 S404-*

1. S404-1（Sklar 分解）
   p(x) = c(u; psi) * ∏_{i=1}^d f_i(x_i)，其中 u_i = F_i(x_i)。
2. S404-2（Gaussian copula 密度）
   • z_i = Phi^{-1}(u_i)，c_R(u) = |R|^{-1/2} * exp( - 0.5 * z^T * ( R^{-1} - I ) * z )。
   • rho = sin( ( pi / 2 ) * tau_K )（tau_K 与 rho 的映射）。
3. S404-3（采样步骤）
   • u ~ C(u; psi)；
   • x_i = F_i^{-1}( u_i )；
   • 若离散字段 x_j，执行 quantize_to_enum( x_j, enum_j ) 与分辨率约束。
4. S404-4（GLM 基式）
   g( mu ) = X beta，mu = E[y|X]；典型族：
   • Bernoulli：mu = 1 / ( 1 + exp( - X beta ) )。
   • Poisson：mu = exp( X beta )。
   • NegativeBinomial：Var(y|X) = mu + kappa * mu^2。
5. S404-5（零膨胀混合）
   p(y) = pi0 * 1[y = 0] + ( 1 - pi0 ) * p_base( y ; mu, ... )。
6. S404-6（约束投影）
   x_proj = argmin || x - x0 ||_2 s.t. A x ≤ b , h(x) = 0（构造性满足）。
7. S404-7（时间映射与到达时）
   • ts = map_tau_to_ts( tau_mono ; offset, skew )；
   • delta_form = | ( 1 / c_ref ) * ( ∫ n_eff d ell ) - ( ∫ ( n_eff / c_ref ) d ell ) |。
8. S404-8（边缘拟合优度）
   KS_i = sup_x | F_i(x) - F_i^{syn}(x) |；AD_i 与 CvM_i 可选。

V. 合成流程 M40-4（统计/显式生成）

• 就绪
  选择字段 F_gen、约束 Constraints 与 Rules；锁定 unit/dim 与时间/到达时字段。
• 边缘拟合
  为每个 x_i 拟合 F_i 与 f_i（参数化或核密度/分位数样条）；记录不确定度 U_i。
• 依赖拟合
  估计 tau_K 或秩相关矩阵，拟合 copula（gaussian/t/vine 等），得到 psi 或 R。
• 条件模型
  对指定 y 拟合 GLM 或零膨胀/障碍模型，选择链接 g 与族；校验过度离散。
• 采样与规则
  采样 u -> x，合成 y；执行规则编译器对 A x ≤ b, h(x)=0, enum，必要时投影或最少拒绝。
• 时基与到达时
  在 tau_mono 上生成，映射到 ts，如涉及 T_arr 并行两口径并写入 delta_form。
• 校核与落盘
  计算 KS_i, tau_K 差、均值/方差对齐误差、接受率；执行契约 C40-41x；输出 D_syn 与 manifest.synth.stat。

VI. 契约与断言 C40-41x

• C40-411（边缘一致）：对所有 i，KS_i ≤ tol_KS_i，且 mean/var 偏差在阈值内。
• C40-412（依赖一致）：| tau_K^{real} - tau_K^{syn} | ≤ tol_tau；若用 R，|| R_real - R_syn ||_F ≤ tol_R。
• C40-413（离散与范围）：x_j ∈ enum_j 且 range_j 内，违反率 ≤ tol_range。
• C40-414（GLM 校准）：cal_error ≤ tol_cal，过度离散比 phi/phi_ref ≤ tol_phi。
• C40-415（规则满足）：A x ≤ b 与 h(x)=0 满足率 ≥ sat_min，拒绝率 ≤ rej_max。
• C40-416（时基与到达时）：non_decreasing(tau_mono)，J ≤ J_max，delta_form ≤ tol_Tarr。
• C40-417（量纲/单位）：check_dim(expr)=true，单位映射完备。
• C40-418（复现与签名）：seed/rng 落盘，signature 有效。

VII. 实现绑定 I40-*（接口原型与不变量）

• I40-41 fit_marginals(ds, spec) -> marginals
• I40-42 fit_engine_copula(ds, family, opts) -> engine_copula（family ∈ {gaussian, t, vine}）
• I40-43 sample_copula(engine_copula, marginals, n, seed) -> df_u2x
• I40-44 fit_engine_glm(ds, formula, family, link) -> model_glm
• I40-45 sample_glm(model_glm, X_new|X_syn, seed) -> y_syn
• I40-46 compile_rules(SRef, constraints, policies) -> ruleset
• I40-47 enforce_rules(ds_syn, ruleset, mode) -> ds_syn'（mode ∈ {project, reject}）
• I40-48 timepath_align_for_synth(ds_syn, ref) -> ds_syn'（写入 offset/skew/J, T_arr, delta_form）
• I40-49 evaluate_stat_contracts(real, syn, rules) -> report_stat
• I40-4A emit_stat_manifest(artifacts) -> manifest.synth.stat
• 不变量：reproducible(seed)；||R||_2 ≤ 1；sat_rate ≥ sat_min；rej_rate ≤ rej_max；delta_form ≤ tol_Tarr；unit/dim 守恒。

VIII. 交叉引用

• 见《Methods.SynthData v1.0》 第5章（深度生成）、第6章（物理/场景图）以处理高维或强约束场景。
• 见《Methods.Cleaning v1.0》 第4章（单位与量纲）、第5章（时间轴）、第6章（到达时）。
• 见《Methods.CrossStats v1.0》 第4章（估计与区间）、第7章（漂移与对齐）用于评估与基线更新。
• 见《Methods.Imaging v1.0》 第5章（PSF/OTF/MTF）当规则涉及光学与辐射校准。

IX. 质量度量与风控

1. 指标
   • 边缘：{KS_i, AD_i, CvM_i}；均值/方差偏差；类别覆盖率。
   • 依赖：tau_K 差、R 误差、尾部联合概率误差。
   • 生成效率：accept_rate, latency_p99_ms, throughput_qps。
   • 合规模块：delta_form, J, psi（对上线后的漂移监测）。
2. 风控策略
   • 依赖偏差超阈：切换 vine copula 或提高秩相关拟合自由度。
   • 过度离散：从 Poisson 切换 NB 或增加随机效应（移步第12章）。
   • 规则满足不足：改用投影模式或强化构造性采样；必要时降级发布。
   • 时基/到达时异常：复核 map_tau_to_ts 与介质参数，阻断发布直至 delta_form 合格。

小结

• 本章给出统计与显式生成的统一闭环：以 P404-* 约束为纲、S404-* 为可计算基式、M40-4 为流程骨架，配合 C40-41x 契约与 I40-* 实现绑定。
• 产出 engine_stat、D_syn、report_stat 与 manifest.synth.stat.*，为后续深度/物理方法与发布冻结提供可复现、可审计的基座。